2015年高考数学考前必做题系列附答案解析及考点归纳（理科）

2015年高考数学考前必做题系列(理科)

1.系列一考前必做难题系列附答案解析

2.系列二考前必做基础系列附答案解析

3.系列系三名校模拟精华列附答案解析

4.系列四最有可能考的系列附答案解析

5.系列五新题精选系列附答案解析

6.系列六经典母题系列附答案解析

系列一考前必做难题系列附答案解析

1.设/(X)与g(x)是定义在同一区间［a,6］上的两个函数，若函数y=/(x)—g(x)在可上

有两个不同的零点，则称.段)和g(x)在⑷6］上是“关联函数”，区间⑷勾称为“关联区间”.若

/(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+〃］在［0,3］上是“关联函数”，则机的取值范围是().

A.1一；,-2B.［-1,0］C.(-00,-2］D.f一0°)

【答案】A

【解析】人工)=如-3*+4为开口向上的抛物线，g(x)=2x+泄是斜率k=2的直线，可先求出£x)=2x+虺与

<511、9一

&r)=x2—3x+4相切时的加值.由〃x)=2x—3=2得切点为，此时泄=一一，因此｛x)=R—3x+

\24)4

9

4的图象与g(x)=2x+m的图象有两个交点只需将g(x)=X-—向上平移即可.再考虑区间［0,3］,可得点(3,4)

4

为｛x)=x2—3x+4图象上最右边的点，此时:"=-2,所以(-(，-2.

【考点定位】1、函数的变换；2、新定义.

2.已知以7=4为周期的函数/(》)=,':一\"6(-11］,其中加〉0。若方程

l-|x-2|,xe(l,3］

3/(x)=x恰有5个实数解，则机的取值范围为()

B.(半，历c(*|)

A.D.(2,⑺

亍'

7

【答案】B

【解析】>=小万二7,六(-1,1］的图象为椭圆上半部分，y=l-|x-2|,xe(L3］的图象为两条线段根据

了。)的周期T=4可知其图象，由方程3/(x)=x恰有:个实数解，则3w71-(x-4)2=x有两解即

(9>+】)/-72»»Jx+135*=o有两解，所以A=(-72w2尸-4x(9切②+1).135>>0解得加>半,

3my/l-(x-8)2=x无解即(9>+1*-144>x+63x9>=0无解，所以

A=(-144w2)3-4x(9w2+1)63x9w2<0解得加〈币.故<m〈币

[考点定位】考察学生运用函数的图像分析函数图像和性质的能力，考察数形结合的能力.

3.定义在H上的可导函数/(x),当xe(l,+oo)时，/(x)+/，(x)<M'(x)恒成立，

4=7(2),6=3〃3),。=(&+1)/(后)，则4也。的大小关系为()

A.c<a<bB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a

【答案】A

「解析】由当xe(L40o)时,/(x)+/'(x)<^'(x)恒成立知，当当xe(L4oo)

吐(x-l)/'(x)-/(x)>0,:.g'(x)=(")'>0所以g(x)在Xe(1,母)上是增函数因为

应<2<3,.'.g(点)<g(2)<g(3),:.c=(0+1)/(0)=“=磐=乌

12—12—13—1

L【考点定位】导致的应用

4.设函数/(x)=—,g(x)=ax2+bx(a,beR,a手0),若^=/(x)的图象与>=g(x)图象

x

有且仅有两个不同的公共点/(演/)3(£,为),则下列判断正确的是

A.当。<0时，%+%<。,必+%>0B.当Q<0时,X]+%2>°,弘+y2<0

C.当Q〉0时，X]+工2<0,必+8<0D.当。〉0EI寸，玉+工2〉0,弘+歹2>0

【答案】：B

【解析】：令/。)=8(力可得4=以+8

X

设>'="+6

x

不妨设々<叼，结合图形可知，

■

当a>0时如右图，此时区|>卜|，

1

3P-%1>x2>0,此时再+与<0，^2=—>一~-=-yx»即必+丁2>°；同理可由图形经过推理可

得当a<0时不+Xz>0,乃+必)<0•答案应选上.

1/

【考点定位】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论

思想，函数与方程思想等，难度很大，不易入手，具有很强的区分度

23420132342013

皿〜、IXXXX/、■.XXXx

5.已知函数f(X)=1+X----1--------F...H-----,2(X)=1—Xd--------1----...

23420132342013

设函数尸(x)=/(%+3)-g(x-4)，且函数尸(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,beZ)内,

则6-。的最小值为()

A、11B、10C、9D、8

【答案】B

【解析】

试题分析：/'(x)=l—x+》2—X3+L+X2012=1+X2+L+X2OI2-(X+X3+L+X2011)

11-(一严2x(l-(，)W)_l—/Jx+/3]+xM3〉0

~~i+x>所以」(x)在&上单调递增,

/(0)=l>0.=驱/(x)=0的零点在(-L0)上，而

■

1+2023

g'(x)="——<0,所以g(x)在我上量调递减，：g(0)=l>0.

1+x

111122?2,2xa

g(D=l-14------F—...------>0»g(2)=1—2H--------+----...------<0»^iQAg(x)=0的

■2342013■2342013■

零点在(1,2)上，函数/(x)=/(x+3)-g(x-4)，且函数/(x)的零点均在区间

[a,b](a<b,a,b€Z)内,/(x+3)的零点在(-4,-3)上,8(8一4)的零点在(5,6)±,b-a

的最小值为6—4=10.

【考点定位】1、导数的应用,2、根的存在性定理.

1213214321

6.已知数列为:依它的前10项的规律，则初+恤。的

1121231234

值为()

,377-117

A.—B.-C.—D.—

2461515

【答案】A

1■~T二1

【解析】通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数2,分子分母之和为2；第二组有两个数乡上，分

112

不分母之和为3；第三组有三个数三3,£2」1，分子分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，侬，与必分别，

123

是第十四组的第8个，第9个数，分子分母之和为15,所以期=N,故选A..

L.29」

【考点定位】数列及归纳推理.

7.现有两个命题：

(1)若lgx+lgy=lg(x+y),且不等式y>—2x+/恒成立，则/的取值范围是集合P；

x

(2)若函数/(x)二——XG(1,+OO)的图像与函数g(x)=-2x+/的图像没有交点，贝IJ/

x-1

的取值范围是集合0：

则以下集合关系正确的是()

A.P\jQB.QUPC.P=Q

D.Pn°=0

【答案】C

【解析】

试题分析：法一、对(1),由Igx+lgy=lg(x+_y)得砂=x+y即1y=」一(x>Oj>0).

x-1

不等式>>-2x+z恒成立，等价于z<2x+y恒成立.这只需：<(2X+、)小公即可

2x+7=2x+—=2x+fc^=2x+l+—=2(x-l)+—+3S2^+3(当》=巫+1时,

x-1x-1x-1x-12

取等号)z的取值范围是£<20+3.,

对(2)：作出函数/(x)X,xe(l,+oo)的图像与函数g(x)=—2x+/的图像如图所示:

对/(X)=—求导得：f'(x)=——二.由f\x)=——二=—2得x=也+1.由此得

x-1(x-1)2(x-1)22

切点为(m+1,1+行).代入g(x)=-2x+f得/=2拒+3.由图可知，<2夜+3时，函数

x-1

建(L+00)的图像与函数8(%)=-2刀+£的图徐殳有交点，故£的取值范围为£<272+3.

家上得：尸=。.所以选C.

X

法二、对⑴:由Igx+lgy=lg(x+y)得9=x+y即丁=----(x>O.y>0).

.xT

T

由于x>0,>>0:.---->0即x>1.

x-1

由此可以看出，这两个问题，实质上是同一个问题.所以Z的取值范围相同.故选C.

.【考点定位】1、对数运算；2、函数的图象；:、不等关系；4、重要不等式.

8.函数/(x,e)=『一「一xsin'+8(x>2)的最小值()

x-l-sin。

A.472B.2V2C.1+4V2D.-1+4V2

【答案】A

【解析】

试题分析：令x-l-sin8=/(/>0),则歹=f+—+l+sin。24ji+l+0n6,又

sin^>-l,所以夕24夜，当且仅当x=2近，。=2A万一'时取』”.

【考点定位】1、基本不等式；2、正弦函数的有界性.

x-y-2<022

9.设实数xj满足,x+2y-520,则“=匚乙的取值范围是()

b-2<0XV

s5,510、cs10,1-

A.［2,5］B，r［2万］,.⑵予D-［“4］

【答案】C

【解析】C在坐标平面上点(xjj所表示的区域如图所示，令：=上，根据几何意义，C的值即为区域内的

X

点与坐标原点连统的斜率，显然点AB是其中的两个临界值，点4(3,1),点8(12),故」Mt42,

、孑'*3

■22

u=^L=t+-.这个关于，的函数在［L1］上象调递够、在［1,2］上单调递地，故其最小值为2,最大

»：L3.

值为两个端点值中的大者，计真知霰大值为3.

L3・

【考点定位】线性规划.

10.如图，正方体/8C。-44GB的棱长为百，以顶点A为球心，2为半径作一个球,

则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）

【答案】A

【解析】

做题分析：由题得，圆弧而在以B为图I，半径为的圆上，而解而在以A为圆心件径为AE=2旷

圆上.故丽・L2”8G=L2“立日-482=2,由于cos=丝=立==300,故

442AE2

■

Z.EAF=30°.则EF=%2”.2=2，所以丽-筋♦史故选A

36036

•【者点定位】席fit长唐的计直、球..

X2记工22

11.已知/、B是椭圆--4——=1（“>6>0）和双曲线---—―=1（<?>0,b>0）的公共顶点.P

a~ba-b~

是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（尸、/都异于4、B）,且满足NA+9=2（彳而+

瓦必），其中4GR,设直线/尸、BP、AM、8"的斜率分别记为鬲、后、上3、自，自+42=5,

则左3+44=.

B

A

【答案】-5

【解析】设P（m,明、M（5,/）»则

2工22工2-

与+彳=1,$2一出=一勺，由存+品=，（赤+砺）.

abb

■

得痂=2两，即巴=£.鬲+咫=3+3=卧=第=工

msm+am-am-ana

"2M…/.t2st2s®2b3s2/5a2

_=无+匕=+一=_5_^,=_=_二=_七亦

Lw5as+as-as-a・atata2b

【考点定位】宜线与圆锥曲线.

12.已知等差数列｛q｝的首项0=1,公差d>0,且%、%、%分别是等比数列他,｝的

打、4、bq.

（1）求数列｛凡｝和也｝的通项公式;

（2）设数列｛%｝对任意正整数〃均有*R+4■+…+%=a,用成立，求q+。2+…+c20l4的

4bib,

值.

【答案】（1）%=2〃-1,〃,=3"T；（2）32014.

【解析】

试题分析：（1）将。2、%、卬4利用可与4表示，结合条件%、生、《4成等比数列列式

求出d的值，再根据等差数列的通项公式求出数列｛%｝的通项公式，根据条件a=%、

仇=心求出等比数列｛%｝的通项公式；（2）先令〃=1求出G的值，然后再令〃N2,由

幺+£1+…+%=4得到气+&+…J

4b2b„"b2初

=a»,并将两式相激，从而求出数列｛cj的通项公式：然后根据数列｛4｝通项公式的结构选择错位相减法

求数列｛cj的前2014项和

试题解析：(1),.•。2=1+4,。5=1+44巧,=,+1M,且。2、。5、。14成等比数列，

：.(l+4d)2=(l+d)C即d=2,

..%=1+(«-1)2=2»-1

又,:=%=3,多=%=9,..(7=3»4=1,4=3"":

■■

4%b„

—=dtj»即q==3，!

又人+幺+…2.=%(722j,②

①-②得—=a*+i-％=2,

.b...

3,〃=1

・•.C,,=24=23,T(〃N2),

2-y-',n>2

=J)l41

则C[+。2H—,+c20|43+2,3'+2-3"+,••+2-3

3+2-(3'+32+---+32()B)=3+2X

【考点定位】1.等差数列与等比数列的通项公式；2.定义法求通项；3.错位相减法求和

13.设无穷等比数列也,｝的公比为q,且凡〉0(〃GN*),[%]表示不超过实数%的最大整

数(如[2.5]=2)，记4=以”],数列也｝的前〃项和为S,，数列｛“｝的前〃项和为方.

(I)若q=4,g=；,求北；

(H)若对于任意不超过2014的正整数n,都有北=2〃+1,证明：弓)痂＜夕＜1.

(III)证明：&=方(〃=1,2,3,L)的充分必要条件为0挝N*,qN*.

4,〃=1,

【答案】(1)T“=＜6,〃=2,；(||)答案详见解析；(W)答案详见解析.

7,〃》3.

【解析】

试题分析：(I)由已知得，a=4,叼=2,%=1,且当8>3时，0<见<1.且瓦=[%],故4=4,4=2,

4=1,且当加>3时，4=&]=0,进而求罂；(11)已知数列｛4｝的前同项和北=2总+1(1<«<2014),

可求得4=3急=2(2《%七2014),由取整函数得为e[3,4),即e[2,3)(2W%W2014),故夕="<1,要

证明(2)薪”，只需证明2</巴故可联想到.M=%产％[2,3),则/。瞋汕>2；(HD先

33a23

证明充分性，当geN时，a”=4/^eN,由取整函数的性质得々=[%]=《，报s"="必

要性的证明，当属=年时，％=耳，则有的丘可，gcN.

试题解析：(I)解：由等比数列Q)的/=4,4=(，得4=4,叼=2,%=1,且当*>3时，0</<1.

所以«=4,4=2，4=1，且当〃>3时，£>=[a,,]=0.

4,〃=1,

即Tn=<6,〃=2,

7,“23.

(H)证明:因为7；=2»+1(/7^2014),所以4=(=3,

bn=Tn-Tn_i=2(2^20l4).

因为bn=[an].

所以<7,e[3,4),a“e[2,3)(2W〃W2014).

20l2

由乡="，得q<l.因为a2014=^e[2,3),

所以q20'2,

a23

所以|<720'2<1-即弓)赤1<q<L

(III)证明：(充分性)因为qiN*,q\N*,所以为=a0"iN*,

所以4=也」=为对一切正整数n都成立•

因为g=q+%+L+。“，Tn=b｝+b2+L+bn,

所以凡=罂

(必要性.)因为对于任意的"CN,¥=£,

当〃=1时，由4=6],4=看，得乌=4；

当心2时，由％=S,—Sf,-2,得4=4

所以对一切正整数n都有%=4.

由々WZ,2>0,得对一切正整数n都有a”eN*,

所以公比9=竺为正有理数

♦

假设g£N，令q=f，其中p/CN,r>b且p与r的最大公约数为1.

国为马是一个有限整数，.

所以必然存在个整数左(左IN),使得4能被/整除，而不能被rM整除.

£+1

又因为4+2=。""’=笔一，且P与r的最大公约数为1.

r

所以4+2iZ,这与qjN*(〃iN*)矛盾.所以qeN*.

因此qiN*,qwN*.

【考点定位】1、等比数列的通项公式；2、数列前n项和；3、充要条件.

14.如图，四棱锥P-Z8CD中，底面是平行四边形，NG4O=90。，尸/,平面

ABCD,PA=BC=T,AB=6,歹是8C的中点.

(1)求证：平面R4C；

(2)若以/为坐标原点，射线ZC、AD,/P分别是x轴、y轴、z轴的正半轴，建立

空间直角坐标系，已经计算得7=(1,1,1)是平面PCD的法向量，求平面P/尸与平面PCD

所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)参考解析；(2)叵

5

【解析】

，分析：(D需证明DAX平面PAC，转化为证明ADJ_AGAD_LPA因为PA垂直平面ABCD,由题意

可得.4D±AC,AD±PA显然成立，即可得结论.-

(2)如图建立空间直角坐标系，因为〃-=QU)是平面产。的法向量，所以求出平面PAF的法向量

^=(1,2,0),再根据两平面的法向量的夹角的余弦值，即可得到平面R4F与平面尸8所成税二面角的余

弦值,

试题解析：^(0,0,0),C(l,0,0),5(1,-1,0),£)(0,1,0),^(1.~1.0),P(0,0,1).(1)证明方法一：•.•四边形是

平行四边形，•.•R4_L平面旗8..PALDA,又为C_Ld4,AC[}PA=A,

ZXJ■平面月4c

K法二：证需方丑•平面正火C的一个法向量，.平而P4c

U

(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组，计算得平面尸4厂一个法向量为m=(1,2,0),

U*1*5Z—

15r|加•〃|J15

又平面PC。法向量为〃=(14,1)，所以cos＜加,〃〉=3一］=士

IAWIIWI5

所求二面角的余弦值为姮.

5

[考点定位】1.线面垂直的证明2.：面角.3.空间向量的运算4运算的能力.

15.如图，直三棱柱ABC-A|B|G中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CG上,

已知AB=AC,AA|=3,BC=CF=2.

(1)求证：GE〃平面ADF；

⑵设点M在棱BBI上，当BM为何值时，平面CAM,平面ADF?

【答案】(1)见解析(2)当BM=1时

【解析】(1)证明：连结CE交AD于O,连结OF.

因为CE,AD为AABC中线，所以O为aABC的重心，工工=0°=2

CC,CE3

从而OF*C】EOFF平面ADF,©Eg平面ADF,所以GE〃平面ADF

（2）解：当BM=1时，平面CAMJ■平面ADF

在直三棱柱ABC-AiBiC】中，由于B】BJ■平面ABC,BB】U平面B】BCC”所以平面&BCGJ■平面ABC

由于AB=ACD是BC中点，所以AD_L3c又平面3.3CC】C平面ABC=BC，所以AD_L平面BjBCQ.而,

CMU平面B】BCCi，于是AD_LCM.因为BM=CD=1,BC=CF=>.所以RtaCBMaRrZiFCD,所以

CM±DFDF与AD相交，所以CM_L平面ADFCM_L平面CAM,所以平面CAMJ•平面ADF.当BM=1时,

平面CARLL平面ADF..

【考点定位】空间线、面间的位置关系.

16.在aABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,AB=1,D为线段BC的中点，E、F为线段

AC的三等分点（如图①）.将4ABD沿着AD折起到△ABD的位置，连结BC（如图②）.

（1）若平面ABDL平面ADC,求三棱锥B--ADC的体积；

（2）记线段BC的中点为H,平面BED与平面HFD的交线为1,求证：HF〃I；

（3）求证：AD±B'E.

【答案】（1）-（2）见解析（3）见解析

8

【解析】（1）解：在直角AABC中，D为BC的中点，所以AD=BD=CD.又NB=60。，所以

△ABD是等边三角形.取AD中点0,连结B。,所以B，O_LAD.因为平面ABDJ_平面ADC,

平面ABDCT平面ADC=AD,B，0u平面ABD,所以Bz0±平面ADC.在^ABC中，ZBAC

=90°,NB=60°,AB=1,D为BC的

中点，所以AC=5,所以Sa.3=LLlx5=直所以三棱傕BMC的体积为V=

2224

-xS<iADcXBg=L-

38

M）证明：因为H为BC的中点，F为CE的中点，所以HF〃3三又HF〃平面BED,BtC平面.

BED,所以HF〃平面BED因为HFU平面HTD,平面3EDC平面MFD=L所以HF〃l

（3）证明：连结EO,由（1）知，BO1AD

因为AE=^,AO=1,NDAC=30>,

■32■■

____________________________h

所以EO=yjAE*2+3AO2-2AEAOCOS30°=—.

所以AO2+EC>2=AE2.所以AD1EO.

又B，Ou平面B，EO,EOu平面B，EO,B，OCEO=O,

所以ADJ_平面B，EO.学科网

又B，Eu平面B，EO,所以AD_LBE

【考点定位】1、几何体的体积；2、空间线、面间的位置关系.

17.如图，正三棱柱NBC-44G所有棱长都是2,D棱AC的中点，E是CQ棱的中点,

AE交同。于点H.

（1）求证：平面/6。；

（2）求二面角。一84的余弦值；

（3）求点耳到平面AiBD的距离.

【答案】（1）参考解析；（2）孚；（3）孚

【解析】

配题分析：⑴由正三棱柱演，-4州不可得平面此BJ•平面4c又DB_L.4c所以如图建立空间直角坐'

除系分别点A.E,B,D,4的坐标，得出相应的向凝即可得到向聋AE与向量BD，向量4。的数量积为零.

策可得直线松_L平面AfiD

统,0,国

（2）由平面4/8,平面AfiB分别求出这两个平面的法向量，赧据法向量的夹角需到二面角。-84-H的

余注值（根提图形取镜鱼）；一-一

（3）点到平面的距离，转化为直线。法向量的关系，再通过解三角形的知识即可得点到平面

的距离.本小题关键是应用解三角形的知识.

试题解析：（1）证明：建立如图所示，IE=（-2,-i,o）赤=（—1,2,0）

~BD=（0,0,-V3）•.•而丽=0而而=0

AAEA.A}D,AE±BD即AE_LAQ,AE1BD

；.AE_L而A,BD

(2)由『丽=0『访=0=><句(一石)=。.•.取1=(2,1,0)

一再++2M=0

慢面AAjB的法向量为■；豆2=(叼,当/2),则由〃24§=0,%.].=0'

-马+2%+=0m~fAR一一6y/y5

=U=0'啊2"C°我'"/>=^712=V

由图可知二面角D-BAJ-A的余弦值为半'

(3)祁=(0,2,0),平面AiBD的法向量取若=(2,1,0)

则B】到平面A】BD的距离d-|华:•|=福=竽

【考点定位】1.空间坐标系的建立.2.线向垂直的证明.4.：面角的求法5点到平面的距离公式.

18.已知点邛―1,0),月(1,0)分别是椭圆C：W+g=l(“>6>0)的左、右焦点，点

a"b

P(l,*)在椭圆上。上.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)设直线/1号=履+优,/2：丁=近一利,若/1、4均与椭圆。相切，试探究在X轴上是否

存在定点M，点M到Z„/2的距离之积恒为1?若存在，请求出点M坐标;若不存在，请说明理

由.

【答案】(1)-y+y2=1；(2)满足题意的定点5存在，其坐标为(一1,0)或(1,0)

【解析】

俄题分析：本题主要考查椭圆的定义和标准方程以及苴线与懒IS的位置关系等数学知识，考查分析问题解・

2

决।可题的能力和计辑能力第一I司，法一：利用焦点坐标求出c，由于点尸在椭圆上，得到方程］+耳=1，

ab

又因为三个参里的关系得『=/+i,联立，解出。也以从而得到椭圆的方程；法二：利用椭圆的

I■

定义，2。=|尸耳|+|尸玛|,利用两点间的距离公式计国得出a6的值，从而得到精圆的方程；第二间，直

线4与椭图联立，由于它们相切，所以方程只有一个根，所以A=0,同理直线4与播国联立得到表达式

附2=1+2/,假设存在点BQ,0)，利用点到直战的距离，列出表达式，格加2=1+%2代入整理，使得到

的表法式，解出：的值，从而得各5点坐标,_.

试题解析：⑴法'：由耳(-1,0),鸟(1,0),得c=l,1分

1

12_1

V+F=12分

=〃+1

LY2

。=及,6=1，椭圆。的方程为'+夕2=14分

2

法二：山片(—1,0),马(1,0),得c=l,1分

2a=|尸网|+|尸玛|=J。-1尸+*0尸++川+(浮01=203分

a—5/2,Z>=1

「•椭国C的方程为=+>/=14分

2

0把h的方程代入椭圆方程得(1+2M)/+Amkx+2疗-2=05分.

2

•..直线4与椭圆C相切A=16欠％2—4(1+及2)(2w-2)=0，化简得

用2=1+2/同理把。的方程代入桶圆方程也得：加2=1+%27分

设在x轴上存在点BQ,0),点5到直线h4的距离之积为1贝J

竺竺!.牛四=1,即|燔->|=*+1户9分

把1+2公=病代入并去绝对值整理，*(/-3)=2或者左2(r—1)=0io分

前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的左€R恒成立则『-1=0，解得，=±1；

综上所述，满足题意的定点B存在，其坐标为(-1,0)或(1,0)12分

【考点定位】1.椭圆的标准方程；2.椭圆的定义；3.两点间的距离公式；4.点到直线的距离

公式.

19.如图,已知抛物线=4》的焦点为F,过F的直线交抛物线于M、N两点，其准线/与

（2）0为坐标原点，直线MO、NO分别交准线于点P、Q,求|尸0|+|朋的最小值.

【答案】（1）见解析；（2）8.

【解析】

战题分析：⑴只需证之僦+仆=0,设出M，N唯坐标和直线MN方程，再把直线方程与抛物线方程'

联立，由韦达定理可得证；（2）由（1）设出的M,N两点坐标分别先求出P、Q两点坐标，还是把设出的

直线MN方程与抛物线方程联立，由韦达定理把|尸2|,孙表示出来，再根据直线MN的帧斜角的范围求

忸Q|+MM的最小值.-,

读题解析：（1）抛物线焦点坐标为F（L0）,准线方程为x=-L2分

设直线MN的方程为x=sy+1.设M、N的坐标分别为（4,乃）,（亨,当）

山〈2-4冲一4=0,必+,2=4m,必必=一4.4分

y=4x

设KM和KN的斜率分别为k{,k2,显然只需证匕+怎=0即可.：K（-1,0）,

•+k一乂।为4(乂+%)02+4)_0

k।k/2+1上+J西+4)V3+4)"'6分

44

（2）设M、N的坐标分别为（含,凹）,（午,必），由M,O,P三点共线可求出P点的坐标

44

为（―1,一一）,由N,O,Q三点共线可求出Q点坐标为（—1,——）,7分

必y2

x=叩+10

设宜线MN的方程为x二叩+1。由《24=>/__4叩-4=0

•,­?!+?!-的JJ广Y则I尸0=1±±I-二，-&»-'-4)办

ZJ17jJ

■-6疝+16,4jm‘+19分

又直线MN的颈斜角为氏则加=」—,66(0,加

tan0

・•・•1改卜4尺^=白10分

4

同理可得|附|==T^.13分

447T

|FJ2|+|AW|=—-+—^->8(^=?时取到等号)15分

sin0sind2

■【考点定位】I、抛物线的方程及性质；2、直线与曲线相交的性质

(1)求椭圆E的方程;

(2)设过点P(-2,0)的直线与椭圆E交于A、B两点，且满足丽=4"(4>1).

①若;1=3,求3|4用+|班|的值;

②若M、N分别为椭圆E的左、右顶点，证明：/AF\M=/BF[N.

2

【答案】⑴]r+V=l.；⑵参考解析

【解析】

X2y2

试题分析:(1)因为山椭圆E:—Y+~^2Ka>b>0)的左焦点为耳(一1,0),即c=1.由点

。(1,半)到两焦点

的距离和可求出惭圆的长轴2a从而可以求出椭图的方程."

(2)(1)通过假设直统的方程联立桶圆方程消去y可得一个一元二次方程，由韦达定理即4=3可求出直线

的斜率k的值，从而解出A.B两点的坐标，即可得结论.(2)分别求两■爱”用3片的斜率和，利用韦达

定理得到的关系式即可证明斜率和为零即可得到结论.

成题解析：(1烟为焦点为耳(-L0)，O1.又椭圆过Q(L芋)，・

取椭国的右焦点玛，玛(L0)，由|Q耳|+|。玛卜加得a=0J=l,

所以椭圆E的方程为E+V=l.

2

.(2)脾j(x“3B(X2,乃)一...

显然仃线AB斜率存在,设直线方程为y=k(x+2)

y=k(x+2).,,

由，.212得小就吐的+.=0

得OK左2＜；,..•丽=3»;.8=3凹,

4k,22左2

凶+为二4例二^/跖二？必二寸,

；"2=J.，符合4>0,由对称性不妨设左=1,

42

14~~i■

解得&-1，，，8（0,1）;3M周+忸国=20

②若不=-1则・线E4的方程为7=±日&+2）,・-、

将发=±日代入得△=（）,不满足题意:五=-1同理々=-1

'tan/ARN=上,tan4BF、N=-^-,

xx+lx2+1

tan乙^及+tan乙BF,N=上」+且=勺乃+必+x必+为=（［-2）必+，+（$2）为,"

X］+lx24-1（Xj+l）（x2+1）（为+1）*2+1）

222k24k

=V必-5+M）=1（1+汨）-1+2炉=o

.（々+1）（与+口（X1+1）（X2+1）.

.-.tan乙iF、N=-tanABFXN:.NAF、M=4BF、N

【考点定位】1.椭圆的性质.2.直线叮椭圆的位置关系3韦达定理.4.几何问题构建代数方法解

决.

21.已知点大、尸2为双曲线C：，—《=1仅＞0）的左、右焦点，过尸2作垂直于x轴的直

线，在x轴上方交双曲线C于点且NMGB=30°.圆。的方程是/+/=/.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C上任意一点尸作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为勺、P2,求

丽•西的值；

（3）过圆。上任意一点Q（x0,打）作圆。的切线/交双曲线C于/、8两点，中点为〃，

求证：|刀卜21两］.

【答案】⑴f_2L=l；（2）4；（3）证明见解析.

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【解析】

试题分析：（1）从双曲线方程中发现只有一个参数，因此我们只要找一个关系式就可求解，

2

而这个关系式在火/加鸣鸟中，NMg=30。,W|=2c=2jl+/,\FtM\=b,通

过直角三角形的关系就可求得b；（2）由（1）知双曲线的渐近线为y=±J5x,这两条渐近线在

含双曲线那部分的夹角为钝角，因此过双曲线上的点P作该双曲线两条渐近线的垂线

PP\,PPi为锐角，这样这题我们只要认真计算，设尸点坐标为（%