基本不等式的性质以及初步应用市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

基本不等式应用1/19一、复习引入：1.主要不等式：2.定理：3.公式等价变形：2/19例1.已知x、y都是正数，求证：(1)假如积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值(2)假如和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值证实：因为x,y都是正数，所以(1)积xy为定值P时，有上式当x=y

时，取“=”号，所以，当x=y时，和x+y有最小值(2)和x+y为定值S时，有上式当x=y时取“=”号，所以，当x=y时，积xy有最大值二、讲解范例：3/19(1)两个正数和为定值，其积有最大值.(2)两个正数积为定值，其和有最小值.但应注意三个方面：ⅰ)函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数各项和或积必须是常数；ⅲ)等号成立条件必须存在.一正，二定，三相等结论:利用均值定理求最值4/195/196/19例2.若x>0，y>0，且x+y=2，求x2+y2最小值解：∵x2+y2

2xy，∴2(x2+y2)(x+y)2∵x+y=2，∴x2+y2

2即x2+y2最小值为2当且仅当x=y=1时取得最小值7/191．求函数y=(1

3x)x(0<x<)最大值．

2求函数最大值3．求函数最大值练习8/19例3.求函数y=

(x>0)最小值，并求对应x值解：∵x

0，∴x+1>0，由x+1=得x=0

(x

0)有最小值，最小值是y=1∴当x=0时y=9/19例4.求函数最大值当且仅当时取得最大值10/19(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.解：∵x，y都是正数∴x＋y≥2>0∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0x2＋y2≥2>0

x3＋y3≥2>0∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥＝８x3y3

即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.2·2·2（当且仅当x=y时，式中取等号）（当且仅当x=y时，式中取等号）11/19随堂练习

1.已知a、b、c都是正数，求证(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc

分析：对于这类题目，选择定理：

（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a，b，c都是正数

b＋c≥2＞0c＋a≥2＞0∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc.=8abc∴a＋b≥2>02·2·2(当且仅当a=b=c时，上式取等号）12/19知识回顾例.最值定理：(1)和定--积最大.(2)积定--和最小.一正；二定；三相等.13/19应用例5.有一根长4a铁丝,假如围成一个矩形;求:围成图形面积最大值：

解:(1)设矩形长为x,那么宽为2a-x(2)面积S=x(2a-x)(3)当x=a时，矩形面积S最大=a2你还有什么不一样方法吗？14/19方法(二):(1)设矩形长为x.宽为y那么：x+y=2a(2)矩形面积S=xy(3)当x=y=a时，矩形面积最大值为a2.基本步骤：(1)设某线段长为x(求出其它线段长)(2)建立目标函数w=f(x)(用基本不等式求出最值)(3)当x=?时，w最大(小)=？(1)设某两线段长为x,y(求出f(x,y)=0)(2)建立函数w=g(x,y)(用基本不等式求出最值)(3)当x=?,y=?时.w最大=？15/19感悟设未知数的技巧1.ABCDEFGH长方体，体积是4800m3,高为3m.2.ABCDEFG两个矩形(如图所表示)AB=5,AD=33.ABCDMN矩形ABCD中(如图所表示)AB=10,AD=6,M为CD中点，MN∥AD.惯用方法：(1)设MN=x(2)设AB=x,CD=y(3)设∠ABC=x16/19变式：假如：围成一个直角三角形求：面积最大值解:(1)设两条直角边长为x,y那么：(2)所以面积(3)当x=y=_______时，面积最大=17/19例6.已知一条直线过点M(3,2),它于x轴，y轴正方向分别交于A,B,O为原点.求：△OAB面积最小值.xyOAB怎样设未知数？设1个？还是设2个？为何？变式:(1)求最小值;