数学笔记-八年级上册八年级上册

八年级上册

第十一章三角形

1、三角形

（1）元素定义:

在同一平面内三角线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形

三角形的边：AB、BC、CA

三角形的角：NA、/B、ZC

（2）三角形用符号表示；上图的三角形记作aABC.

在三角形AABC中，NA的对边BC用a表示；NB的对边AC用b表示;

ZC的对边AB用c表示。

2、三角形的分类

~他角三角形|

--------邛北角三角形I

――电角三角形I

I~暗腰三角形|

।三角形।~w~~暗恒角形।

I~一兑角三角形I

——H等边三角形I

I三角形|―►!~”等昨角形I-,,」底腰不算的

1—H不等边三角形|1等腰三角形

3、三边关系

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4、三角形的高、中线与角平分线

（1）高：一个点向它的对边作的垂线。

如图：AD为三角形ABC的高

BDC

（2）中线：一个点向它的对边的中点所作的角平分线。

如图：AD为三角形ABC的中线

（3）角平分线：一个角的角平分线与它的对边相交的线

如图：BE为三角形ABC的角平分线

（4）三角形的五心

①垂心：三条高的交点

②内心：三角形内切圆的圆心

③外心：三角形外切圆的圆心

④重心：即三条中线的交点

⑤旁心：即三角形两个外角平分线的交点

11.2与三角形相关的角

1、三角形的内角

（1）内角和定理：三角形的内角和为180°

2、直角三角形的性质与判定

（1）直角三角形的两个锐角互余

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形

3、三角形的外角

（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。

（2）三角形的外角性质：

①三角形的外角等于与他不相邻的两个角的和

②三角形的外角大于任何一个与它不相邻的任何一个内角

③三角形的外角和等于360°

11.3多边形及其内角和

1、多边形

（1）多边形的定义

在平面内由一些线段首尾相接组成的封闭图形叫做多边形。

（2）多边形的内角

即多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角

（3）多边形的外角

即由多边形的一条边与它的临边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外

角

（4）凸多边形：

画出多边形任意一条边所在的直线，如果这个多边形都在这条直线的同一

侧，那么这个多边形就是凸多边形。

(5)正多边形：

即所有角相等，边相等的多边形

(6)对角线的数量：

n(n-3)

当一个多边形的边数为n时,对角线的数量为:2

2、多边形的内角和、外角和

(1)当一个多边形的边数为n时，内角和为(n-2)X180°

(2)多边形的外角和恒等于360°

(3)多边形单个内角的角度：

斗人上以(n-2)X180o

当一个多边形的边数为n时,单个内角为：-~~r——

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

1、全等形

即两个可以完全重合的图形

2、全等三角形的表示方法

如果两个三角形全等，(如4ABC与ADEF)记作△ABCgADEF(在写成

数学语言的时候要求将对应点写在相同位置)

3、全等三角形的性质

全等三角形的对应边和对应角相等。

12.2三角形全等的判定

(1)边边边(SSS)

如图：AB=DE

BC=EF

AC=DF

格式：

用数学语言表述：

DEF中

IAB=DE

SBC=I：F

CA=ED

/.△ABCDEF(SSS)

(2)边角边(SAS)

如图：AB=DE

ZB=ZE

BC=EF

A

B

格式:

在aABC与4DEF中

2B=DE

vZB=ZE

&C=EF

.,.△ABC^ADEF(SAS)

(3)角边角(ASA)

如图：ZA=ZD

AB=DE

ZB=ZE

格式:

用符号语言表达为：

在△ABC与ADEF中，

ZA=ZI)

AB«DE

ZB-ZE,

.,.△ABCiSADEF(ASA)

(4)角角边

如图：ZB=ZB'

ZA=ZA'

在△ABC和中

VfZA=ZA*

«ZB=ZB'

.AC=A'C'

△ABCSaAA'B'C'^S)

(5)斜边、直角边

如图：4ABC与ADEF均为直角三角形

AC=DF

AB=DE

格式：

在RlZkABC与R12XDEF中，

rAC=DF

IAB=DE

RtAABCgRl△DEF（HL）

12.3角平分线的性质

1、角平分线的性质：

角平分线上的点到角两边的距离相等

如图：0P为NAOB的角平分线

旦PD_LAOPE±OB

.".PD=PE

2、角平分线判定：

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

第十三章对称轴

13.1轴对称

1、轴对称图形

如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线的两部分能互相重合，则这个平面

图形是轴对称图形。

2、轴对称

即两个沿直线对折后可以重合的图形。

3、垂直平分线（中垂线）

即垂直于该线段的平分线

4、图形轴对称的性质

对应点的连线被对称轴垂直平分

5、中垂线的性质

中垂线上的点与这条线段两个端点的距离相等（可逆用）

7、图形的对称轴

如果两个图形成对称轴，其对称轴为任意一对对应点所连线段的中垂线。

13.2画轴对称图形

1、画轴对称图形

(1)找线段的端点

(2)将端点对称

(3)连接各对称点

2、用坐标表示轴对称

(1)规律

①点(x,y)关于x轴对称后的坐标为(x,-y)

②点(x,y)关于y轴对称后的坐标为(-x,y)

③点(x,y)关于一、三象限角平分线对称后的坐标为(y,x)

④点(x,y)关于二、四象限角平分线对称后的坐标为(-y,-x)

13.3等腰三角形

1、等腰三角形的定义：即有两边相等的三角形

如图AABC为等腰三角形。AB=AC,则AB、AC为腰BC为底

2、等腰三角形的性质

(1)两个底角相等

(2)底边上的四线合一(顶角角平分线、底边中线、垂线、中垂线)

3、等腰三角形判定

(1)有两边相等

(2)有两个角相等

4、等边三角形

即三边，三角都相等的三角形

5、等边三角形的性质

(1)每个内角都等于60°

(2)四心合一(外心、内心、中心、垂心)

6、正三角形的判定

(1)三边相等的三角形

(2)三角形的的三角形

(3)有一个角为60°的等腰三角形

7、含有30°角的直角三角形

如图:在RtaABC中,ZC=30°则AC=2AB

BC

13.4最短路径问题

异侧：问何时从A至x轴然后再到点B的距离最短？做法如图。

一/

同侧，只需连接两点即可。

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1整式乘法：

1、同底数累乘法

amXan=am+n(m>n为正整数)

2、幕的乘方

(am)n=amn(m、n为正整数)

3、积的乘方

(ab)n=anbn(n为正整数)

4、整式乘法

(1)数字相乘

(2)字母不变

(3)同字母的指数相加

注：多项式乘多项式

如(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

5、同底数累的除法

am4-an=am-n(aWOm、n为正整数且m>n)

6、0指数的意义

a(-l

0°无意义

7、单项式除法：a-rb=^(bWO)

8、多项式除以单项式：ab-rc-

14.2乘法公式

1、平方差公式:(a+b)(a-b)=a2+b2

2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

14.3因式分解

1、因式分解的概念：即整式乘法的逆运算

2、因式分解的方法：

(1)提取公因式：am+bm=a(a+b)

(2)公式法：即将平方差公式和完全平方公式逆用

(3)十字相乘法：

x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)

第十五章分式

15.1分式

1、分式的概念：在会A中整式B中含有字母那么式子自A被称为分式

DD

2、分式有意义的条件：在分式A/中，当BWO时该分式有意义

D

A

3、分式的值为。的条件：在分式石中，当BWO,A=0时分式的值为0

D

4、分式的基本性质

(1)分式的基本性质：

分式的分子与分母同时乘上或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

„A_A•CAA4-C

WB^B•C'B'B-rC

,、，，八•ma

(2)约分：即b:-•--m不b

(3)最简分式：即分子与分母没有公因式的分数

(4)同分：把异分母的分数的分母化为同分母分数

(5)最简公分母：即两个分数的分母的共有因式与非共有因式的积

15.2分式的运算

1、分式的乘除

(1)乘法:b*d=bd

(2)除法：需我•幺得

bdbcbe

2

(3)乘方：靖)2年

2、分式的加减

(1)同分母加减：牡詈芋

/人口八e-ta.cab,beab±cd

(2)异分母加减：b±d=^d±bd'bd

3、整指数累

(1)负指数辱：a-n=%

(2)零指数幕：a°=l且aWO当a=O时无意义

(3)科