2023-2024学年山东省济南市市中区育秀中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省济南市市中区育秀中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a<b，下列不等式变形不正确的是(

)A.a+2<b+2 B.3a<3b C.−2a<−2b D.2a−1<2b−12.多项式m3−2m2A.m3 B.m2 C.m−2 3.在数轴上表示不等式x−12<1的解集，正确的是(

)A. B.

C. D.4.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠D等于(

)A.50° B.80° C.100° D.130°5.如图，直线y1=2x与直线y2=kx+b(k≠0)相交于点P(a,2)，则关于x的不等式2x≤kx+b的解集是A.x≥4

B.x≤4

C.x≥1

D.x≤16.如图，在四边形ABCD中，已知AB/​/CD，添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形．下列错误的是(

)

A.BC/​/AD B.BC=AD

C.AB=CD D.∠A+∠B=180°7.下列因式分解正确的是(

)A.2x2−4x=2x(x−4) B.a2−3a−4=(a−4)(a+1)

8.▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添如一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是(

)

A.AB=CD B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD9.如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长(

)

A.只与AB、CD的长有关 B.只与AD、BC的长有关

C.只与AC、BD的长有关 D.与四边形ABCD各边的长都有关．10.如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是(

)A.33

B.3+33

C.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.分解因式：x2−1=______．12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，则菱形的面积是______．

13.禁令标志是交通标志中的一种，是对车辆加以禁止或限制的标志，如禁止通行、禁止停车、禁止左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等.如图，该禁令标志的内角和是______．

14.如图，在平行四边形ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，△AOD的周长是______．

15.不等式组−x+2<2x−7x>a的解集是x>3，那么α的取值范围是______．16.如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=63，点E在对角线BD上，连接EC，∠ECB=45°，点P为直线BC上一动点.连接EP，以EP、EB为邻边构造平行四边形BEPQ，连接AQ.则AQ的最小值为______．三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

解不等式组3(x+2)>x+4①x3<18.(本小题6分)

如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE，连接DE，BF.求证：DE/​/BF．19.(本小题6分)

已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE=CF，求证：AE=AF．20.(本小题8分)

因式分解：

(1)3x2−12；

21.(本小题8分)

因式分解：

(1)(x+y)(x−y)−(y−x)2．

(2)22.(本小题8分)

通过对函数的学习，我们积累了研究函数的经验，以下是探究函数y=|x+1|−2的部分过程，请按要求完成下列各题：x…−4−3−2−101234…y…10a2101b3…(1)表中a的值为______，b=______．

(2)在坐标系中画出该函数图象；

(3)结合图象，可知不等式|x+1|−2≥0的解集是______．23.(本小题10分)

期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰.她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15本，乙种笔记本20本，共花费250元，已知购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费5元．

(1)求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？

(2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售.如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过220元，求至多需要购买多少本甲种笔记本？24.(本小题10分)

【阅读材料】

配方法是数学中一种重要的思想方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题．

①用配方法分解因式

例1：分解因式x2+4x−5．

解：x2+4x−5=x2+4x+22−22−5=(x+2)2−9=(x+2+3)(x+2−3)=(x+5)(x−1)．

②用配方法求值

例2：已知x2+y2−2x+4y+5=0，求x+y的值．

解：原方程可化为：x2−2x+1+y2+4y+4=0，即(x−1)2+(y+2)2=0．

∵(x−1)2≥0，(y+2)2≥0，

∴x=1，y=−2，

∴x+y=−1．

③用配方法确定范围

例3：M=x2−2x−1，利用配方法求M的最小值．

解：M=x2−2x−1=x2−2x+1−2=(x−125.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，直线y=2x+m+2(m为常数)的图象与y轴交于点A，点B的坐标为(m,3m−1)．

(1)若直线经过点(1,2)，求A点坐标．

(2)过点B作x轴的垂线交函数y=2x+m+2(m为常数)的图象于点C，以O、A、B、C为顶点构造四边形M．

①当四边形M为平行四边形时，求m的值；

②设D(m2,−m+1)，当点D在四边形M的内部时，直接写出26.(本小题12分)

用四根一样长的木棍搭成菱形ABCD，P是线段DC上的动点(点P不与点D和点C重合)，在射线BP上取一点M，连接DM，CM，使∠CDM=∠CBP．

操作探究一

(1)如图1，调整菱形ABCD，使∠A=90°，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N，使BN=DM，连接CN，则∠BMC=______，MCMN=______．

操作探究二

(2)如图2，调整菱形ABCD，使∠A=120°，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N，使BN=DM，连接CN，探索MC与MN的数量关系，并说明理由．

拓展迁移

(3)在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=6.若点P在直线CD上，点M在射线BP上，且当∠CDM=∠PBC=45°时，请直接写出MD的长．

答案和解析1.【答案】C

解：A、根据不等式性质1，不等式a<b两边都加2可得a+2<b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；

B、根据不等式性质2，不等式a<b两边都乘以3可得3a>3b，原变形正确，故此选项不符合题意；

C、根据不等式性质3，不等式a<b两边都乘以−2可得−2a>−2b，原变形不正确，故此选项符合题意；

D、根据不等式性质2，不等式a<b两边都乘以2可得2a>2b，再在不等号两边同时减1得2a−1<2b−1，原变形正确，故此选项不符合题意．

故选：C．

根据不等式基本性质逐一判断即可．

本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．2.【答案】B

解：由题意，∵公因式是各项系数的最大公因数与各项相同字母的最低次幂的积，

∴多项式m3−2m2的公因式是m2．

故选：B3.【答案】B

解：x−12<1，

x−1<2，

x<3，

在数轴上表示为，

故选：B．

先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．

4.【答案】D

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，AB/​/CD，

∴∠A+∠D=180°，

∵∠A+∠C=100°，

∴∠A=50°，

∴∠D=180°−∠A=130°．

故选：D．

由在▱ABCD中，若∠A+∠C=100°，根据平行四边形的性质，可求得∠A的度数，又由平行线的性质，求得答案．

此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5.【答案】D

解：∵直线y1=2x过点P(a,2)，

∴2=2a，

∴a=1，

∴P(1,2)，

如图所示：关于x的不等式2x≤kx+b的解是：x≤1．

故选：D．

利用y1=2x求得点6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理得出即可．

【解答】

解：A.∵AB/​/CD，BC/​/AD，

∴根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，此选项不符合题意；

B.添加条件AD=BC不能使四边形ABCD是平行四边形，此选项符合题意；

C.∵AB/​/CD，AB=CD，

∴根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，此选项不符合题意；

D.∵∠A+∠B=180°，

∴AD//BC，

∵AB/​/CD，

∴根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，此选项不符合题意；

故选B．7.【答案】B

解：A.2x2−4x=2x(x−2)≠2x(x−4)，故选项A分解错误；

B.a2−3a−4=(a−4)(a+1)，故选项B分解正确；

C.a2+b2−2ab=(a−b)2≠(a+b)(a−b)，故选项C分解错误；

D8.【答案】C

解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，

∴当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形．

故选：C．

根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解答．

本题综合考查了菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四条边都相等的四边形是菱形菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形．③一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形．9.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查三角形的中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理解答即可．

【解答】

解：∵点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，

∴FG=12AD，GE=12BC，EH=12AD，HF=12BC10.【答案】D

解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点M，连接BD，

∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，

∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，

∴△ADB是等边三角形，

∴∠MAE=30°，

∴AM=2ME，

∵MD=MB，

∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，

根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，

∵菱形ABCD的边长为6，

∴DE=AD2−AE2=62−32=33，

∴2DE=63．

∴MA+MB+MD的最小值是63．

故选：D．

过点11.【答案】(x+1)(x−1)

解：x2−1=(x+1)(x−1)．

故答案为：(x+1)(x−1)．

利用平方差公式分解即可求得答案．12.【答案】24

解：菱形的面积=AC×BD2=6×82=24，

故答案为：13.【答案】1080°

解：该禁令标志是八边形，而八边形的内角和为(8−2)×180°=1080°，

所以该禁令标志的内角和为1080°．

故答案为：1080°．

根据多边形内角和的计算方法进行计算即可．

本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算方法是正确解答的关键．14.【答案】21

解：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD=BC=10，AO=CO=12AC=4，BO=DO=12BD=7

∴△AOD的周长=AD+AO+DO=21

故答案为21

根据平行四边形的性质可得AD=BC=10，AO=CO=115.【答案】a≤3

解：−x+2<2x−7①x>a②，

解不等式①得：x>3，

解不等式②得：x>a，

∵不等式组的解集是x>3，

∴a≤3，

故答案为：a≤3．

按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．

16.【答案】18−3解：过Q作QK//BC，作AH⊥QK于H，交BC于F，作EM⊥BC于M，作QN⊥CB于N，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD/​/CB，∠CBD=∠ABD，BC=AB=63，

∴QK//AD，

∴AF⊥BC，

∵∠ABC=60°，AB=63，

∴AF=32AB=9，

∵∠ECM=45°，

∴△EMC是等腰直角三角形，

令EM=CM=x，

∵∠EBM=12∠ABC=30°，

∴MB=3x，

∴BC=3x+x=63，

∴x=9−33，

∴ME=9−33，

∵四边形PQBE是平行四边形，

∴QN=ME=9−33，

∴FH=NQ=9−33，

∴AH=AH+FH=18−33，

∵AQ≥AH，

∴AQ的最小值是18−33．

故答案为：18−33．

过Q作QK//BC，作AH⊥QK于H，交BC于F17.【答案】解：解不等式3(x+2)>x+4得x>−1，

解不等式x3<x+14得，x<3，

∴不等式组的解集为−1<x<3．

∴不等式组的整数解为0，1【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得出答案．

本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．18.【答案】证明：在▱ABCD中，AB=CD，AB/​/CD，

∴∠BAF=∠DCE，

在△ABF和△CDE中，

AB=CD∠BAF=∠DCEAF=CE，

∴△ABF≌△CDE(SAS)，

∴∠DEF=∠BFA，

∴DE/​/BF【解析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质及平行线的判定，关键是正确证明△ABF≌△CDE．

根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，对边平行可得AB/​/CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAF=∠DCE，然后利用“边角边”证明△ABF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF=∠BFA，进而得到DE/​/BF．19.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，

∵CE=CF，

∴BE=DF，

在△ABE和△ADF中，

AB=AD∠B=∠DBE=DF，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，

∴AE=AF【解析】由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得AE=AF．

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用菱形的性质是本题的关键．20.【答案】解：(1)原式=3(x2−4)

=3(x+2)(x−2)；

(2)原式=3(a2【解析】(1)提公因式后利用平方差公式因式分解即可；

(2)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．

本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．21.【答案】解：(1)原式=(x+y)(x−y)−(x−y)2

=(x−y)(x+y−x+y)

=2y(x−y)；

(2)原式=(a2+4)(【解析】(1)利用提公因式法因式分解即可；

(2)利用平方差公式因式分解即可．

本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．22.【答案】−1

x≥1或x≤−3

x≥1或x≤−3

解：(1)∵y=|x+1|−2，

∴当x=−2时：y=|−2+1|−2=1−2=−1，

∴a=−1；

故答案为：−1．

(2)结合表格，画出函数图象如下：

(3)由图象可知：不等式|x+1|−2≥0的解集是x≥1或x≤−3．

故答案为：x≥1或x≤−3．

(1)将x=−2代入函数解析式，进行求解即可；

(2)描点，连线，画出函数图象即可；

(3)利用图象法求出不等式的解集即可．

本题考查一次函数综合应用．熟练掌握列表，描点，连线画函数图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．23.【答案】解：(1)设购买一本甲种笔记本需x元，一本乙种笔记本需y元，

根据题意得：15x+20y=250x−y=5，

解得：x=10y=5．

答：购买一本甲种笔记本需10元，一本乙种笔记本需5元；

(2)设需要购买m本甲种笔记本，则购买(35−m)本乙种笔记本，

根据题意得：(10−2)m+5×0.8(35−m)≤220，

解得：m≤20，

∴m的最大值为20．

答：至多需要购买20【解析】(1)设购买一本甲种笔记本需x元，一本乙种笔记本需y元，根据“购买甲种笔记本15本，乙种笔记本20本，共花费250元，购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费5元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设需要购买m本甲种笔记本，则购买(35−m)本乙种笔记本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过220元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24.【答案】9

4

5

2

解：(1)a2−6a+9

=a2−6a+9

=(a−3)2；

故答案为：9；

(2)∵y=a2+b2−8a−10b+43=(a2−8a+16)+(b2−10b+25)=(a−4)2+(b−5)2+2，

∴a−4=0，b−5=0，

∴a=4，b=5，

∴当a=4，b=5时，y有最小值，最小值是2；

故答案为：4，5，2；

(3)P−Q=2m25.【答案】解：(1)将点(1,2)代入直线表达式得：2=2+m+2，

解得：m=−2，

则函数的表达式为：y=2x，

则点A(0,0)；

(2)①过点B作x轴的垂线交函数y=2x+m+2(m为常数)的图象于点C，则点C坐标为(m,3m+2)，

∵点B的坐标为(m,3m−1)，

∴点C在点B上方．BC=3．

∵以O、A、B、C为顶点构造四边形M为平行四边形，

∴OA=3，

∴|m+2|=3，

∴m=1或−5；

②设直线OB的解析式为y=kx(k≠0)，把点B的坐标为(m,3m−1)代入，

得3m−1=km，

解得：k=3m−1m，

则y=3m−1mx，

当x=12m时，代入直线OB的解析式得：y=3m−1m×12m=3m−12，

代入直线y=2x+m+2解析式，

得y=2×12m+m+2=2m+2．【解析】(1)将点(1,2)代入直线表达式得：2=2+m+2，即可求解；

(2)①以O、A、B、C为顶点构造四边形M为平行四边形，则OA=3，即|m+2|=3，即可求解；

②用m表示OB的解析式，分别求出当横坐标为12m时，直线OB、y=2x+m+2上对应点的纵坐标，D在四边形M的内部，构造不等式组求解即可．26.【答案】45°

2解：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=90°，

在△BCN和△DCM中，

BC=DC∠CBN=∠CDMBN=DM，

∴△BCN≌△DCM(SAS