初二上学期压轴题模拟数学试题带答案

初二上学期压轴题模拟数学试题带答案1．已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．(1)如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．(2)如图1，求证：EF＝2AD．(3)如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．2．如图1，在平面直角坐标系中，点，，且，满足，连接，，交轴于点．（1）求点的坐标；（2）求证：；（3）如图2，点在线段上，作轴于点，交于点，若，求证：．3．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值．解：因为所以所以得．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若，求的值；（2）①若,则；②若则；（3）如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．4．请按照研究问题的步骤依次完成任务．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为；【拓展延伸】（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）；（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论．5．已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．(1)如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰，若，，求C点的坐标；(2)如图2，若点A的坐标为，点B的坐标为，点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰．当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理出；(3)如图3，若，于点F，以OB为边作等边，连接AM交OF于点N，若，，请直接写出线段AM的长．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线l∥AB，点B与点D关于直线l对称，连接BD交直线于点P，连接CD．点E是AC上一动点，点F是CD上一动点，点E从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C．点F从D点出发，以每秒2cm的速度沿D→C→B→C→D路径运动，终点为D．点E、F同时开始运动，第一个点到达终点时第二个点也停止运动．

(1)当AC＝BC时，试证明A、C、D三点共线；（温馨提示：证明∠ACD是平角）(2)若AC＝10cm，BC＝7cm，设运动时间为t秒，当点F沿D→C方向时，求满足CE＝2CF时t的值；(3)若AC＝10cm，BC＝7cm，过点E、F分别作EM、FN垂直直线l于点M、N，求所有使△CEM≌△CFN成立的t的值．7．如图1，在平面直角坐标系中，点在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设，且．（1）直接写出的度数．（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若，求点M的坐标．（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作，且，连接AF交BC于点P，求的值．8．问题引入：(1)如图1，在中，点O是和平分线的交点，若，则______（用表示）：如图2，，，，则______（用表示）；拓展研究：(2)如图3，，，，猜想度数（用表示），并说明理由；(3)BO、CO分别是的外角、的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想______（直接写出答案）．【参考答案】2．(1)∠BAC＝50°(2)见解析(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根据∠EAF+∠BAC＝180°构建方程即可解解析：(1)∠BAC＝50°(2)见解析(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根据∠EAF+∠BAC＝180°构建方程即可解决问题；（2）延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，想办法证明△ABH≌△EAF即可解决问题；（3）结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．想办法证明△ACD≌△FAG，推出∠ACD＝∠FAG，再证明∠BCF＝150°即可．(1)解：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝65°，∴∠EAB＝50°，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC＝75°，∴∠CAF＝30°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，∴50°+2∠BAC+30°＝180°，∴∠BAC＝50°．(2)证明：证明：如图，延长AD至点H，使DH=AD，连接BH∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，又∵DH=AD，∠BDH=∠ADC∴△ADC≌△HDB（SAS），∴BH=AC，∠BHD=∠DAC，∴BH=AF，∵∠BHD=∠DAC，∴BH∥AC，∴∠BAC+∠ABH=180°，又∵∠EAF+∠BAC=180°，

∴∠ABH=∠EAF，又∵AB=AE，BH=AF，∴△AEF≌△BAH（SAS），∴EF=AH=2AD，∴EF＝2AD；(3)结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．理由：由（2）得，AD＝EF，又点G为EF中点，∴EG＝AD，由（2）△AEF≌△BAH，∴∠AEG=∠BAD，在△EAG和△ABD中，，∴△EAG≌△ABD，∴∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD，∴△AEB是等边三角形，AG=CD，∴∠ABE＝60°，∴∠CBM＝60°，在△ACD和△FAG中，，∴△ACD≌△FAG，∴∠ACD＝∠FAG，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°，∴60°+2∠BCF＝360°，∴∠BCF＝150°，∴∠BCA+∠ACF＝150°，∴∠GAF+（180°﹣∠CAF）＝150°，∴∠GAF﹣∠CAF＝60°．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）由非负性可求a，b的值，即可求解；（2）由“SAS”可证△ABP≌△BCQ，可得AB=BC，∠BAP=∠CBQ，可证△ABC是等腰直解析：（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）由非负性可求a，b的值，即可求解；（2）由“SAS”可证△ABP≌△BCQ，可得AB=BC，∠BAP=∠CBQ，可证△ABC是等腰直角三角形，可得∠BAC=45°，可得结论；（3）由“AAS”可证△ATO≌△EAG，可得AT=AE，OT=AG，由“SAS”可证△TAD≌△EAD，可得TD=ED，∠TDA=∠EDA，由平行线的性质可得∠EFD=∠EDF，可得EF=ED，即可得结论．【详解】解：（1）∵a2-2ab+2b2-16b+64=0，∴（a-b）2+（b-8）2=0，∴a=b=8，∴b-6=2，∴点C（2，-8）；（2）∵a=b=8，∴点A（0，6），点B（8，0），点C（2，-8），∴AO=6，OB=8，如图1，过点B作PQ⊥x轴，过点A作AP⊥PQ，交PQ于点P，过点C作CQ⊥PQ，交PQ于点Q，∴四边形AOBP是矩形，∴AO=BP=6，AP=OB=8，∵点B（8，0），点C（2-8），∴CQ=6，BQ=8，∴AP=BQ，CQ=BP，又∠APB=∠BCQ∴△ABP≌△BCQ（SAS），∴AB=BC，∠BAP=∠CBQ，∵∠BAP+∠ABP=90°，∴∠ABP+∠CBQ=90°，∴∠ABC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∵∠OAD+∠ADO=∠OAD+∠BAC+∠ABO=90°，∴∠OAC+∠ABO=45°；（3）如图2，过点A作AT⊥AB，交x轴于T，连接ED，∴∠TAE=90°=∠AGE，∴∠ATO+∠TAO=90°=∠TAO+∠GAE=∠GAE+∠AEG，∴∠ATO=∠GAE，∠TAO=∠AEG，又∵EG=AO，∴△ATO≌△EAG（AAS），∴AT=AE，OT=AG，∵∠BAC=45°，∴∠TAD=∠EAD=45°，又∵AD=AD，∴△TAD≌△EAD（SAS），∴TD=ED，∠TDA=∠EDA，∵EG⊥AG，∴EG∥OB，∴∠EFD=∠TDA，∴∠EFD=∠EDF，∴EF=ED，∴EF=ED=TD=OT+OD=AG+OD，∴EF=AG+OD．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．（1）12；（2）①6；②17；（3）【分析】（1）根据完全平方公式的变形应用，解决问题；（2）①两边平方，再将代入计算；②两边平方，再将代入计算；（3）由题意可得：，，两边平方从而解析：（1）12；（2）①6；②17；（3）【分析】（1）根据完全平方公式的变形应用，解决问题；（2）①两边平方，再将代入计算；②两边平方，再将代入计算；（3）由题意可得：，，两边平方从而得到，即可算出结果．【详解】解：（1）；；；又；，，∴．（2）①，；又，．②由，；又，．（3）由题意可得，，；，；，；图中阴影部分面积为直角三角形面积，，．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的适当变形灵活应用，（1）可直接应用公式变形解决问题．（2）①②小题都需要根据题意得出两个因式和或者差的结果，合并同类项得①，②是解决本题的关键，再根据完全平方公式变形应用得出答案．（3）根据几何图形可知选段，再根据两个正方形面积和为18，利用完全平方公式变形应用得到，再根据直角三角形面积公式得出答案．5．（1）见解析；（2）∠P=23º；（3）∠P=26º；（4）∠P=；（5）∠P=．【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方解析：（1）见解析；（2）∠P=23º；（3）∠P=26º；（4）∠P=；（5）∠P=．【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程组即可得到结论；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题；（4）根据题意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再结合∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，得到y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），从而可得∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=；（5）根据题意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再结合AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=.【详解】解：（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）解：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的结论得：，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=23°；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；故答案为：26°；（4）由题意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），即y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=y+（∠CAB-∠CDB）=y+（x-y）=故答案为：∠P=；（5）由题意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，∴∠BAD+∠P=（∠BCD+∠BCE）+∠D，∴∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=90°+（∠BCD-∠BAD）+∠D=90°+（∠B-∠D）+∠D=，故答案为：∠P=.【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．6．(1)(2)整式的值不发生变化．其值为(3)【分析】（1）过点作于点，可以证明，由，，再由条件就可以求出的坐标；（2）过点作于点，可以证明，则有为定值，从而可以得出结论的值不变为；解析：(1)(2)整式的值不发生变化．其值为(3)【分析】（1）过点作于点，可以证明，由，，再由条件就可以求出的坐标；（2）过点作于点，可以证明，则有为定值，从而可以得出结论的值不变为；（3）在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出．由等腰三角形的性质可得出结论．(1)解：如图1，过点作于点，，等腰直角三角形，，，．，，．，，，，，；(2)解：整式的值不会变化．理由如下：如图2，过点作于点，，等腰直角三角形，，，，，，，，，，当点沿轴负半轴向下运动时，，整式的值不变，为；(3)．证明：如图3，在上截取，连接，是等边三角形，，，为等腰直角三角形，，，，,，，，，，．，，，，，，，，，即．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的做出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键．7．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）先由AC=BC、∠ACB=90°得到∠ABC=45°，进而得到∠CBD=∠CDB=45°，然后得到∠BCD=90°，最后得到∠ACB+∠BCD=18解析：(1)见解析(2)(3)【分析】（1）先由AC=BC、∠ACB=90°得到∠ABC=45°，进而得到∠CBD=∠CDB=45°，然后得到∠BCD=90°，最后得到∠ACB+∠BCD=180°，即A、C、D三点共线；（2）先用含有t的式子表示CE和CF的长，然后根据CE=2CF列出方程求得t的值；（3）先由∠BCP=∠FCN、∠BCP+∠ECM=90°，∠ECM+∠MEC=90°得到∠MEC=∠FCN，然后结合全等三角形的性质列出方程求得t的值．(1)证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∵点B与点D关于直线l对称，∴BD⊥直线l，BC=CD，∵直线l∥AB，∴BD⊥AB，∴∠ABD=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴∠BCD=90°，∴∠ACB+∠BCD=180°，∴A、C、D三点共线；(2)解：∵AC=10cm，BC=7cm，∴当点F沿D→C方向时，0≤t≤3.5，∴CE=10-t，CF=7-2t，∵CE=2CF，∴10-t=2（7-2t），解得：t=．(3)解：∵∠BCP=∠FCN，∠BCP+∠ECM=90°，∠ECM+∠MEC=90°，∴∠MEC=∠FCN，∵△CEM≌△CFN，当CE=CF时，△CEM≌△CFN，当点F沿D→C路径运动时，10-t=7-2t，解得，t=-3，不合题意，当点F沿C→B路径运动时，10-t=2t-7，解得，t=，当点F沿B→C路径运动时，10-t=7-（2t-7×2），解得，t=11，∵第一个点到达终点时第二个点也停止运动．点E从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C．AC=10，∴0≤t≤10，∴t=11时，已停止运动．综上所述，当t=秒时，△CEM≌△CFN．【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．8．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据坐标系写出的坐标，进而根据，因式分解可得，进而可得，在x轴的正半轴上取点C，使，连接BC，证明是等边三角形，进而即可求得；（2）连接BM，，进而证明解析：（1）；（2）；（3）．【分析