2024年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）专题06 数列（五大题型原卷版）

专题06数列题型01等差数列基本量运算1.（2024·广东·二模）设等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．5 D．72．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（

）A． B． C． D． E．均不是3.（2024·广东中山·模拟预测）在等差数列中，，则（

）A．4 B．5 C．6 D．84．（2024·广东清远·二模）已知数列为等差数列，，，则（

）A．5 B．6 C．7 D．85．（2024·广东肇庆·二模）记等差数列的前项和为，则（

）A．14 B．72 C．36 D．606.（2024·广东·模拟预测）已知数列满足：，且数列为等差数列，则（

）A．10 B．40 C．100 D．1037.（2024·广东河源·模拟预测）若等差数列的前n项和为S，且满足，对任意正整数，都有则的值为（

）A．21 B．22 C．23 D．248.（2024·广东深圳·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则．9.（2024·广东深圳·模拟预测）设是等比数列，且，，则．10．（2024·广东河源·模拟预测）设等差数列的前项和为，则.题型02等比数列基本量运算1.（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，，则（

）A．9 B．16 C．21 D．252.（2024·广东东莞·模拟预测）设正项等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，则与的关系是（

）A．B． C． D．3.（2024·广东梅州·二模）（多选）已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（

）A．若取，，则B．满足题意的也必是一个等比数列C．在的前100项中，的可能项数最多是6D．如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列4．（2024·广东肇庆·二模）等差数列中，，．(1)求的通项公式；(2)设，记为数列前项的和，若，求．5.（2024·广东肇庆·二模）记等差数列的前项和为，是正项等比数列，且．(1)求和的通项公式；(2)证明是等比数列．题型03数列求和1.（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（

）A． B． C． D．2.（2024·广东中山·模拟预测）等比数列的公比为，其通项为，如果，则；数列的前5项和为．3.（2024·广东东莞·模拟预测）已知首项为1的等差数列满足：成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的前项和.4．（2024·广东梅州·二模）已知等差数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.5.（2024·广东惠州·模拟预测）设等比数列的前项和为，已知.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前项和.6.（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．(1)求数列的公差；(2)若，求数列的前n项和．7．（2024·广东东莞·模拟预测）已知为正项数列的前项和，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前10项和．8.（2024·广东惠州·模拟预测）已知数列满足.(1)设，证明：是等比数列；(2)求数列的前项和.9.（2024·广东珠海·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设是递增的等比数列，其前n项和为，且，__________．(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）题型04数列综合应用1.（2024·广东佛山·二模）设数列的前项之积为，满足（），则（

）A． B． C． D．2.（2024·广东珠海·模拟预测）已知数列满足则（

）A．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立B．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立C．当时，存在正整数，当时，D．当时，对于任意正整数，存在，使得3.（2024·广东·模拟预测）（多选）设有正数列，其前项和为．则下列哪一个能使对任意的都有成立（

）A． B．C． D．4.（2024·广东广州·模拟预测）（多选）已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（

）A．当时， B．C．数列是等差数列 D．5.（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式（），则的最小值为．6.（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为.7．（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且．(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，．8．（2024·广东·模拟预测）已知数列与为等差数列，，，前项和为．(1)求出与的通项公式；(2)是否存在每一项都是整数的等差数列，使得对于任意，都能满足．若存在，求出所有上述的；若不存在，请说明理由．题型05数列情景题和创新题1.（2024·广东肇庆·二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（

）A．12里 B．24里 C．48里 D．96里2．（2024·广东东莞·模拟预测）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（

）

A．6 B．7 C．8 D．93.（2024·广东·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦-曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第2023行的黑心圈的个数是（

）A． B．C． D．4.（2024·广东广州·模拟预测）第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为），则n级角雪花曲线的开三角个数为，n级角雪花曲线的内角和为．5.（2024·广东梅州·二模）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”．(1)若，求其生成数列的前项和；(2)设数列的“生成数列”为，求证：；(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．6．（2024·广东·二模）已知正项数列，满足（其中）.(1)若，且，证明：数列和均为等比数列；(2)若，以为三角形三边长构造序列（其中），记外接圆的面积为，证明：；(3)在（2）的条件下证明：数列是递减数列.7．（2024·广东·模拟预测）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，(1)计算；(2)设数列满足，求的通项公式；(3)设排列满足，求，8．（2024·广东韶关·二模）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.(1)求；(2)证明数列是等比数列并求；(3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围.9．（2024·广东·模拟预测）定义：已知数列满足．(1)若，，求，的值；(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数p，使得，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在