2024年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）专题07 立体几何（五大题型解析版）

专题07立体几何题型01几何体表面积和体积1.（2024·广东清远·二模）如图，这是一件西周晚期的青铜器，其盛酒的部分可近似视为一个圆台（设上、下底面的半径分别为厘米，厘米，高为厘米），则该青铜器的容积约为（取）（

）

A．立方厘米 B．立方厘米C．立方厘米 D．立方厘米【答案】D【详解】依题意可得该青铜器的容积约为（立方厘米）.故选：D2.（2024·广东深圳·模拟预测）如图所示的花盆为正四棱台，上口宽，下口宽，棱长，则该花盆的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，由题意，该棱台的上下底面的对角线长分别为cm，所以棱台的高为，故棱台的体积为.故选：A3.（2024·广东中山·模拟预测）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为，高为.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：）（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由条件可得四片瓦的体积（）所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为（），又，所以共需粘土的体积为约为，故选：B.4．（2024·广东东莞·二模）在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】正三棱台中，已知，，所以的面积为，的面积为，设，分别是，的中心，设，分别是，的中点，，，三点共线，，，三点共线，，，，，，过作，垂足为，则，，三棱台的高为，三棱台的体积为．故选：C．5.（2024·广东佛山·二模）（多选）对于棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（

）A．底面半径为，高为的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体B．以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为C．该正方体内能同时整体放入两个底面半径为，高为的圆锥D．该正方体内能整体放入一个体积为的圆锥【答案】BCD【详解】对于A，若高为的圆锥形罩子刚能覆盖水平放置的正方体，考虑圆锥的轴截面，如图，

，因为，所以，所以，圆锥底面圆半径最小为，A错误；对于B，如图，以，，三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为平面，等价于求与平面所成角的正切值，因为，所以，所以点到平面的距离为，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为，B正确；

对于C，如图，以矩形的中心为圆锥底面圆圆心，半径为0.5，分别以，的中点，为两个圆锥的顶点，每个圆锥高的最大值为，C正确；

对于D，如图，的中点作垂线，分别交，于点，，则，以正方体的体对角线作为圆锥的轴，为圆锥顶点，为圆锥底面圆的直径时，该圆锥的体积为，D正确．

事实上，以正方体的体对角线作为轴，为顶点的圆锥的体积最大值，显然底面圆心在线段上（不含点），设，当与为的四等分点）重合时，，因此，因为，所以，则，圆锥体积，在上恒成立，所以在上单调递增，体积的最大值为,D正确.故选：BCD.6.（2024·广东河源·二模）（多选）某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为3π的扇形，则（

）A．该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为B．若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的体积最大时，圆柱的高为C．若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为D．若该圆锥内部有一个正方体，且底面ABCD在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以A为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为【答案】ACD【详解】对于A，由圆锥侧面积公式和扇形弧长公式得，，所以圆锥的高，设圆锥的母线与底面所成角，则，故A对；

对于B，设圆锥内切圆柱底面半径为，高为，则有，所以圆柱体积为，设，则，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以时y取得最大值，即时圆柱体积取得最大，此时圆柱的高，故B错.

对于C，当球的半径最大时，球为圆锥的内切球，设球的半径设为R，此时圆锥与球的轴截面如图，因为,又，所以，正四面体可由正方体面的对角线切割得到，如图，正四面体外接球与相对应正方体外接球为同一个球，

当正四面体的棱长为时，其相对应的正方体棱长为，所以外接球直径为，所以外接球半径为，所以该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为，故C对；对于D，设圆锥内接最大正方体棱长为a，则沿着正方体体对角面作圆锥轴截面得到截面图如下，

则有，所以正方体面的对角线长为，所以以正方体顶点A为球心，半径为的球与正方体表面交线情况如下图所示，

所以交线有两组各有三条长度相等的曲线，第一组曲线如图（1），第二组曲线如图（2），

由上，，所以，所以，，所以交线的总长度为.，故D对.故选：ACD.7.（2024·广东韶关·二模）在三棱锥中，侧面所在平面与平面的夹角均为，若，且是直角三角形，则三棱锥的体积为．【答案】或或或【详解】如图，过作面于，过作，因为面，面，所以，又，面，所以面，又面，所以，故为二面角的平面角，由题知，，同理可得，当在三角形内部时，由，即为三角形的内心，设，则，得到，所以，三棱锥的体积为；

又因为，所以点在以为焦点的椭圆上，如图，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，由题知，椭圆中的，所以椭圆的标准方程为，设，因为是直角三角形，当时，易知，此时，所以，得到，当时，易知，此时，所以，得到，又因为，故以为圆心，为半径的圆与椭圆没有交点，即，综上所述，；同理，当在三角形外部时，由，即为三角形的旁心，设，则，得到，所以，三棱锥的体积为；或，得到，所以，三棱锥的体积为；或，得到，所以，三棱锥的体积为.

故答案为：或或或.8.（2024·广东清远·二模）底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为.【答案】【详解】如图，设原圆锥的母线为，则，则，所以圆台的侧面积为：.故答案为：9．（2024·广东梅州·二模）已知圆台下底面的半径为2，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为【答案】【详解】设圆台上底面的半径为，下底面半径为，则有，解得或（舍去）.圆台的体积为.故答案为：.10．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知长方体的表面积为8，所有棱长和为16，则长方体体积的最大值为.【答案】【详解】设该长方体的长、宽、高分别为、、，由长方体的对称性，不妨设，则有，即，，即，则即，即，即，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，即长方体体积的最大值为.故答案为：.题型02外接球和内切球1.（2024·广东·模拟预测）已知三棱锥，是以为斜边的直角三角形，为边长是2的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，过该点作一条垂直于平面的直线．因为平面平面，所以所作直线在平面内，且经过等边三角形的中心，所以等边三角形的中心就是三棱锥外接球的球心，所以外接圆的半径也是三棱锥外接球的半径．由正弦定理知，(是的外接圆的半径)，即，所以，于是三棱锥外接球的半径为，故三棱锥外接球的表面积为．故选：A．2.（2024·广东·二模）已知球与圆台的上、下底面和侧面均相切，且球与圆台的体积之比为，则球与圆台的表面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】

由题意，作出圆台的轴截面，设圆台的上、下底面半径分别为，球的半径，则，过A作于点，由，得，化简得，由球的体积公式，圆台的体积公式，已知球与圆台的体积之比为，则，化简得，则，得，又球的表面积，圆台的表面积，所以，故选：D.3．（2024·广东·模拟预测）将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】若将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线过三角形的某个顶点且不垂直于三角形的边，由题意以为原点，以边长为2的等边三角形的边为轴，边上的高为轴建立如图所示的平面直角坐标系：由题意，不失一般性，设（也就是设点在不包含端点的线段上），在中，令得，所以的面积为，而点到直线的距离为，此时三棱锥体积的最大值为（此时面面），所以，所以；若将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线过三角形的某个顶点且垂直于三角形的边，此时上述情况中的点于原点重合，此时三棱锥体积的最大值为（此时面面），其中为点到的距离，即的长度；将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线不过三角形的任何顶点，如图所示：不失一般性，设该直线分别与交于点，折叠后的立体图形有外接球，则四点共圆，从而，又因为，所以，所以，由题意，设，所以，过点向引垂线，垂足为，则，所以四棱锥体积的最大值为（此时四边形与三角形垂直），从而，或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当且仅当时，有，综上所述，满足题意的直线为，且此时，此时我们首先来求四边形外接圆圆心，因为中点坐标为，斜率为，所以的垂直平分线方程为，而中垂直线方程为，从而解得，所以四边形外接圆半径为，而到直线的距离为，又满足题意的四棱锥的高为，设满足题意的四棱锥的外接球球心为，设球心到平面的距离为，则由可得，，即，解得，从而满足题意的外接球表面积为.故选：B.4.（2024·广东深圳·模拟预测）在梯形中,，且，沿对角线将三角形折起，所得四面体外接球的表面积为，则异面直线与所成角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如下图，将梯形补成长方形，折后得到直三棱柱，因为，所以，异面直线与所成角即为与所成角，即或其补角，又该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，设外接球半径为R，则，所以，设外接圆半径为r，圆心为，外接圆圆心为，则三棱柱的外接球的球心为的中点O，连接，则，所以，又，即，又中，，即，化简得，即，所以，故选：C.

5.（2024·广东东莞·模拟预测）一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设计，底部设计成锥形便于收集幼苗.铁匠老张准备用一个半径为的扇形铁片作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）.若该漏斗的容积为，且漏斗的顶点及底面圆周都在球O的表面上，则当R最小时，球O的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设圆锥的底面圆半径以及圆锥的高分别为，故，所以，由于，当且仅当，即时等号成立，故此时，,设为球O的半径，则,解得,故球的表面积为故选：D

6.（2024·广东河源·二模）已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和，

则圆台侧面积为，上、下底面面积分别为和.由圆台表面积为，得，所以圆台高，设球半径为，圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.作于点，设，由，则球心在圆台外部.则有，解得，所以球的体积为.故选：C.题型03点、线、面位置关系1.（2024·广东广州·模拟预测）设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；

②若，，则；③若，，则；

④若，，则．其中正确命题的序号是（

）．A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】B【详解】解：对于①，由且成立，m，n可能平行，异面或者相交，故①错误；对于②，因为且，所以，结合，可得，故②正确；对于③，若，，由线面垂直的性质定理可知：，故③正确；对于④，若，，也可能相交，故④错误.故选：B．2.（2024·广东中山·二模）设是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【详解】对于A，若，则平面可能平行，即A错误；对于B，若，则可平行于的交线，此时相交，不一定平行，即B错误；对于C，若，由线面垂直性质可得，即C正确；对于D，若，则或，即D错误；故选：C3.（2024·广东惠州·模拟预测）设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足，如图：满足，，但不成立，故必要性不满足，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.

4.（2024·广东深圳·模拟预测）（多选）已知m、n为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，且，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，，则【答案】ABD【详解】对于A，若，，所以，又且m、n为两条不重合的直线，则，故A正确；对于B，若，，则或，当时，又，从而，当，存在平面，使得，且，又，从而，又，所以，故B正确；对于C，若，，则，又，则或，故C错误；对于D，若，，则，又，，所以，故D正确.故选：ABD.题型04空间向量在立体几何中的应用1.（2024·广东·模拟预测）若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，平面，可知四面体与四面体公共部分为四面体，以D为坐标原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，

则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，设，则，因为，则，解得，可得，即，在中，结合为的中点，可知为的重心，则，所以四面体的体积.故选：A.2.（2024·广东梅州·二模）（多选）如图，平面，，M为线段AB的中点，直线MN与平面的所成角大小为30°，点P为平面内的动点，则（

）A．以为球心，半径为2的球面在平面上的截痕长为B．若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线C．若P到直线MN的距离为1，则的最大值为D．满足的点P的轨迹是椭圆【答案】BC【详解】对于A，由于MN与平面的所成角大小为30°，所以点到平面的距离，故半径为的球面在平面上截面圆的半径为,故截痕长为，A错误，对于B,由于平面，所以以为，在平面内过作,平面内作，建立如图所示的空间直角坐标系，则,设，则，化简得，故P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线，B正确，,所以P到直线MN的距离为，化简可得，所以点的轨迹是平面内的椭圆上一点，如图，当在短轴的端点时，此时最大，由于,故，因此,C正确，对于D,，,若，则，化简得且，故满足的点P的轨迹是双曲线的一部分，D错误，故选：BC3.（2024·广东梅州·二模）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，为等边三角形，，，．(1)求证：；(2)点在棱上运动，求面积的最小值；(3)点为的中点，在棱上找一点，使得平面，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）取的中点，连接，，则且，又，所以四边形为矩形，所以，又为等边三角形，所以，，平面，所以平面，又平面，所以.（2）连接，由平面，又平面，所以，所以，要使的面积最小，即要使最小，当且仅当时取最小值，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，在中，，，所以，当时，所以面积的最小值为.（3）连接交于点，连接交于点，连接，因为且，所以，所以，因为平面，又平面，平面平面，所以，所以，在中，过点作，则有，所以，所以，即4（2024·广东·二模）如图，在直三棱柱中，点是的中点，.(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，记与的交点为点，连接，，因为三棱柱是直三棱柱，所以．因为，所以四边形是正方形，故.因为，，所以又因为是的中点，所以，所以D.因为四边形是正方形，所以点是的中点，所以．又因为，平面，，所以平面．（2）因为，，所以．如图，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，．所以，，．因为平面，所以平面的法向量为．设平面的法向量为，则即解得取，得设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．5．（2024·广东韶关·二模）如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面，已知圆柱的轴截面是边长为6的正方形，，点在线段上运动．(1)证明：；(2)当时，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析.(2).【详解】（1）连接并延长，交于，交圆柱侧面于，，为圆柱的高，两两垂直，以为原点，过点做平行线为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系，，，在中，由射影定理得，，从而，，设，，，.（2）由（1）可得，，，得，即点是线段的中点，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，设的一个方向向量为，于是得：，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.6．（2024·广东佛山·二模）如图，在直三棱柱形木料中，为上底面上一点．(1)经过点在上底面上画一条直线与垂直，应该如何画线，请说明理由；(2)若，，，为的中点，求点到平面的距离．【答案】(1)答案见解析(2)．【详解】（1）连结，在平面上作，因为为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为，，，，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）因为，所以，，两两互相垂直，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空向直角坐标系，，，，，则，，．设平面的一个法向量为，因为，，所以，，则，取，则，设点到平面的距离为，则因此点到平面的距离为．题型05立体几何综合应用1.（2024·广东深圳·模拟预测）在四棱锥中，底面为矩形，底面与底面所成的角分别为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，设，因为在矩形中，，所以，因为底面，所以分别是与底面所成的角，即，所以.因为，所以，解得(负根舍去)，所以.故选：D.2.（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】C【详解】在上取点，使，连接、，过点作于点，由，故，又平面，平面，故平面，由平面，平面，故，故，又，，、平面，故平面，故到平面的距离为，又在线段上，故点到直线距离的最小值为，由，故，则，故.故选：C.3.（2024·广东江门·二模）（多选）如图，在平行六面体中，底面是正方形，为与的交点，则下列条件中能成为“”的必要条件有（

）A．四边形是矩形B．平面平面C．平面平面D．直线所成的角与直线所成的角相等【答案】ACD【详解】要成为“”的必要条件，则该条件可由“”推出，对于A，因为在平行六面体中，，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，故A正确；对于B，假设平面平面，由选项A，可知四边形为矩形，则，又平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，与四边形为正方形矛盾，故B错误；对于C，因为四边形是正方形，所以，因为，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故C正确；对于D，因为四边形为矩形，为的中点，易得，又正方形中，是公共边，所以，则，又，所以分别为直线所成的角与直线，所成的角（或其补角），则直线所成的角与直线所成的角相等，故D正确.故选：ACD.4.（2024·广东·二模）将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为，其中，记桌面为平面.若，且与平面所成的角为，则点到平面的距离的最大值为.【答案】【详解】如图，过作⊥，交于，过A作⊥，交于，因为在中，,，则，当四点共面时，点A到的距离最大．因为⊥，所以是BC与平面所成的角，则，则，于是，，即A到的最大距离为．故答案为：．5.（2024·广东中山·模拟预测）已知四棱锥的底面为菱形，其中，点在线段上，若平面平面，则．【答案】【详解】设平面与直线交于点，连接，取中点，连接，与交于点，连接，因为，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，从而，又菱形中，，所以是等边三角形，则，而，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以，从而，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，设，则