考研数学一高等数学-试卷45-真题(含答案与解析)-交互

考研数学一（高等数学）-试卷45(总分56,做题时间90分钟)1.选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1.

设f(x)在R上连续，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是()①φ[f(x)]必有间断点。②[φ(x)]2必有间断点。③f[φ(X)]没有间断点。A

0。B

1。C

2。D

3。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:A解析：①错误。举例：设φ(x)=f(x)=ex，则φ[f(x)]=1在R上处处连续。②错误。举例：设φ(x)=则[φ(x)]2=9在R上处处连续。③错误。举例：设φ(x)=在x=0处间断。因此选A。2.

设f(x)=｜x｜sin2x，则使导数存在的最高阶数n=()A

0。B

l。C

2。D

3。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:C解析：故f(3)(0)不存在。因此n=2，选C。3.

设f(x)=aretanx-(x≥1)，则()A

fx(x)在[1，+∞)单调增加。B

f(x)在[1，+∞)单调减少。C

f(x)在[1，+∞)为常数D

f(x)在[1，+∞)为常数0。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:C解析：按选项要求，先求f"(x)。又f(x)在[1，+∞)连续，则f(x)=常数=f(1)=。故选C。4.

若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为()A

1+sinx。B

1-sinx。C

1+cosx。D

1-cosx。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:B解析：由f"(x)=sinx，得∫(x)=∫f"(x)dx=∫sinxdx=-cosx+C1，所以f(x)的原函数是F(x)=∫f(x)dx=∫(-cosx+C1)dx=-sinx+C1x+C2，令C1=0，C2=1得F(x)=1-sinx。故选B。5.

在曲线x=t，y=-t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线()A

只有一条。B

只有两条。C

至少有三条。D

不存在。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:B解析：曲线x=t,y=-t2，z=t3在点t=t0处的切向量为t=(1，-2t0，)。平面z+2y+z=4的法向量为n=(1，2，1)。由题设知n⊥t，即1-4t0+=0，则t0=1或，故选B。6.

交换积分次序为()A

B

C

D

该题您未回答:х

该问题分值:2答案:D解析：交换积分次序得7.

如果级数()A

都收敛。B

都发散。C

敛散性不同。D

同时收敛或同时发散。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:D解析：由于ab=(an+bb)-bn，且发散时，必发散，故选D。2.填空题1.

设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)确定，则=__________。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：1解析：当x=0时，y=1。对方程两边求导得y"-1=ex(1-y)(1-y-xy")，将x=0，y=1代入上式，可得y"(0)=1，所以2.

对数螺线ρ=eθ在点(ρ，θ)=处切线22.的直角坐标方程为_________。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：解析：螺线方程ρ=eθ可以化为隐函数方程，即利用隐函数的求导法则，得到在点处的导数为y"(0)=-1，因此所求的切线方程为化简为3.

已知∫f"(x3)dx=x3+C(C为任意常数)，则f(x)=________。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：解析：对等式∫f"(x3)dx=x3+C两边求导，得f"(x3)=3x2。令t=x3，则f"(t)=4.

设z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g、φ具有二阶连续导数，则=________。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：g"(x+y)+xg""(x+y)+(xy)+xy2φ(zy)解析：=g(x+y)+xg"(x+y)+y2φ"(xy)，=g"(x+y)+xg""(x+y)+2yφ"(xy)+xy2φ""(xy)。5.

设D为不等式0≤x≤3，0≤y≤1所确定的区域，则=________。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：解析：由题干可知6.

设∑是锥面z=(0≤z≤1)的下侧，则xdydz+2ydzdx+5(z-1)dxdy=____。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：2π解析：设∑：z=1，x2+y2≤1，取法向量方向朝上，则∑与∑1围成的区域为Ω，那么7.

级数的和为_______。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：解析：令S(x)=，｜x｜＜1，那么有8.

微分方程y"=1+x+y2+xy2的通解为_______。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：y=tan(1+x)2+C]解析：将已知方程变形后，并整理得两边积分可得3.解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1.

求该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：2.

设a＞1，f(t)=at-at在(-∞，+∞)内的驻点为t(a)。问a为何值时，t(a)最小?并求出最小值。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：令f"(t)=a"lna-a=0，解得f(t)的驻点为t(a)=对t(a)关于a求导，可得令t"(a)＞0，解得a＞ee。则当a＞ee时，t(a)单调递增；当1＜a＜e。时，t(a)单调递减。所以当a=ee时，t(a)最小，且最小值为t(ee)=3.

求不定积分该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：由，则4.

设曲线在(x0，y0)处有公切线(如图1-3-4所示)，求这两条曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：由两曲线在(x0，y0)处有公切线得解得x0=e2，a=e-1。所求的旋转体体积等于曲线分别与x轴及直线x=e2所围成平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积之差，即5.

设直线L：在平面∏上，而平面∏与曲面z=x2+y2相切于点(1，-2，5)，求a，b的值。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：令F(x，y，z)=x2+y2-z，则有Fx=2x，Fy=2y，Fz=-1，在点(1，-2，5)处曲面的法向量为n={2，-4，-1}，于是切平面的方程为2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0，即2x-4y-z-5=0。根据得到y=-x-b，z=x-3+a(-x-b)，将其代入平面方程有2x+4x+4b-x+3+ax+ab-5=0．因此有5+a=0，4b+ab-2=0，解得a=-5，b=-2。6.

设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程，求f(u)。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：代入方程中，得到f""(u)-f(u)=0，解得f(u)=C1eu+C2e-u，其中C1，C2为任意常数。7.

计算曲线积分sin2dx+2(x2-1)ydy，其中L是曲线y=sinx上从点(0，0)到点(π，0)的一段。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：按曲线积分的计算公式直接计算。8.

计算曲面积分I=2x3dydz+2y2dzdx+3(z2-1)dxdy，其中∑是曲面z=1-x2-y2(z≥0)的上侧。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：取∑1为xOy平面上被圆x2+y2=1所围部分的下侧，记Ω为由∑与∑1围成的空间闭区域，则由高斯公式知故I=2π-3π=-π。9.

将函数f(x)=展开成x的幂级数。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：f(x)=，比较两边系数可得A=，B=，即10.

设f(t)连续且满足f(t)=cos2t+，求f(t)。该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：因f(t)连续，所以可导，从而f(t)可导，于是则f(t)=e∫sintdt[∫-2sin2t．e-∫sintdtdt+C]=C．e-cost+4(cost-1)。由f(0)=1得C=e。因此f(t)=e1-cost+4(cost-1)。11.

从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体