高斯小学奥数含答案三年级（下）第07讲 数阵图初步

第七讲数阵图初步

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丞相，魏军有诸葛亮是三国时

2000人来袭，我期著名的军事家.他

军只有1050人！，善于布阵，至今流传

若不少他布阵退敌的

传说.

[卜—今日将会有两

了千曹军来袭.但是诸位不亦、

’恐慌.我近日夜观天象,已经参、

悟了七星阵的布阵之法.只要布下

此阵，敌军见了一定会落荒而逃.[

诸葛亮召集手下所有士兵，摆

成七星阵迎敌.

在一棵小松树上挂满小礼物，缀上彩带，点上彩灯或蜡烛，就成了圣诞树.在美丽的几何

图形中按照巧妙的规律点缀上一些数，就成了数阵图.

数阵图就是将一些数按照一定规律排列而成的图形，有时也简称数阵.例如下图就是一个

数阵图.图中每条边的和都等于14.这个相等的和通常也被称为“公共和”.

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情.数阵图种类繁多，奇妙无穷.它

是一座真正的数字迷宫，对于喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，连大数学家欧拉

对它都有着浓厚的兴趣.

让我们来欣赏这些美妙的数阵图吧.

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占例题1在图中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形«

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每条边上的三个数之和都等于11.«

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【分析】一条边上三个数之和为11,那么只要知道其中两个数，就可以把第三个数填出来了,

观察一下，哪一行是可以直接填出来的？

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在图中的四个圆圈内填入合适的自然数，使得正方形每条边上的三个

数之和都等于14.

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例题2在下图的八个圆圈中分别填入八个不同的自然数，使正方

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形每条边上的三个数之和相等.现在已经填好了五个数，

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那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整.

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【分析】每条边上的三个数之和并不知道，也不能直接算出.但由于每条边上的和是相等的,

我们可以比较其中两个和，观察一下，根据上边三个数之和与右边三个数之和相等，你能判断

出右下角应该填几吗？

切

在图中九个圆圈中分别填入九个不同的自然数，使得图中六条直线上的三个数之和相

等.现在已经填入五个数，请将其补充完整.

上面的数阵图都已经填入了一部分数，有时我们遇到的数阵图中完全没有任何数，这时我

们应当先想办法计算公共和.

例题3把1至8分别填入图中的八个方格内，使得各列上两个数

之和都相等，各行四个数之和也相等.（行的和与列的和可

以不相等）

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【分析】所有数的和是可以算出来的.你能根据这个总和算出行和、列和分别应该是多少吗？

配对的想法很重要哦！

将。至11这12个自然数填入下图的方格中，使得各列上两个

数的和都相等，各行六个数的和也相等.（行的和与列的和可以不

相等）

虽然上述例题没有直接告诉我们公共和，但是我们还是有办法“算”出这个和来.请同学

们记住，比较复杂的数阵图，不是“凑”出来的，而是“算”出来的.

这一讲的最后，我们要学会一个新的概念：重（ch6ng）数.

我们再来看看本篇开头的数阵图:

通过观察这个数阵图我们发现，中心圆是最特殊的，每一条直线都有它.如果我们把5条

直线和相加，这个圆就被加了5次，这时我们就说这个圆圈的“重数”是5.这里“重数”的

意思是指圆圈重复计算的次数.下面我们就来看看与重数有关的问题.

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例题4把1至7这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上

三个圆圈内所填数之和都是10./

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【分析】7个圆圈中的数之和即1~7之和为28,而把三条直线的三个和加在一起却是30

什么会多出来2呢？根据这个2,那个圆圈是可以计算出来的？

萱萱把1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下图的七个方框里，每个数只填

一次.使得三条直线上的三个数之和恰好分别是8、11、15.请给出一种填法.

例题5将1至9分别填入下图中的圆圈内，使得图中所有三角形

（共七个）的三个顶点上的数之和都等于15.现在已经填

好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.

【分析】你能找到图中的七个三角形吗？已知每个三角形的三个顶点上数之和都是15,根据这

个条件我们最先能填出哪个位置上的数呢？

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例题6把1至11填入下面“六一”图形的十一个空格内，使得每

一条直线上的所有数之和都相等.

【分析】哪个位置最特殊？你能算出这个特殊位置上的数时多少吗?

课堂内外）

古代阵法

鱼鳞阵：大将位于阵形中后，主要兵力在中央集结，分作若干鱼鳞状的小

方阵，按梯次配置，前端微凸，属于进攻阵形.战术思想：“中央突破”.集

中兵力对敌阵中央发起猛攻，己方优势时使用，阵形的弱点在于尾侧.

锋矢阵：大将位于阵形中后，主要兵力在中央集结，前锋张开呈箭头形状,

也是属于进攻阵形.战术思想：“中央突破”.锋矢阵的防御性较鱼鳞阵为好,

前锋张开的“箭头”可以抵御来自敌军两翼的压力，但进攻性稍差，阵形的弱

点仍在尾侧.

鹤翼阵：大将位于阵形中后，以重兵围护，左右张开如鹤的双翅，是一种

攻守兼备的阵形.战术思想：左右包抄.鹤翼阵要求大将应有较高的战术指挥

能力，两翼张合自如，既可用于抄袭敌军两侧，又可合力夹击突入阵型中部之

敌，大将本阵防卫应严，防止被敌突破；两翼应当机动灵活，密切协同，攻击

猛烈，否则就不能达到目的.

偃月阵：全军呈弧形配置，形如弯月，是一种非对称的阵形，大将本阵通

常位于月牙内凹的底部.作战时注重攻击侧翼，以厚实的月轮抵挡敌军，月牙

内凹处看似薄弱，却包藏凶险，大将本阵应有较强的战力，兵强将勇者适用，

也适用于某些不对称的地形.

作业

1.在图中的四个圆圈内填入合适的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和都等于14.

2.把1至12分别填入六角星图案的十二个圆圈中，使得每条线段上的四个数之和相等.现在如图已经填

好了八个数，请把数阵图补全.

3.将1〜5填入图中的圆圈中，使得横、竖、大圆周上的几个数之和都相等.

第4题

4.如图，把1至9填入九个方格内，使得这四条旋臂上三个数之和分别是8、13、16、17.那么心形边界

上四个数的乘积最小是.

5.把1至8填入图中的圆圈内，使得每条直线上的数之和都相等.请填出一种.

第5题

第七讲数阵图初步

1.例题1

答案：如图所示

详解：根据公共和11,依次填出左下角为4、右下角为6、右边中间数

2.例题2

答案：如图所示

详解：如右图，比较上边三个数和右边三的个数，它们的和相等，A是公共部分，所以1+16=9+8,即8=8.这

时由下边三个数可以求出每条边上的三个数之和是7+6+8=21,于是右上角填21-1-16=4,左边中间填

21-1-7=13.

3.例题3

答案：如图，填法不唯一

详解：每列两个数的和都是相等的，每一行四个数的和也是相等的.1~8共有8个数，总和

1467

为36,所以每行四个数的和都是36+2=18,而每列两个数之和都是36+4=9.首先，

8532

将1~8分成四组：(1,8)、(2,7)、(3,6)、(4,5),每列填入一组，然后上下调整，使得

两行的和都是18.

4.例题4

答案：如图所示，填法不唯一

详解：三个和相加，中间数加了3次，其余数各加了1次，即

上中间数，28+2x中间数=30,所以中间数为1,然后再分别

(2.7)、(3.6)、(4,5).

例题5

答案：如图所不

详解:在下图中，观察A、5、6组成的三角形可知A=15-5-6=4,观察5、9、B组成的三角形可知8=15-5-9=1.类

似的方法可知C=15-9-4=2,0=15-6-1=8.E=15-2-6=7,尸=15-7-5=3.

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55

6.例题6

答案：填法不唯一，如图为一种填法

详解：十一个方格中的数之和是1+2++11=66.记每条直线上的所有数之和为A,则五条直线上的五个和加在

一起是5xA,其中右图中★位置的数被多算了一次，即5xA=66+*.因此★填4时,A为14；★填9时，A为

15.尝试可以排除★填4的情况，因此★填9.

7.练习1

答案：如图

详解：根据公共和14依次填出右上角为8、右下角为4、左下角为7、左边中间数为6.

8.练习2

答案：如图所不

详解：如下图.简答：方法与例题2相同，右下角填10+4-12=2,左下角填3+16-12=7,

每条直线上的和是10+4+7=21,所以中间填21-4-16=1,上边中间填21-10-3=8.

练习3

答案：如图，填法不唯•

简答：每列两个数的和都是相等的，每一行六个数的和也是相.0-11共有12

1119345

个数，总和为66,所以每行四个数的和都是66+2=33,而每

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66-6=11.首先，将0~11分成四组：(0,IDs(1,10)、(2,,8）、（4,7）、

(5,6),每列填入一组，然后上下调整，使得两行的和都是33.

10.练习4

答案：中间填3_「

简答：七个数之和是1+2+3+4+5+6+7=28,而三条直线上的三个一~厂"VL-和加起来是

8+111M,这时中间的方框多算了两次，所以中间填

(34-28)+2=3.要凑三个和是