北京市2021年中考数学真题试题真题【含答案】

北京市2021年中考数学真题试卷试题

一、单选题

1.如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

A.长方体B.圆柱C.圆锥D.三棱柱

2.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014-2018年，中

央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金

1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）

A.0.1692X10'2B.1.692xl012C.1.692x10"D.16.92x10'°

3.如图，点。在直线48上，若NAOC=120。，则的大小为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.下列多边形中，内角和最大的是（）

B.C.

5.实数。，匕在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（)

q»»

--3'-2~01i23-

A.a>2B.同C.Q+/?>0D.b-a<0

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是

()

11〃12

A.-B.—C.-D.一

4323

7.已知43?=1849,442=1936,45?=2025,46?=2116.若〃为整数且

〃<J2021<〃+1，贝I〃的值为()

A.43B.44C.45D.46

8.如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为皿，它的邻边长为）如,

矩形的面积为Sn?.当“在一定范围内变化时，＞和S都随x的变化而变化，则》与x,S

与x满足的函数关系分别是（）

A.一次函数关系，二次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系D.反比例函数关系，一次函数关系

二、填空题

9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

10.分解因式：5X2-5/=.

21

11.方程一^二一的解为.

x+3x

k

12.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=—（&w0）的图象经过点A（l,2）和点

x

3（—1,m）,则m的值为.

13.如图，PAPB是的切线，是切点.若/P=50°,则NAOB=

14.如图，在矩形A3CO中，点E,尸分别在上，AF=EC.只需添加一个

条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）.

甲、乙两组数据的方差分别为sj,s乙2,则掰2$乙2（填或

16.某企业有A8两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工。吨原

材料，加工时间为（4。+1）小时；在一天内，8生产线共加工方吨原材料，加工时间为

（如+3）小时.第一天，该企业将5吨原材料分配到A8两条生产线，两条生产线都

在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到3生产线

的吨数的比为.第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨

原材料后，又给A生产线分配了〃?吨原材料，给8生产线分配了〃吨原材料.若两条

m

生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则一的值为

三、解答题

17.计算：25也60。+厄+卜5卜（"+0）°.

4x-5>x+1

18.解不等式组：hx-4

--------<x

12

19.已知/+2。2_1=0,求代数式g_6）2+b（2«+b）的值.

20.《淮南子•天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上

点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点8,使民A两点间的距离为10

步（步是古代的一种长度单位），在点8处立一根杆；日落时，在地面上沿着点5处的

杆的影子的方向取一点C,使CB两点间的距离为10步，在点C处立一根杆.取C4

的中点。，那么直线表示的方向为东西方向.

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A8，。的位置如图所示.使用直尺

和圆规，在图中作C4的中点。（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线08表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互

相垂直，可以判断直线C4表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：在AABC中，BA=，。是C4的中点，

:.CA±DB（）（填推理的依据）.

•••直线表示的方向为东西方向，

•••直线CA表示的方向为南北方向.

21.已知关于x的一元二次方程X2一4〃氏+3〃22=（）.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若加＞0,且该方程的两个实数根的差为2,求〃?的值.

22.如图，在四边形ABCD中，NAC8=NC4D=90°,点E在8。上,

AE//DC,EFLAB,垂足为尸.

（1）求证：四边形AECD是平行四边形；

4

（2）若AE平分NA4C,BE=5,cosB=g,求8/和AO的长.

23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数了=乙+伏女。0）的图象由函数y=的图

象向下平移1个单位长度得到.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当》＞一2时，对于x的每一个值，函数丁=3（机工0）的值大于一次函数丫="+人

的值，直接写出加的取值范围.

24.如图，是AABC的外接圆，AO是。。的直径，4）_LBC于点E.

B

(1)求证：ABADACAD-.

（2）连接80并延长，交AC于点尸，交OO于点G,连接GC.若0。的半径为5,

OE=3,求GC和OF的长.

25.为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，

各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对

数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：

6<%<8,8<X<10J0<X<12,12<x<14,14<x<16）：

b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在104x<12这一组的是：10.0,1。0,1。1,

10.9,11.4,11.5,11.6,11.8

C.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：

平均数中位数

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根据以上信息，回答下列问题：

(1)写出表中加的值；

(2)在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个

数为P.在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业

的个数为比较0，P2的大小，并说明理由；

(3)若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入(直接写

出结果).

26.在平面直角坐标系中，点。,间和点(3,〃)在抛物线y=0?+云(a>0)上.

(1)若〃z=3,〃=15,求该抛物线的对称轴；

(2)已知点(-l,y),(2,%),(4,%)在该抛物线上.若根〃<()，比较的大小，

并说明理由.

27.如图，在AABC中，A8=AC,N84C=%M为的中点，点。在MC上，

以点A为中心，将线段AD顺时针旋转«得到线段AE,连接BE,DE.

(1)比较NS4E与NC4D的大小；用等式表示线段BE,之间的数量关系，

并证明；

(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N,用等式表示线段NE与的数量关系,

并证明.

28.在平面直角坐标系X0V中，。。的半径为1,对于点A和线段BC,给出如下定

义：若将线段绕点A旋转可以得到。。的弦8C'(B',。'分别是8,C的对应点),

则称线段是O。的以点A为中心的“关联线段”.

-------------------►

x

与

(1)如图，点A,片6e,C?,B”C3的横、纵坐标都是整数.在线段B©,B2C2,8G中，

0。的以点A为中心的''关联线段''是；

(2)AABC是边长为1的等边三角形，点A(Oj),其中r*0.若BC是OO的以点

A为中心的“关联线段”，求f的值；

⑶在△ABC中，AB=1,AC=2.若是的以点A为中心的“关联线段”，直

接写出OA的最小值和最大值，以及相应的8C长.

答案

1.B

【分析】

根据几何体的展开图可直接进行排除选项.

【详解】

解：由图形可得该几何体是圆柱；

故选B.

本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键.

2.C

【分析】

根据科学记数法可直接进行求解.

【详解】

解：由题意得：将169200000000用科学记数法表示应为1.692x10”；

故选C.

本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.

3.A

【分析】

由题意易得NCOS=60°,NCOD=90°,进而问题可求解.

【详解】

解：•.•点。在直线AB上，OC1OD,

二ZAOC+ZCOB=180°,ZCOD=90°,

,/ZAOC=120。，

•••NCOB=60。,

/.ZBOD=90°-ZCOB=30°；

故选A.

本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关

键.

4.D

【分析】

根据多边形内角和公式可直接进行排除选项.

【详解】

解：A、是一个三角形，其内角和为180。；

B、是一个四边形，其内角和为360。；

C、是一个五边形，其内角和为540。；

D、是一个六边形，其内角和为720。；

.••内角和最大的是六边形；

故选D.

本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键.

5.B

【分析】

由数轴及题意可得—3＜。＜一2,0＜人＜1,依此可排除选项.

【详解】

解：由数轴及题意可得：-3＜。＜—2,0＜。＜1,

，时＞b,a+b＜0,b-a＞0,

•••只有B选项正确，

故选B.

本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键.

6.C

【分析】

根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项.

【详解】

解：由题意得：

・・・一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是尸=2=!；

42

故选c.

本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键.

7.B

【分析】

由题意可直接进行求解.

【详解】

解：V432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,

••.442<2021<452,

44<72021<45，

；.〃=44；

故选B.

本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键.

8.A

【分析】

由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除

选项.

【详解】

解：由题意得:

2(x+y)=10,整理得：y=-x+5,(0cx<5),

S=xy=x(—x+5)=—f+5x,(0<x<5),

与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；

故选A.

本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关

键.

9.x>7

【分析】

根据二次根式有意义的条件可直接进行求解.

【详解】

解：由题意得：

x-7>0,

解得：x>7；

故答案为x»7.

本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.

10.5(x+y)(x-y)

【分析】

根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解.

【详解】

解：5x2-5y2=5（x2-y2）=5（x+y）（x-y）；

故答案为5（x+y）（x-y）.

本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

11.x=3

【分析】

根据分式方程的解法可直接进行求解.

【详解】

521

解：-----=一

x+3x

2x=x+3,

x=3,

经检验：x=3是原方程的解.

故x=3.

本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.

12.-2

【分析】

由题意易得％=2,然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题.

【详解】

k

解：把点A（l,2）代入反比例函数y=［（ZHO）得：k=2,

—lxm=2,解得：m=-2,

故答案为-2.

本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键.

13.130°

【分析】

由题意易得APAO=NPBO=90°,然后根据四边形内角和可求解.

【详解】

解：•.•PAPB是OO的切线，

/.NPAO=NPBO=9Q0,

.,•由四边形内角和可得：NAQB+NP=180。，

ZP=50°,

NAO3=130。；

故答案为130°.

本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

14.AF=AE（答案不唯一）

【分析】

由题意易得四边形4ECE是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解.

【详解】

解：：四边形ABC。是矩形，

，ADHBC,

-：AF=EC,

.••四边形AECF是平行四边形，

若要添加一个条件使其为菱形，则可添加AF=AE或4E=CE或CE=C尸或AF=CF,理由：

一组邻边相等的平行四边形是菱形；

故答案为AF=AE（答案不唯一）.

本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、

矩形的性质及平行四边形的判定是解题的关键.

15.>

【分析】

根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可.

【详解】

解：由题意得：

—11+12+13+14+15—12+12+13+14+14

乂，=---------------------=13,无〜=----------------------=13.

[(11-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2

[(12-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(14-13)2

4

5

・22

・・S甲〉S乙；

故答案为〉.

本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键.

16,2：3—

2

【分析】

设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到2生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得

4x+l=2（5—x）+3,然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为

4（2+加）+1=2（3+〃）+3,进而求解即可得出答案.

【详解】

解：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到8生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：

4x+l=2（5—x）+3,解得：x-2）

分配到8生产线的吨数为5-2=3（吨），

•••分配至ljA生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2:3；

...第二天开工时，给A生产线分配了（2+加）吨原材料，给3生产线分配了（3+〃）吨原材

料，

♦.•加工时间相同，

**.4(2++1=2(3+AZ)+3,

解得：m=-n,

2

m1

・・一=一;

n2

故答案为2:3,

本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方

程的应用及比例的基本性质是解题的关键.

17.3百+4

【分析】

根据特殊三角函数值、零次基及二次根式的运算可直接进行求解.

【详解】

解：原式=2x3+26+5-1=36+4.

2

本题主要考查特殊三角函数值、零次累及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次

事及二次根式的运算是解题的关键.

18.2<x<4

【分析】

根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解.

【详解】

4X-5>X+1(D

2

由①可得：x>2,

由②可得：x<4,

，原不等式组的解集为2Vx<4.

本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键.

19.1

【分析】

先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可.

【详解】

解：(a-b)2+b(2a+b)

=ci~-2ab++2ab+b"

=a2+2b2，

Va2+2b2-l=0,

a2+2h2=\，

代入原式得：原式=1.

本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值

是解题的关键.

20.(1)图见详解；(2)BC,等腰三角形的三线合一

【分析】

（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点,

与AC的交点即为所求点O；

（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答.

【详解】

解：（1）如图所示：

（2）证明：在AABC中，BA=BC,。是C4的中点，

:.CA±DB（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）.

:直线OB表示的方向为东西方向，

直线C4表示的方向为南北方向；

故答案为8C,等腰三角形的三线合一.

本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图

及等腰三角形的性质是解题的关键.

21.（1）见详解；（2）m=1

【分析】

（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；

（2）设关于％的一元二次方程炉―4如+3机2=。的两实数根为王,当，然后根据一元二次

方程根与系数的关系可得当+工2=4加,斗・工2=3〃/，进而可得（玉一々）2=4,最后利用完

全平方公式代入求解即可.

【详解】

(1)证明：由题意得:a=l,b=-4m,c=3m2,

△=/?2—4ac-16m2-4x1x3m2=4〃，>

Vw2>0.

A=4m2>0，

该方程总有两个实数根；

(2)解：设关于x的一元二次方程/一4〃a+3加2=0的两实数根为不，王，则有：

%+%2=4m,%1•x2=3加2,

,—xj=2,

22

(王—x2)'=(%+x2)"-4^%2=16m—12m=4,

解得：m=±l,

Vm>0,

本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别

式及根与系数的关系是解题的关键.

22.(1)见详解；(2)BF=4,AZ)=3

【分析】

(1)由题意易得A力〃CE,然后问题可求证;

4

(2)由(1)及题意易得EF=CE=4O,然后由BE=5,cos8=w可进行求解问题.

【详解】

(1)证明：VZACB=ZCAD=90°,

：.AD//CE,

,：AE//DC,

二四边形AECD是平行四边形；

(2)解：由(1)可得四边形A£C£)是平行四边形，

二CE=AD,

VEF±AB<AE平分Z&4C,NACB=90°,

二EF=CE,

：.EF=CE=AD,

4

*.*BE=5,cosB=—,

4

/.BF-BE-cos8=5x—=4,

5

EF=^BE2-BF2=3>

•••AD=EF=3.

本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练

掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键.

23.(1)y=L-l；(2)-<m<l

22

【分析】

(1)由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；

(2)由题意可先假设函数y=m(moO)与一次函数、=丘+〃的交点横坐标为—2,则由

(1)可得：加=1,然后结合函数图象可进行求解.

【详解】

解：⑴由一次函数丁=履+匕伏。0)的图象由函数y=gx的图象向下平移1个单位长度

得到可得：一次函数的解析式为y=gx-l；

(2)由题意可先假设函数丁=如(加。0)与一次函数y=依+〃的交点横坐标为-2,则由

(1)可得：

—2/71=]X(―2)-1,解得：771=1,

函数图象如图所示:

.,.当x>-2时，对于x的每一个值，函数丁=如(加。0)的值大于一次函数y=^+b的值

时，根据一次函数的左表示直线的倾斜程度可得当/〃=,时，符合题意，当，〃〈,时，则函

22

数)，=mx(mH0)与一次函数y=kx+b的交点在第一象限，此时就不符合题意，

综上所述：一</7Z<1.

2

本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.

25

24.(1)见详解；(2)GC=6,OF=—

11

【分析】

(1)由题意易得80=CD，然后问题可求证；

(2)由题意可先作图，由(1)可得点E为BC的中点，则有。E='CG,OE〃CG,进而

2

可得AAOFSRCGF,然后根据相似三角形的性质可进行求解.

【详解】

(1)证明：：AD是0。的直径，ADA.BC,

•••BD=CD，

：.ABAD=ACAD,

(2)解：由题意可得如图所示:

B

由（1）可得点E为BC的中点,

•••点。是8G的中点，

?.OE^-CG,OE//CG,

2

：*gOFs&GF,

.OAOF

••=9

CGGF

'：0E=3,

/.CG=6,

O。的半径为5,

OA=OG=5>

.5OF

••一，

6GF

OF=—OG^—

1111

本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三

角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

25.(1)zn=10.1；(2)p{<p2,理由见详解;(3)乙城市的邮政企业4月份的总收入为

2200百万元.

【分析】

(1)由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解；

(2)由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解；

(3)根据乙城市的平均数可直接进行求解.

【详解】

解：(1)由题意可得初为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政

企业的收入作为该数据的中位数，

•.•64x<8有3家，8sx<10有7家，10<x<12有飞家，

，中位数落在10〈x<12上，

771=10.1;

(2)由(1)可得：甲城市中位数低于平均数，则P1最大为12个；乙城市中位数高于平均

数，则，2至少为13个，

P1<〃2；

(3)由题意得：

200x11=2200(百万元)；

答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元.

本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题

的关键.

26.(1)x=-l；(2)必<>1<%，理由见解析

【分析】

（1）由题意易得点（1,3）和点（3,15）,然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴

公式进行求解即可;

（2）由题意可分当机＜0,〃＞0时和当机＞0,〃＜0时，然后根据二次函数的性质进行分类

求解即可.

【详解】

解：⑴当根=3,〃=15时，则有点（1,3）和点（3,15）,代入二次函数y=G：2+法（“＞（））

得:

=3a=1

»解得：,

9a+3b=15b=2

•••抛物线解析式为y=/+2x,

b

...抛物线的对称轴为X=——=-1；

2a

（2）由题意得：抛物线y=0?+法（。＞0）始终过定点（0,0）,则由〃加＜0可得：

①当机〉0,〃＜0时，由抛物线y=ax2+hx（a＞0）始终过定点（0,0）可得此时的抛物线开

口向下，即avO,与。＞0矛盾；

②当机＜0,〃＞0时，

•・•抛物线y=依?+区（〃＞0）始终过定点（0,0）,

13

.,•此时抛物线的对称轴的范围为一＜工＜一，

22

:点（―LX）,（2,%）,（4,%）在该抛物线上,

3S1357

•••它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为2<x—（—1）〈二，一<2—x<二，二<4—》<一,

a>0,开口向上，

•••由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，

；•必<X<>3•

本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

27.（1）ZBAE^ZCAD,BM^BE+MD，理由见详解；（2）DN=EN,理由见详

解.

【分析】

（1）由题意及旋转的性质易得/BAC=NE4£>=a,AE=AD，然后可证

△ABE四△4CD,进而问题可求解；

（2）过点E作EH1AB,垂足为点。，交A8于点H,由（1）可得ZABE=ZACD,BE=CD,

易证BH=BE=CD,进而可得"70=DM，然后可得ADWVsAO/yE,最后根据相似

三角形的性质可求证.

【详解】

（1）证明：：ZR4C=NE4D=a,

:.ZBAE+ABAD=/BAD+ZCAD=a,

/.ZBAE=ZCAD,

由旋转的性质可得AE=AT>,

AB=AC,

/.^ABE^ACD(SAS),

，BE=CD,

••,点何为BC的中点，

；•BM=CM,

,?CM=MD+CD=MD+BE,

，BM=BE+MDx

(2)证明：DN=EN,理由如下：

过点E作E//LA8,垂足为点Q,交AB于点H,如图所示:

NEQB=NHQB=9。。,

由(1)可得△A8E也△ACD,

:.ZABE=ZACD,BE=CD,

'：AB^AC,

:.ZABC=NC=ZABE,

•••BQ=BQ,

：.ABQE'BQH(ASA),

/.BH=BE=CD,

,/MB=MC,

:•HM=DM，

♦：MNLAB,

/.MN//EH,

：.MtNsGHE,

.DMDN1

••---------------——,

DHDE2

•••DN=EN.

本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三