D3-4 隐函数及高阶导数(一)

第四节

第三章隐函

数

和

参

数

方

程

求

导及高阶导数

(一

)一

、隐函数的导数二、

由参数方程确定的函数的导数三

、高阶导数的概念HIGH

EDUCATION

PRESS机动

目

录

上页

下页

返回结

束一、隐函数的导数若由方程可确定y

是

x

的函数，则称此

函数为隐函数

.由表示的函数，称为显函数

.例如，

—一一C

可

确

定

显

函

数多

一可确定y

是x

的函

数，但此隐函数不能显化.隐函数求导方法：

C-两边对x

求导品&=0(合导数》的方程)PRESS

机动

目

录

上页

下页

返

回

结

束HIGH

EDUCATION例1.求椭圆

1在点解：

椭圆方程两边对x

求导故切线方程为

=-处的切线方程。

解出y,

取正号即√

陷

HIGH

EDUCATION

PRESS机动目

录

上页

下页

返回

结束例2.求由方程

要

#

三

乙

确定的显函数v在

x=0处

的导数

因

x=0

时

y=0,

故

—0—

HIGH

EDUCATION

PRESS

机动

目

录

上页

下页

返

回

结

束解：

方程两边对x

求导得例3.求由方程

确定的显函数

—

的导数解：将上式移项然后两边取对数HIGH

EDUCATION

PRESS机动

目

录

上页

下页

返回结

束方程两边对x求导即若参数方程

关系，g

可导，且qBC=∠C

时，有二、

由参数方程确定的函数的导数HIGH

EDUCATION

PRESS机动

目

录

上页

下页

返回

结束可确定一个y与

x之间的函数

方育2=(则票HIGH

EDUCATION

PRESS机动

目录

上页

下页返回结

束例4.求参数方程的导数

例5.求解：解

：例6

.抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t

的运动速度的大小和方向.解：先求速度大小：速度的水平分量为

重直分组为

V2

8故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):

设

a

为切线倾角，则

HIGH

EDUCATION

PRESS机动

目

录

上页

下页

返

回

结

束抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量速度的方向

在刚射出(即

t=0)

时，倾角为性到服高点的时烈

离发*地时刻 HIGH

EDUCATION抛射最远距离PRESS垂直分量机动

目录

上页

下

页返

回结

束中l2--ec-故

—

4

HIGH

EDUCATION

PRESS例7.

设由方程确定函数

2=0

.

求解：方程组两边对t求导，得《O-机动

目

录

上页

下页

返回结

束

求螺线

—

在对应于

的点处的切线方程.解：化为参数方程

rsing二多通∴切线方程为

HIGH

EDUCATION

PRESS机动

目

录

上页

下页

返

回

结

束思考与练习当0=5

时对应点Q三

、高阶导数的概念定义.若函数

的导数F(xò)

的导数为

f(x)的二阶导数，记

作9-099

或

类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推，n-1

阶导数的

称

阶导数

分别记作y，y(4)为n"。数?"导可导，则称或

即HIGH

EDUCATION

PRESS常机动

目录

上页

下页

返回

结

束或例8.

设

求

y(解：

依次类推，可得HIGH

EDUCATION

PRESS机动

目录

上页

下页

返回

结

束思考：

设

y—意

问y=?=e特

别

有

：

ten例10.设求例9.

设y=e

求

y(m)解

：

y—gee,

y-ceHIGH

EDUCATION

PRESS机动

目

录上页下页

返回

结束规

定

0

!

=

1思考：解：(1-x)2.+eC≤

智一含

学

多

多一

草

心

零

委

一iH

学多一

般

地

，(s

?—=ilnm

·类

似

可

证

：(em?-eC=1n

·HIGH

EDUCATION

PRESS机动

目录上页

下页

返回结

束例11.设

求

y(@)解

：3-

co-i=nsiaker?(p-arcta备机动

目录

上页

下页返回

结

束例

1

2

.设

y=si

(解

：

一

会

应

身b

参o

及eF6a20o=areteb@cG-ewVy=+F/L2-BE√ESSLHe—c?--

名-1S=i-EDUCATIONPRESSHIGHy打

求使

f@◎

存在的最高位一但是

(@—1

2

HIGH

EDUCATION

PRESS(

◎

不存

在机动目

录

上

页

下页返回结束例

1

3

.设

阶数

2分析：=

责又补充题1.设

y-c解：方法1HIGH