固体物理学例题

补充例题03试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立方晶格的维格纳—塞茨原胞(Wingner-Seitz)

WS原胞——由某一个格点为中心做出最近各点和次近各点连线的中垂面——这些包围的空间为维格纳—塞茨原胞1固体物理学例题5/8/2024补充例题01做出石墨烯Graphene的原胞Graphene(石墨烯)的两种原胞取法，每个原胞有2个碳原子Graphene2固体物理学例题5/8/2024补充例题02做出石墨Graphite的原胞石墨原胞取法，每层2个原子，取两层原胞有4个碳原子GraphiteA层B层3固体物理学例题5/8/2024简单立方的WS原胞——原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体4固体物理学例题5/8/2024面心立方晶格的WS原胞——为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体

5固体物理学例题5/8/2024体心立方的WS原胞——为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体（截角八面体）其中八个面是正六边形，六个面是正四边形

6固体物理学例题5/8/2024习题1.2习题1.1习题1.3晶格常数为a的简立方晶格，与正格矢R正交的晶面族指数是什么？晶面间距d是？习题1.4绘画石墨烯的普通原胞和WS原胞7固体物理学例题5/8/2024a1a2a3-a3-a2-a1四指数晶向指数，取与坐标轴的垂直截距，而非平行四边形截距。[1,0,-1,0]a1a2-a2-a1[1,1/2,0]

[2,1,0]三指数晶向指数取与坐标轴的平行四边形截距(坐标)。（为取指数方便，例子中红色的晶向的表示矢量可以任意伸缩）六角晶格特殊的晶面指数表示

8固体物理学例题5/8/2024习题1.7证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。习题1.8证明：倒格子矢量垂直于密勒指数为(h1h2h3)的晶面系。习题1.6(试用倒格矢关系证明)习题1.5计算二维六角的倒格子基矢，画出其1BZ9固体物理学例题5/8/2024习题二提示1)：提示2)：10固体物理学例题5/8/2024双原子链：M=m:得到等质量一维双原子链：

11固体物理学例题5/8/2024等质量一维双原子链：

一维单原子链：

等价性？等质量一维双原子链相当于取单原子链原胞两倍为晶胞，对应1BZ大小减半，单原子链超出部分的色散曲线折叠入1BZ成为光学支，保持1BZ总格波模式为“N=原子数”-----------这也是为什么使用原胞概念.12固体物理学例题5/8/2024练习3.1解释概念格波色散关系声子13固体物理学例题5/8/2024几种简单情况下振动模式密度的表示

例1：计算一维单原子链的振动模式密度。—最大频率振动模式密度定义：一维情况下每个波矢占据宽度单位长度里的波矢密度：dq长度里的波矢数：14固体物理学例题5/8/2024考虑到一个频率可以有两个值振动模式密度15固体物理学例题5/8/2024一维单原子链的振动模式密度16固体物理学例题5/8/2024类似的，一维双原子链的振动模式密度17固体物理学例题5/8/2024几种简单情况下振动模式密度的表示

例2：计算三维长声学波在弹性波近似下的振动模式密度。其中弹性波色散关系，由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面，球壳体积：弹性波态密度呈现抛物线形。10/36直接由态密度定义，dn=密度*体积1.18固体物理学例题5/8/2024由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面，ds积分即该球面面积：于是：方法2.直接利用公式：19固体物理学例题5/8/2024固体物理教程--王矜奉习题3.10习题3.120固体物理学例题5/8/2024色散关系没有方向性(qx,qy无区分),等频率面在二维情况下为圆环，圆环周长为：

例3：

N个相同原子组成二维简单晶格，面积为S，用徳拜模型计算比热,证明其低温下与T2正比。证：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为w=vq。qxqyq二维晶格有两支格波，一支横波、一支纵波，速度分别为vL,vT。令21固体物理学例题5/8/2024先确定德拜频率wD：热容表示为，二维格波总模式数2N,把态密度和德拜频率wD带入热容公式：做变量代换,22固体物理学例题5/8/2024热容表示为，高温时

，对积分内只保留x的一阶小量,

与经典热容理论一致.低温时

，热容与温度平方成正比.23固体物理学例题5/8/2024固体物理教程--王矜奉习题3.10习题3.2其中ds为该支格波的等频面，由于题中色散关系没有方向性，故为球面：推广可以证明：如果色散关系提示：二维三维一维24固体物理学例题5/8/2024习题3.3对一维简单晶格(一维单原子链)，按照徳拜模型，求晶格热容；并证明高温热容为常数NkB,低温热容正比于T。固体物理教程--王矜奉习题3.13注：徳拜模型即使用弹性波近似，色散关系为w=vq。25固体物理学例题5/8/2024色散关系没有方向性(qx,qy无区分),等频率面在二维情况下为圆环，圆环周长为：

例3：

N个相同原子组成二维简单晶格，面积为S，用徳拜模型计算比热,证明其低温下与T2正比。证2：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为w=vq。qxqyq26固体物理学例题5/8/2024二维简单晶格共有2支格波：27固体物理学例题5/8/2024

例1：分别以定义和态密度计算自由电子的0K费米能。

方法1电子浓度28固体物理学例题5/8/2024方法2E到E+dE间电子数总电子数29固体物理学例题5/8/2024习题：证明二维自由电子的态密度(除以单位面积)为常数;一维自由电子的态密度(除以单位长度)~E-1/2；（并求出各自费米面处态密度）30固体物理学例题5/8/2024自由电子模型，温度T下电子满足:TESTtest

例1：分别以定义和态密度计算自由电子的0K费米能。

TEST31固体物理学例题5/8/2024例题1计算一维单原子链的紧束缚能带(L=na)对于中心原子，只考虑左右近邻，Rs=±a利用具有相同的值3