集合与函数的概念10

第一章集合与函数的概念

]]集合

1.1.1集合的含义与表示

第一课时集合的含义

课前自主预习

课前预习……明确目标

新知初探

1.元素与集合的概念

（1）元素：一般地，我们把统称为元素.

（2）集合：把组成的总体叫做集合（简称为—）.

（3）集合相等：只要构成两个集合的—是一样的，我们就称这两个集合是相

等的.

（4）集合元素的特性：、、无序性.

2.元素与集合的表示

/元素:通常用小写拉丁字母表示集合中

表示，的元素；

I集合:通常用大写拉丁字母表示集合.

3.元素与集合的关系

关系概念记法读法

如果________中的元

属于aEAa属于集合4

元索与素，就说a属于集合A

集合的

关系如果__________中的

a不属于集

不属于元素.就说。不属于集aA

合A

合A

4.常用数集及表示符号

非负整数集

名称正整数集整数集有理数集实数集

（自然数集）

符号___或_一，一

思考感悟

L如何理解集合中元素的三个特性？

答案

（1）确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能确定它是

或不是某个集合的元素，二者必居其一，它是判断一-组对象是否形成集合的

标准.

（2）互异性：是指给定一个集合的元素中，任何两个元素都是不同的.因而

在同一个集合中，不能重复出现同一个元素.

(3)无序性：集合中的元素是没有前后顺序的，如由1,2,3和3,2,1

组成的集合是同一集合.

2.“个子高的同学”能否构成一个集合？

答案：不能“个子高”没有明确的标准，不符合元素的确定性.

3.设A为大于3小于11的偶数所组成的集合，则集合力中的元素都有哪些?

答案

4；6；8；10

4.如何理解元素与集合的关系？

答案

元素与集合的关系只有属于与不属于两种关系，对于任何一个元素a和一个

集合A,那么必然只存在acA或a二者必居其一.

如1e{1,2,3|,4e|1,2,3}.

课堂互动探究

例练结合……素能提升

典例导悟

类型一集合的基本概念

［例1］考查下列每组对象能否组成一个集合？

(1)2010年参展上海世博会的所有展馆；

(2)数学必修1课本上的所有难题；

(3)北京大学2012级的新生；

(4)平面直角坐标系中，第一象限内的一些点.

［分析］解答本题可先分析各组的对象是否具有确定性和互异性，然后再作

出判断.

［解］(1)、(3)的对象都是确定的，而且是不同的，因而能构成集合；(2)

中难题标准不明确，不满足确定性，不能构成集合；(4)中"平面直角坐标

系中，第一象限内的一些点元素不明确，故不能组成一个集合.

［点评］判断元素能否组成集合，关键看这些元素是否具有能包含在集合中

的确定条件，如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合，否则就不能

组成集合.

变式训练1下列各组对象不能构成集合的是().

A.某校大于50岁的教师B.某校30岁的教师

C.某校的年轻教师D.某校的女教师

答案

C某校的任意一位教师，可以明确地判断是不是大于50岁，是不是30岁，

是不是女教师，但是“年轻”没有明确的标准，某一位教师是否是年轻教师

无法确定，因此“某校的年轻教师”不能构成集合.所以由集合中元素必须

满足确定性可知不能构成集合的为C,故选C.

类型二集合中元素的特征及应用

［例2］已知集合A含有两个元素a-3和2a—1,若一3cA,试求实数。的

值.

［解］

-3=a—3或—3=2Q—1,

若—3=a-3,

则Q=0.

此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意.

若一3=2。-1,

则a=—\.

此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意，

综上所述，满足题意的实数a的值为0或-1.

［点评］1.本题集合A中含有2个元素，QGA,本题以-3是否等于a-3为

标准进行分类讨论，做到了“不重不漏”.

2.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必

明确分类标准

变式训练2本例中，若将“-3GA”改为“awA”则结果如何?

答案

解：♦「acA,且awa-3,

:.a=2a-\.

.,.a—\.

类型三常用集合及其记法

［例3］给出下列关系：①;cR；cQ；③I—3|eN；④I—百GQ|；

⑤OeN淇中正确的个数为（）

A.lB.2

C.3D.4

［分析］元素与集合之间的关系是“G”和

［解析］；是实数；3是无理数；1-31=3是自然数；I-百|=百是无理

数；0是自然数.故①②正确，③④⑤不正确，故选员

［点评］对儿个常见数集的符号表示应熟练掌握.搞清正整数与自然数(非负

整数)的区别以及有理数的概念.

变式训练3下列关系中不正确的个数为()

4I-

(1)—§£R；(2)史Q；(3)|—201eN；

(4)|-V2|eQ；(5)一5任Z；(6)冗奎

A.2个B.3个

C.4个D.5个

答案

B本题考查元素与集合的关系，由R,Q,Z,N,N*的含义可知：(1),(2),

(6)正确；(3),(4),(5)不正确，故选区

类型四元素与集合关系的判断

［例4］集合4是由形如、伤加+〃(加eZ,/2Gz)(例如数2后一1)的数构成的,

判断了J—是不是集合A中的元素.

V2-1

［解］——=72+1=1x72+1,而1,1eZ,

V2-1

.-.V2+1GA,即」一GA.

V2-1

［点评］判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具

有这个集合的元素的共同特征.

变式训练4集合A是由形如机+技(wiGZ,ncZ)的数构成的，判断

——厂是不是集合A中的元素.

2-V3

答案

解：----产=2+A/3=2+x1,

2-V3

而2GZ,leZ,2+GA,即---尸wA.

2-V3

自我纠错

易错点：忽略集合中元素的互异性而导致错误

［错题展示］写出关于次方程/—（a+D］+。=0的解集.

［错解］由工2-（。+1）尤+“=0,得—1）=0,

所以方程的解为x=l或X=Q,则解集为｛1,a｝.

［错因分析］错解中没有注意到。是参数，使方程的解集带有不确定性.为了保证

集合中元素的互异性，写出解集时要对。进行分类讨论.

［正解］由--（a+l）%+。=0,得（%—。）（工-1）=0,

所以方程的解为x=l或x=Q.

若a=l,则解集为｛1｝；

若“W1,则解集为｛1,。｝.

［反思］对于用列举法表示的集合，若其中元素用字母表示，要注意满足集合中

元素的互异性.

思悟升华

1.理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序

性.特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在

求出参数的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性.

2.关于特定集合N,N*（N+）,Z,Q,R等的意义是约定俗成的，解题时作

为己知使用，不必重述它们的意义.

3.对于一个元素a与一个集合A而言，只有“aeA”与“QeA”这两种结果

“w”与“左”具有方向性，左边是元素，右边是集合.

随堂知能训练

知识反馈……技能检验

1.下列指定的对象，能构成集合的是（）

A.血的近似值B.全国的小河流

C.某学校的胖子D.50以内的质数

答案

D本题是对元素确定性的考核.

2.设集合A只含一个元素a,则下列各式正确的是（）

A.OeAB.aeA

C.aeAD.a-A

答案

。元素与集合之间是属于关系，故选C

3.用“G”或"g”填空.

2N；V2Q；-R；

2

-3Z；0N*'；5Z

答案

eeGG

4.集合A由0,1,f三个元素组成，则实数X应满足.

答案

x。0且尤w±1

解析：由元素的互异性，可知xwO月.xw±l.解得xwO且lw±l.

5.判断下列说法是否正确，并说明理由.

（1）1,’这些数组成的集合有五个元素；

2422

（2）由Q,b,c组成的集合与由b,a,c组成的集合是同一个集合.

答案

解：（1）不正确.对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任

何两个元素都是不同的，此集合是由三个元素组成的集合.

（2）正确.集合中的元素相同，只是顺序不同.它们都表示同一个集合.

第2课时集合的表示

课前自主预习

课前预习……明确目标

新知初探

1.列举法表示集合

把集合的元素—出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

2.描述法表示集合

用集合所含元素的—表示集合的方法称为描述法.

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般

符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有

的.

思考感悟

1.用列举法表示方程V-2%+1=°的解集，能否写成A=|1,11?

答案

不能.因为不符合集合元素的互异性，可表示为4=｛1｝..

2.集合｛%|%>3｝与集合｛/2>3｝表示同一个集合吗?

答案

虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有

实数，故表示同一个集合.

1.集合｛(1,2)｝与｛(2,1)｝是否为相等集合？

答案

不是.

课堂互动探究

例练结合……素能提升

典例导悟

类型一用列举法表示集合

［例1］用列举法表示下列集合:

(1)A=X|-2<X<2,XGZ)；

2x+y=8

8=〈(x,y)|

x-y=\

(3)M={无|(%-2)2(无-3)=0}；

(4)P=卜Iy=f2+6,xeN,ye；

(5)Q={(Ay)|y=*+6,xcN,yGN}.

［解］(1)-2<x<2,xeZ,

x——2,-1,0,1,2.

.-.A={-2,-1,0,1,2).

2x+y=8,得x—3.z、

(2)解方程组'.•.8={(3,2)}.

［y=2,

(3)•••2和3是方程的根,

/.M={2,3}.

(4),/y=-x2+6<6,JLxeN,yeN,

\x=0,1,2,7.y=6,5,2,/.P={6,5,2}

(5)点(x,y)满足条件y=-％2+6,xeN,yGN,

x—0,x=1,jx—2,

由

y=61y=5,1y=2,

.•.Q={(0,6),(l,5),(2,2)}.

［点评］列举法简明、直观适用于元素个数较少的集合，用列举法表示集合，要

注意分清是数集还是点集，元素不能重复.

变式训练1用列举法表示下列集合：

(1)A=x(x2-4)=0,xeR|；

(2)C={xeN|-3<2x+l<5}.

答案

解：(1)解方程％(/-4)=0得％=0或％2—4=0,

x=0,2,—2.

.♦.A={0,2,-2}.

(2)解不等式一3<2尤+1<5得一24尤<2.

又xeN,.\x=0,1,.\C={0,1}.

类型二用描述法表示集合

［例2］用描述法表示下列集合：

(1)方程％2-2=0的所有实数根组成的集合；

(2)使y=——有意义的实数x的集合；

(3)坐标平面上第一、三象限上点的集合.

［分析］观察集合中元素所具有的公共属性，选定代表元素.

［解］(1)|XGR|X2-2=0}.

1,

(2)要使y=---------有意义，则Y+%-6W0,故可表示为

{X|XH2,J1JCW3,XGR}；

(3)第一、三象限上的点的特征是横、纵坐标符号相同，因而可写成

{(%,y)|孙>0,且％cR,yeR}.

［点评］(1)解决用描述法表示集合的有关问题时，关键在于透彻理解用来描述

元素所具有的属性的含义，并注意所涉及到的字母的取值范围.

(2)用描述法表示集合的优点是突出了元素所具有的属性，缺点是不易看出集

合的具体元素.

变式训练2试说明下列各集合表示的含义：

1

(1)A=|y|y=—>；(2)B=<(x,y)|y=—>；

x

(3)C=(")1(4)D={(0,l)}

x-3;

(5)£：={(%/)|%+'=1,且％_>=-1}.

答案

解：(1)A表示y的取值集合，由反比例函数的图象可知，

4=3y＜0,或y＞。}=3y。。,ycR}.

(2)由反比例函数的图象可知，8表示反比例函数＞=」的图象上的点的集合.

X

(3)C的代表元是点(％,y),。表示直线y=X-3但去点(3,0).

(4)。表示一个单元素集，是一个实数对，或一个点坐标为元素的集合.

fx+y=1,

(5)E表示一个实数对集，即方程《‘的解，即(0,1).是一个单元

［%_y=T

素集.

史型三集合表示法的综合应用

［例3］集合4={尤|履2—8%+16=0},若集合A只有一个元素，试求实数人的

值，并用列举法表示集合A.

［解］(1)当攵=0时，原方程变为一8x+16=0,%=2.此时集合A={2}.

(2)当攵时，要使一元二次方程的近2一口+16=0.有一个实根.只需

△=64—64左=0,即攵=1.此时方程的解为王=%=4,集合4={4},

满足题意.

综上所述，实数攵的值为0或1.当攵=0时，A=｛2｝；当女=1时，A=｛4｝.

［点评］(1)本例易忽略对人的讨论自然而然认为履2一8%+16=0是一元二次

方程，从而导致漏解.

(2)已知集合中元素的个数，求参数的位或取值范围时，关键是对集合的表示

方法的正确理解.本例中，由子集合A是方程的解集，所以转化为对方程根的讨

论.

变式训练3集合A=卜|-+1=0｝中至少有一个元素，求a的取值范围.

答案

解：(1)当。=0时，原方程变为一2尤+1=0,解得尤=’.

2

此时集合A符合题意.

(2)当“H0时，原方程为一元二次方程，一元二次方程至少有一个根，

应满足：A=4-4a>0,解得QW1,且QW0.

综上所述，a的取值范围为aWl.

自我纠错

易错点：不能正确区分数集与点集

［错题展示］判断下列两命题的真假：

(1)方程/工工+垃+2|=0的解集为｛2,—2｝；

(2)集合｛y|y=f-1/GR｝与｛y|y=x-1,%cR｝的公共元素所组成的集

合是{0,1}.

［错解］(1)正确.

;%=2,y=-2,

.•.{2-2}.

(2)正确.

x2-1=x-1,

二.%=0或1.

［错因分析］本题错解在于题意理解偏差.

［正解］(1)错.

方程JT”+|y+2|=0,

x-2=0,

等价于《即4

y—2=0,>=-2.

其解应为有序实数对，解集应为{(2,-2)}.

(2)错.

{y[y=/的代表元素是y.

当xcR时，y=x2-1>-1.

，{y|y=x2—L%eR}={y|yN-1}.

同理，{y|y=x_l,xeR}=R.

故两集合的公共元素所组成的集合是{y|y2-1}.

思悟升华

;集合的表示方法常见的有列举法和特殊性质描述法，当集合中的元素个数有限

但公共属性难以概括时，只能用列举法；当集合中的元素无法一一列举时，可先

抽象出元素的特征性质，用描述法表示；描述法和列举法可以互化，同时也可以

转化为自然语言表示.

2.用列举法表示集合时，注意以下三点：①元素之间用“”隔开；②元素不重复、

无顺序；③对含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列

举法，但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号.

3.用描述法表示集合时，注意以下儿点：①写清楚该集合中元素的代号(字母或用

字母表示的元素符号)；②说明该集合中元素的特征；③不能出现未被说明的字

母；④多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”；⑤所有描述的内容都要

写在集合括号内；⑥用于描述法的语句力求简明、确切.

4.对于用特征性质描述法表示的集合，一定要搞清这个集合的代表元是数，还是

有序实数对(点)，还是集合，还是其他形式.这一点对于我们解题至关重要.

随堂知能训练

知识反馈……技能经验

A.{(1,2)}B.{(2,1)}

C.{1,2}D.{Y-3x+2=o}

答案

C解方程公―3X+2=0,得％=或尤=2.列举法表示为{1,2}.

2.集合{%cN|x<5}的另一种表示方法是()

A.{0,l,2,3,4}B.{1,2,3,4}

C.{0,l,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

答案

A由题xeN,且％<5,.•.%的值0,1,2,3,4,用列举法表示为{0,1,2,3,4}

x+y=2,

3.方程组《7的解集是()

x-2y=-2

A.{x=l,y=l}B.{1}

C.{(1,1)}D.{(x,y)|(l,l)}

答案

C方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A,B,而D中的条件是点(1,1),

不含％,y,排除D

4.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为.

答案

{九|x=2n,nEN+}

解析：正整数中所有的偶数均能被2整除.

5.集合卜|%=J^,a<36,xeN},用列举法表示为.

答案

{0,123,4,5}

解析：由a<36,可一得J^<6,即尤<6,又xeN,

故工只能取0,1,2,3,4,5

6.选择适当的方法表示下列集合：

(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；

(2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解组成的集合；

(3)一次函数〉=%+6图象上所有点组成的集合.

答案

解：(1)绝对值不大于3的整数是-3,-2,-1,0,1,2,3共有7个元素，则用

列举法表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.

(2)方程(3x—5)(尤+2)=0的实数解仅有两个，分别是g,-2,用列举法表

不为《一,一2

[3J

(3)一次函数y=x+6图象上有无数个点，用描述法表示为{*,y)|y=x+6}.

1.1.2集合间的基本关系

课前自主预习

课前预习……明确目标

新知初探

1.子集的概念

一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中—都是集合8中的元素，我

们就说这两个集合有，称集合A为集合8的子集(subset),读作“A

含于8”(或“8包含A").Venn图如图1.

说明：在数学中，我们经常用的内部代表集合，这种图称为Venn图.

如豪集合A是2合8的子集，并且8中—,那么集合A叫做集合8的真子集

(propersubset),.

如果集合A是集合B的真子集,在Venn图中，就把表示A的区域画在表示

B的区域的内部.

3.空集的概念

的集合叫做空集(emptyset),，并规定：空集是任何集合的.

4.子集、真子集的性质

由子集、真子集和空集的概念可得：

(1)是任何集合的子集，即；

(2)任何一个集合是它自身的,即A=A

(3)只有一个子集，即它自身；

(4)对于集合A,B,C,由BQC可得AC；

(5)对于集合A,B,C,由AU8,BUC可得AC.

思考感悟

1.若A=则A中的元素是8中的元素的一部分，对吗？

答案

不对，A中的元素是8的一部分或是6的全部.

2.“U”与“〈”一样吗？

答案

不一样，“U”表示集合与集合之间的关系；表示代数式间的关系.

3.0,{0},0,{0}之间有什么关系?

答案

①数0不是集合，{0}是含一个元素0的集合，0是不含任何元素的集合，{0}

是指以0为元素的集合.

②不要把数0或集合{0}与空集0混淆，同时注意不要把空集0错写成{0}或

{0}.它们之间的关系是：

0w{0},0e{0},0>0,0任{0},0e{0}.

③从集合之间的关系看，0={0},00{0}.

4.分别写出集合⑷，{见。}和{。也c}的所有子集，通过子集个数你能得

出一个规律吗？

答案

集合{"}的所有子集是0，{。},共有2个子集；

集合的所有子集是0,{。}，抄}，{a,b},共有4个，即22个子集；

集合{凡。,4的所有子集可以分成四类：即0；含一个元素的子集：

{a},{b},{c}；含两个元素的子集{a,6},{a,c},{b,c}；含三个元素

的子集问{a,b,c}.共有8个，即2,个子集.

规律：集合{%,外,。3…的子集有2"个；真子集有偿"—I）个；

非空真子集有（2"-2）个.

课堂互动探究

例练结合……素能提升

类型一子集、真子集的概念

［例1］{a,b}cAU{a,b,c,d,e},求所有满足条件的集合人

［分析］从子集、真子集的概念着手解答.

［解］因为{Q/}RA,所以A中必有元素Q,b.

因为A是{a/,c,d,e}的真子集，所以A中元素可以有2个，3个，4个三种情

形.具体为{a,。}；{a,b,c}；{a,b,d}；{a,b,e}；{a,b,c,d}；{a,b,c,e}；

{a,A,d,e},共7个.

［点评］(1)写出{a,b,c,d,e}的真子集时，按照一定顺序，注意做到不重不漏.

(2)正确地把集合语言表达的问题“翻译”成普通数学语言是解题的关键.

变式训练1若0荷A{a,b,c,d},试写出所有集合A.

答案

解：由题意知，集合力中可能有1个，2个或3个元素.当集合A中含有1个元

素时，A为{"},{/?},{c},{d}；当集合A中含有2个元素时，A为{a,b},

{a,c］,［a,d］,{b,c},{b,d},{c,d］；当集合A有3个元素时,A为{。也c},

{。也d},{b,c,d},{a,c,d}.

类型二集合相等

［例2］设集合A=—2,a?—1},8=1,/一3a,0卜若A=3,求a的值.

［分析］由A=8知，A与8中的元素应对应相等，分别列等式即可.

［解］由A=8及集合中元素特点可得

tz2-1=0,〃/口fa=±L,

a2—3a=-2,［a=1或a=2,

把a=1代入验证满足集合中元素的互异性.

a=1.

［点评］此类问题易有增解，这是由未验证集合中元素的互异性造成的；在求解

集合中的参数问题时，都需进行检验.

变式训练2(1)设集合A={%,>},3={O,/}；若4=3,则实数％=,

y=•

(2)已知M={2,a,。},N={2a,2,b2},且加=",求a,8的值.

答案

解析：(1);A=3,二x=0或y=0.

当x=0时，x2=0,此时8={0,0},舍去;

当y=0时，x=x2,

二.％=0或x=l,由上步知x=0舍.

..x=1,y—0.

a=2a,a=h2,

(2)根据集合中元素的互异性，有＜*或

b—b,b-2a,

(a=0,ftz=0,04，

解方程组，得《或《或《4

[b=0,^=1,,1

''b=—.

[2

由集合的互异性知《[a=0,，不合题意.

[b=0,

。=二，

b=一.

2

类型三集合间关系及应用

［例3］已知M={%|J-3x+2=0},N={尤|犬-2x+a=0},若NqA1,求

实数a的取值范围.

［解］:加={工*一3%+2=。}={1,2},

又NqM,

二.N=0MN={1},或％={2},或％={1,2}.

(1)当N=0时，方程/一2九+a=0的根的判别式△=4一4。<0,即a>1.

［1+1=2,

(2)当可={1}时，有{

1x1=

，、2+2=2,

(3)当"={2}时，有《不成立.

tJ［2x2=。，

,x［1+2=2,

(4)当N={1,2}时，有《不成立.

iJ［lx2=a,

综上可知，实数。的取值范围为a21.

［点评］此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，

初学者会想当然认为是非空集合而丢解.

变式训练3已知集合4={尤|-3Wx«4},B-［x\2m-\<x<m+\\,且

3qA.求实数〃2的取值范围.

答案

解：=

(1)当3=0时，m+1<2m—1,解得m>2.

-3<2m-1,

(2)当3时，有<"?+1W4,

2m-1<m+1,

解得-1<m<2.综上得〃？>-1.

自我纠错

智易错点：忽视空集导致漏解

［错题展示］设集合M={X|2X2-5X-3=0},N={%|m%=l},若N=M,

则m的取值集合为_____.

［错解］集合"=，,—』>.若NqM,则"={3}或于是当N={3}时,

m=—；当时，m=-2.

3I2j

所以加的取位集合为1一2」>.

［错因分析］错解中由于忽视了空集是任何集合的子集，从而导致漏掉一种情况，

即N=0.分类讨论时，要注意做到分类标准清晰，既不重复又不遗漏.

r1,ir11

［正解］集合M=J3,—/卜若,则％={3}或卜或0

m=—；当N=<_L>时,

当N={3}时,m=-2；当N=0时，加=0.所以

3I2j

机的取值集合为《一2,0,；

［反思］当A=8时，若则4=0或AW0,本题中，由于

M=>^0,则N=0或N/0

思悟升华

1.正确地区别各种符号的含义，如e与q,U；{0}与。.

2.写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊子集：。和自身；其次依次按

含有一个元素的子集、含有两个元素的子集、含有三个元素的子集……写出子集.

3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决形如A=8类问题

时，需分类讨论4=0与A两种情况.

4.要证明A=3,只需要证明AqB且成立即可.即可设任证明

/eB从而得出Aq反又设任意证明从而得到BqA,进

而证明得到A=8.

随堂知能训练

知识反馈……技能检验

1已知集合A={x|-2Wx<2},8={x|0<x<l},则有（）

\.A>BB.AUB

C.5UAD.AcB

答案

C如下图所示

-2-1012x

图1

由图可知5。A.

2.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集

合的真子集；④若则AW0其中正确的有（）

A.0个B.1个

C.2个D.3个

答案

8；•办是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，.•.①③错误.

••・0不含任何元素，0只有一个子集0,.•.②错误.

•••空集是任何非空集合的真子集，.•.④正确.

kk

3.已知集合A={x|x=—,攵eZ},B=<x|—,keZk贝U()

3[6

A.A^BB.AYB

C.A=BD.AUS

答案

b2k11

Ox=—=—eB,但一eB,一故

3666

4.已知集合A={-1,0},集合8={0,l,x+2},且则实数x的值为

答案

-3

解析：：Aq5,.1=X+2,解得x=-3.

5.已知集合At){1,2,3},且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有—

个.

答案

5

解析：•••AU{1,2,3},「泊中至多含有2个元素.

又中至少有一个奇数，

・•.A可能为{1},{1,2},{1,3},⑶，{2,3},共5个.

6.已知集合4={%|1W九<4},8={X[%<Q},若4=8,求实数a的取值

集合.

答案

解：将数集A表示在数轴上(如图2所示),要满足表示数a的点必须

在表示4的点处或在表示4的点的右边，即.故实数a的取值集合为

[a\a>4].

014ax

图2

1.L3集合的基本运算

第1课时并集、交集

课前自主预习

课前预习.....明确目标

新知初探

1.并集的定义

文字语言表述为：由所有的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记

作,读作.

符号语言表示为：AU8=.

图1

图形语言(韦思图)表示为如图1、所示的阴影部分.

2.并集的运算性质

(1)A\JB=B\JA；

(2)AUA=；

(3)AU0=;

(4)A\JB^A,A\JB^B；

(5)A==

3.交集的定义

文字语言表述为：由所有集合，叫做A与8的交集，记作—,读作.

符号语言表示为：AD8=.

图形语言(韦恩图)表示为如图2所示的阴影部分.

A匕箱8B

图2

4.交集的运算性质

对于任何集合4,B,有(1)AnB=BnA;

(2)Ap|A=；

(3)An0=；

(4)AAficA,AHB^B；

(5)A^BAC\B=A.

思考感悟

1.“或”的数学内涵是什么？

答案

“xeA,或8”包括了三种情况：

@xeA,但xeB；@xeB,但xeA；③％cA,且

2.AUB的元素等于A的元素的个数与B的元素的个数的和吗？

答案

不一定，用Venn图表示AU8如下:

图1

当A与8有相同的元素时，根据集合元素的互异性，重复的元素在并集中只能

出现一次，如上图②③④中，AU8的元素个数都小于A与B的元素个数的和.

3.如何理解交集定义中“所有”两字的含义?

答案

①A中的任一元素都是A与8的公共元素;

②A与8的所有公共元素都属于An8；

③集合A与8没有公共元素时，A^B=0.

课堂互动探究

例练结合......素能提升

典例导悟

类型一并集、交集的简单运算

［例1］(1)已知集合A={%|(%-1)•(%+2)=0}8={%|(x+2)(%-3)=0},

则集合4118是()

A.{-1,2,3}B.{-1-2,3}

C.{1-2,3}D.{1-2-3)

(2)已知集合4={%||%区2,%cR},B=^x\y［x<4,XGZ1,则人口8=(

)

A.(0,2)B.［0,2］

C.{0,2}D.{0,1,2}

［分析］先求得A,B,再求AU8和4nB.

［解析］⑴因4={1,-2},8={—2,3},

.•.AUB={l,-2,3}.

(2)A=|x||x|<2,xER}=［-2,2］,

3=k|Vx<4,xcz)=10,1,2,--,161,

.-.An5={0,1,2}

［答案］(1)C(2)D

［点评］此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示

的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结

果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不

在集合中时，应用"空心点"表示.

变式训练1(1)设集合M={/neZ|-3</n<2},?/={nGZ|-1<n<3},

则MDN等于()

A.{0,1}B.{-1,0,1)

C.{0,1,2}D.{-l,0,l,2}

(2)设集合用={%|%〉1},P={x|x>0},则下列关系中正确的是

()

A.M=PB.MP=P

C.MUP=MD.McP=P

答案

1.(1)BVM={-2,-1,0,1},vN={-l,0,l,2,3),={-1,0,1).

(2)8因MqP,所以〃UP=尸.

类型二已知集合的并集、交集，求参数取值

［例2］设4={%|—2<%<—1,或%>1},B=［x\a<x<b］满足

AuB={x|x>-2},ACB={%|1<%«3},求a,b的值.

［分析］从题目上不容易看出a,匕的范围，要结合数轴，借助于图形直观来求.

［解］A={x\-2<x<>1},

B={x［a<x<b］.

vAQ5={x|l<x<3},

.,.3必为8的右端值，,/?=3,;.-14。<1.

又•.•4UB={%［%>—2},根据并集的定义，

集合卜|—14%«1}一定被集合8所包含，

「・一2va2-1.又,「一1«aV1.

..ci——1,H.9ci——1,Z?—3.

变式训练2已知A={x\2a<x<a+3\,B={x|x<-l,x>5)，若Afl8=0,

求a的取值范围.

答案

解：(1)若A=0,有408=0,此时2a〉a+3,

a>3.

(2)若AW0,由408=0，得如图2：

li

-12a0+35x

图2

2〃2—1,

「・v。+3《5,解得—«。＜2.

2

2〃WQ+3,

综上所述，a的取值范围是＜a|—gwa＜2,或。〉3〉.

类型三并集、交集的运算性质

［例3］已知集合A={X|X2—3X+2=0},B={%|QX-2=0},且AU8=A,

求实数a组成的集合C.

［分析］利用4118=4得314,然后就B是否为空集讨论，列出关于。的方

程求解即可.

［解］由12—3尤+2=0,得％=1或%=2,

.•.4={1,2}.

又AU8=A,小受.

(1)若8=0,即方程ax—2=0无解，此时a=0.

(2)若八0,则3={1}或3={2}.

当3={1}时，有a—2=0,即a=2；

当8={2}时，有2a—2=0,即a=l.

综上可知，适合题意的实数。所组成的集合。={0,1,2}.

［点评］(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到ADB=A,

AUB=8等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的

关系去分析，如An3=AoA=B,==B等，解答时应灵

活处理.

(2)当集合时，如果集合A是一个确定的集合，而集合3不确定，运算

时要考虑B=0的情况，切不可漏掉.

变式训练3设集合4={-2},8={尤|。4+1=0},

(1)若AU5=5,求a的值；

(2)若408=8,求a的值.

答案

解：⑴；AU3=3,A=

••.—2是方程a%+1=0的根，

2

(2)因为408=8,所以

因为A={-2},所以8=0或

当8=0时，方程ax+l=0无解，即a=0；

当5W0时，awO,则8=［—

Ia.

所以—4=一2,解得a=L

a2

综上所述，。=0或。=’.

2

类型四并集、交集的新定义问题

［例4］A,B都是非空集合，定义

A*B=［x\x=a-b+a+h,aeA,be8且beACl8}

若A={1,2},B={0,2,3}则A*B中元素的和为.

［解析］由A*3的定义知，a可取1,2；b可取0,3,A*3中的元素为：1,7,

2,11,其元素之和为21.

［答案］21

［点评］新定义集合，关键是理解“定义”的含义，弄清集合中的元素是什么.

变式训练4定义A-B=若4={1,2,3,},5={3,4},求

A-B.

答案

4-8={1,2}

解析：由“定义”可知：A-B表示的应是属于A但不能属于3的部分

如图3.

自我纠错

易错点：对集合的错误理解，导致集合运算出错

［错题展示］已知集合A={(X,))|y=x2,%cR},B={(x,y)|y=x,xeR},

求ADB.

［错解］由丁=了，得y=。或y=l.

.•.AnB={0』}.

［错因分析］此错解在于A,8的元素皆为有序实数对，即点的坐标.

［正解］4nB是直线y=X与二次函数y=x2的交点组成的集合，

.-.xn5={(o,o),

［反思］注意集合中元素的形式.

思悟升华

1.关于并集

(1)由于“AU3”是所有属于A或属于8的元素并在一起而构成的集合，所

以要求“4UB”，只需把集合A,B的元素合在一起.

求AU3时，A与8的公共元素不能重写，AUB的元素个数不超过A与B的

元素个数之和.根据集合元素的互异性，使A,8的公共元素在并集中只出现一次

即可.

(2)并集4UB的元素有三类：一类是xeA,但二类是xeB,但

三类是XGA,且XGB.

2.关于交集

(1)由于“A口B”是由集合A,B的所有公共元素组成的集合，故求“AnB”

的关键是找出它们的公共元素.为此，首先要搞清集合A，8的代表元素是什么，

把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“AD3”的形式，把化简后的集

合A,8的公共元素写出来即可.

(2)当集合A与8没有公共元素时，408=0；当集合A与8有公共元素

时，ADB是由所有公共元素组成的集合，当AqB时，An8=A.

3.(AU5),A,B,(API©之间的关系

设xe(AnB),贝ijxeA,且xwB,当然xe(AUB)，所以有

(A03)=A=(AUB),同理有(ACl3)q8=(AU8).

4.在解决有关集合的变、并运算时，要借助于踱辐和Venn图，充分注意分类讨

论、转化和化归的数学思想.

随堂知能训练

知识反馈.....技能经验

1.已知集合A={%|%>0},8=则AU8等于()

A.{x|x>-1}B.{x|x<21

C.{x|0<x<2}D,{x|-l<x<2}

答案

—LUIi.

-102X

图4

A如图4所示.由数轴易知：A与6的所有元素覆盖了-1及其右侧的部分.

2.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则等于

()

A.{1,2,3}B.{1,2,4)

C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

答案

DvA={1,2},B={1,2,3}-

.•.4。8={1,2},

・•.(A0B)UC={1,2}U{2,3,4}={1,2,3,4}

3.若集合A={%|-2W3},8=或无>4},则集合ane等于

()

A.{X|X<3,^X>4}B.{X|-1<X<3}

C.{X|3<X<4}D.{X|-2<X<-1}

答案

缪

-2-134

图5

D直接在数轴上标出A,B的区间，如图5所示，取其公共分即得

AnB={%|-2<x<-1),故选D

4.集合A={0,2,Q2},B={1,Q},若AC|8={1},则1=

答案

-1

解析：由AD3={1}得leA,则/=1,Q=±1,又3={1,Q},a=1不符合

元素的互异性，.•.a=-1.

5.集合M={%|2a-l<%<4a,QGR},N={九11<x<2},若MdN=N,

则实数a的取值范围是.

答案

p||<a<l>

解析：•.・〃nN=N,.•.NqM.

a<1,

*1

4a>2,a2一.

12

一WQW1.

2

二实数a的取值范围是Jal’WaWl>.

[2

6.已知集合4={%|%<1},3={%|X2Q},且AU8=R,求实数AU8=R

的取值范围.

答案

解：由AU3=R,得A与5的所有元素应覆盖整个数轴.如图6

所示：

-----r