材料力学扭转四章圆轴扭转时的强度与刚度计算市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

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此次课教学内容第三章扭转§3.1扭矩和扭矩图§3.2薄壁筒扭转§3.4圆轴扭转时应力本章主要讨论是圆轴扭转时强度计算和变形计算。5/8/20241材力第5次第1页工程实际中受扭零件机床上传动轴，支承方向盘转向轴，攻丝时丝锥，车床上光杠等。§3.1扭矩和扭矩图5/8/20242材力第5次第2页而象电动机主轴，水轮机主轴也承受扭转作用，但这些零件除扭转变形外，还伴随有其它形式变形，属于组合变形。以扭转变形为主要变形形式构件通常称为轴。工程上应用最广多为圆截面轴，即圆轴。5/8/20243材力第5次第3页扭转受力特点是：在构件两端作用两个大小相等、方向相反且作用面垂直于构件轴线力偶矩。致使构件任意两个截面都发生绕构件轴线相对转动，这种形式变形即为扭转变形。5/8/20244材力第5次第4页转矩和扭矩一个传动轴转矩m可由它传递功率和转速求得。设传递功率为P，单位为千瓦(KW)，每分钟转速为n转,作用在轴上转矩为m,依据功定义m2πn=P×103×60∴m=60×103P/2πn=9550P/n(N.m)。使轴产生扭转变形力偶矩m，习惯上称为转矩。5/8/20245材力第5次第5页mT

mT

mT

mT

正负(a)(b)圆轴扭转时其横截面上内力为一力偶矩，称为扭矩,扭矩用字母T表示，并要求符号正负按右手螺旋法则确定.5/8/20246材力第5次第6页扭矩图为了形象地表示扭矩沿杆轴线改变情况，以沿杆轴线方向坐标表示横截面位置，以垂直于杆轴线另一坐标表示对应截面上扭矩。这么图线称为扭矩图

5/8/20247材力第5次第7页1kn.m2kn.m3.5kn.m0.5kn.m画扭矩图2aa4aABCD1kn.m3kn.m0.5kn.m+-5/8/20248材力第5次第8页ABCMAMBMC12解：(1)计算外力偶矩例题一等截面传动轴，转速n=5rps，主动轮A输入功率P1=221kW，从动轮B、C输出功率分别是P2=148kW和P3=73kW；求轴上各截面扭矩，画扭矩图并讨论设计是否合理。5/8/20249材力第5次第9页ABCMAMBMC12(2)用截面法求内力(3)画扭矩图7.032.32(+)T(KN.M)X(4)讨论现在设计是否合理。可见轴内最大扭矩值减小了。

4.712.32(-)T(KN.M)X(+)若将A轮与B轮调换，则扭矩图以下：

5/8/202410材力第5次第10页§3.2薄壁圆筒扭转在转矩m作用下，发觉圆周线相对地旋转了一个角度，但大小、形状和相邻两圆周线距离不变。在圆筒表面画上许多纵向线与圆周线,形成许多小方格.表明，在圆筒横截面上没有正应力和径向剪应力。5/8/202411材力第5次第11页因圆筒壁厚很小，可认为剪应力沿厚度均匀分布,沿圆周方向也均匀分布。则：设圆筒平均半径为r，筒壁厚度为t5/8/202412材力第5次第12页剪应力互等定理取单元体如图：dxdyt称为剪应力互等定理

’

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5/8/202413材力第5次第13页纯剪切

——

如图，各个侧面均无正应力，只在两对相互垂直平面上有剪应力。

剪应力互等定理：两个相互垂直平面上剪应力大小相等，方向为同时指向(或同时背离)两个面交线。5/8/202414材力第5次第14页变形前圆筒表面方格，变形后变成平行四边形，这种引发角度改变变形称为剪切变形，直角改变量称为剪应变或角应变，用γ表示。ABCDtt

´

ABCD5/8/202415材力第5次第15页三个正方形微元体受力后变形如图，求：三者剪应变5/8/202416材力第5次第16页由薄壁圆筒扭转变形试验中可得Ｔ－φ曲线，或τ－γ曲线Ｇ－剪切弹性模量剪切胡克定律5/8/202417材力第5次第17页§3.3圆轴扭转时应力和变形圆轴扭转变形前横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变。且相邻两截面间距离不变。这就是圆轴扭转平面假设。依据观察到现象，经过推理，得出关于圆轴扭转基本假设。5/8/202418材力第5次第18页二.应力在横截面上分布

圆轴单元体5/8/202419材力第5次第19页1.变形几何关系dx段横截面相对扭转角d

圆轴中一楔块γρ2.物理关系由剪切胡克定律，得到剪应力与剪应变关系：横截面上剪应力与曲率半径成正比

5/8/202420材力第5次第20页

3.静力关系横截面上内力系对圆心力矩就是截面上扭矩：令：考虑到前面物理关系:5.剪应力计算公式5/8/202421材力第5次第21页横截面上最大剪应力是：令：Wp称为抗扭截面模量最大剪应力公式为：圆轴扭转强度条件上述公式适合用于实心和空心圆轴5/8/202422材力第5次第22页空心圆轴扭转时，横截面上剪应力分布规律是图_。√问题实心圆轴扭转时，扭矩方向如图,则横截面上剪应力分布规律是图_。TTT(a)(b)(c)√T(B)T(A)T(C)T(D)5/8/202423材力第5次第23页例：实心圆轴,直径为D,求截面极惯性矩和抗扭截面模量例:对外径为D内径为d空心圆轴,求截面极惯性矩5/8/202424材力第5次第24页问题内外直径分别为d和D空心圆轴，则横截面极惯性矩Ip和抗扭截面模量Wp为A.

B.

C.

D.

B√_________________________5/8/202425材力第5次第25页问题两根直径相同而长度及材料不一样圆轴，在相同扭矩作用下，其最大剪应力和单位长度扭转角之间关系是_____。

A.τmax1=τmax2，

θ1=θ2；B.τmax1=τmax2，θ1≠θ2；C.τmax1≠τmax2，θ1=θ2；D.τmax1≠τmax2，θ1≠θ2；B√_________________________令，[弧度]/[长度],称为单位长度扭转角5/8/202426材力第5次第26页解:(1)画扭矩图T(Nm)(-)30001200(2)求固定端截面上应力例题一端固定阶梯圆轴，受到外力偶M1和M2作用，M1=1800Nm，M2=1200Nm；求固定端截面上ρ=25mm处剪应力，以及杆内最大剪应力。5/8/202427材力第5次第27页(3)求最大剪应力5/8/202428材力第5次第28页例题方向盘直径φ=520mm，加在盘上平行力P=300N，盘下面转向轴材料许用剪应力[τ]=60MPa；(1)当转向轴为实心轴时，设计轴直径；(2)采取空心轴，且α=0.8，设计内外直径；(3)说明实心轴和空心轴哪个设计更合理；5/8/202429材力第5次第29页解：(1)求竖轴内扭矩(2)设计实心轴(3)设计空心轴(4)实心轴和空心轴重量比空心轴合理5/8/202430材力第5次第30页解：(1)计算外力偶矩例题外径D=100mm,内径d=80mm空心轴,与直径d=80mm实心轴用键连接.A处输入功率P1=300kW,B、C处输出功率分别是P2=P3=150kW，转速n=300r/min，轴材料[τ]=80MPa，键尺寸为10X10X30mm，键[τ]1=100MPa，[σbs]=300MPa，校核轴强度并确定需要键个数。（不考虑键槽影响）ABDCMAMBMC5/8/202431材力第5次