高等数学-d103三重积分省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

第三节一、三重积分概念

二、三重积分计算三重积分第十章5/8/2024同济版高等数学课件1/27一、三重积分概念

类似二重积分处理问题思想,采取

引例:设在空间有限闭区域

内分布着某种不均匀物质,求分布在

内物质可得“大化小,常代变,近似和,求极限”处理方法:质量

M.密度函数为5/8/2024同济版高等数学课件2/27定义.

设存在,称为体积元素,

若对

作任意分割:任意取点则称此极限为函数在

上三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分性质与二重积分相同.性质:比如以下“乘中值定理.在有界闭域

上连续,则存在使得V为

体积,

积和式”极限记作5/8/2024同济版高等数学课件3/27二、三重积分计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体经过计算该物体质量引出以下各计算最终,推广到普通可积函数积分计算.密度函数,方法:5/8/2024同济版高等数学课件4/27方法1.投影法(“先一后二”)该物体质量为细长柱体微元质量为微元线密度≈记作5/8/2024同济版高等数学课件5/27方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高柱形薄片质量为该物体质量为面密度≈记作5/8/2024同济版高等数学课件6/27投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:5/8/2024同济版高等数学课件7/27当被积函数在积分域上变号时,因为均为为非负函数依据重积分性质仍可用前面介绍方法计算.5/8/2024同济版高等数学课件8/27小结:三重积分计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”详细计算时应依据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域特点灵活选择.5/8/2024同济版高等数学课件9/27其中

为三个坐标例1.

计算三重积分所围成闭区域.解:面及平面5/8/2024同济版高等数学课件10/27例2.计算三重积分解:

用“先二后一”5/8/2024同济版高等数学课件11/272.利用柱坐标计算三重积分

就称为点M柱坐标.直角坐标与柱面坐标关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面5/8/2024同济版高等数学课件12/27如图所表示,在柱面坐标系中体积元素为所以其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量相互分离.5/8/2024同济版高等数学课件13/27其中

为例3.计算三重积分所解:在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体.5/8/2024同济版高等数学课件14/27例4.

计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中

由抛物面原式=5/8/2024同济版高等数学课件15/273.利用球坐标计算三重积分

就称为点M球坐标.直角坐标与球面坐标关系坐标面分别为球面半平面锥面5/8/2024同济版高等数学课件16/27如图所表示,在球面坐标系中体积元素为所以有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量相互分离.5/8/2024同济版高等数学课件17/27例5.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中

与球面5/8/2024同济版高等数学课件18/27例6.求曲面所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xOy面上部,利用对称性,所求立体体积为yOz面对称,并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于xOz

5/8/2024同济版高等数学课件19/27内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简练,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;5/8/2024同济版高等数学课件20/271.

将用三次积分表示,其中

由所提醒:思索与练习六个平面围成,5/8/2024同济版高等数学课件21/272.设计算提醒:利用对称性原式=奇函数5/8/2024同济版高等数学课件22/273.

设

由锥面和球面所围成,计算提醒:利用对称性用球坐标5/8/2024同济版高等数学课件23/27作业P1621(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);

*10

(2);11(1),*(4)第四节5/8/2024同济版高等数学课件24/27备用题

1.

计算所围成.其中

由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采取“三次积分”很好.5/8/2024同济版高等数学课件