初中数学中考数学各类考点分项专解74 角平分线模型知识精讲

角平分线模型知识精讲1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题，例：已知：P是平分线上的一点，过点P作于点M，过点P作于点N，则.2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是的平分线，，过点D作于点E，则.3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），例：已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF，则.4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作，则是等腰三角形，即.证明：是的平分线，，又，是等腰三角形.5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：（1）已知：OC平分，点E、F分别在OA、OB上，过点E作于点M，过点F作于点N，则，如图所示：（2）已知：OC平分，点E、F在OC上，作于点M，作于点N，则，如图所示：（3）已知：OC平分，点E、F在OC上，作，则，如图所示：8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC是圆O的圆周角，∠DOE是圆O的圆心角，AF平分∠BAC，OG平分∠DOE，连接BF、CF、DG、EG，则BF＝CF，DG＝EG.9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D，则.证明：平分，平分，，在中，①在中，②，由得，即.10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D，则.证明：平分，平分，，在中，，即①在中，②由得，即.11. 【外外模型】如图，两个外角的角平分线交于点D，则.证明：平分，平分，，在中，，即①，②由①＝②，得，在中，，，，即，由④可得，代入③式可得，整理可得.三角形几何模型-双角平分线（知识讲解）模型1：内角平分线+内角平分线模型如图一模型2：内角平分线+外角平分线模型如图二模型三：外角平分线+外角平分线模型如图三模型四：飞镖+角平分线模型飞镖模型内角关系模型：图四飞镖模型“内角平分线+内角平分线”模型：图五类型一、内角平分线+内角平分线模型 1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数．（2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据角平分线的定义，求得，，再根据三角形内角和定理即可求得；（2）根据（1）的方法求得，再结合条件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A．解：（1）平分，平分，，∠ABC+∠ACB＝130°，，，（2）平分，平分，，，，，∠BPC＝3∠A，．【点拨】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．类型二、内角平分线+外角平分线模型 2．如图，在△ABC中，．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2013BC与∠A2013CD的平分线相交于点A2014，得∠A2014．如果∠A＝n度，则∠A2014＝___________度．（直接用含n的代数式表示）【答案】解：由∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC可得∠A=∠ACD–∠ABC，∠A1=∠A1CD–∠A1BC；又因∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC，所以，∠A1=∠A1CD–∠A1BC=∠ACD—∠ABC=（∠ACD—∠ABC），即可得到∠A1=∠A.同理可得∠A2=∠A1=×∠A……∠An=∠A.所以∠A2014=∠A==考点：三角形内角和定理；三角形外角的性质.类型三、外角平分线+外角平分线模型 3．如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：(1)若∠A＝60°，则∠P＝°；(2)若∠A＝40°，则∠P＝°；(3)若∠A＝100°，则∠P＝°；(4)请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系．【答案】(1)65；(2)45；(3)40；(4)∠P=90°-∠A，理由见解析.解：试题分析：（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数；（2）、（3）和（1）的解题步骤类似；（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP=（∠A+∠ABC），∠CBP=（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理即可求出∠A与∠P的关系．考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．点评：本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义．类型四、飞镖内角平分线+内角平分线模型 4．如图，平分，平分，与交于点，若，，则（）A．80° B．75° C．60° D．45°【答案】C【分析】连接先求解再求解可得再利用角平分线的定义可得：从而可得：再利用三角形的内角和定理可得的大小.解：连接平分，平分，故选：【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.角平分线模型巩固练习1． 如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝8，BD＝13，BC＝12，则四边形ABCD的面积为（）A．50 B．56 C．60 D．72【解答】A【解析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC，在Rt△BCD中，由勾股定理得：∴DE＝5，在Rt△BED中，由勾股定理得：，∵AB＝8，∴AE＝BE﹣AB＝12﹣8＝4，∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD+S△BED﹣S△AED＝50，故选：A．2． 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC边于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E．已知AD＝3，DE＝4，则下列结论正确的是（）A．AE＝BE B．DE垂直平分AC C． D．【解答】D【解析】过D点作DF⊥AB于点F，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC边于点D，∴DC＝DF，∵过点D作BC的平行线交AB于点E．∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝90°，∵AD＝3，DE＝4，∴，∴，∴DC＝DF＝≠3，故DE不能平分AC，故B说法错误；∵，∴AE≠BE，故A说法错误；∵，∴故C说法错误；∵，故D说法正确；故选：D．3． 如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】C【解析】（1）证明：作PH⊥AB于H，∵AP是∠CAB的平分线，∴∠PAE＝∠PAH，在△PEA和△PHA中，，∴△PEA≌△PHA（AAS），∴PE＝PH，∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正确；（2）与（1）可知：PE＝PF，又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，∴点P在∠COD的平分线上，∴（2）正确；（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，∴∠O+∠EPF＝180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，由（1）知：△PEA≌△PHA，∴∠EPA＝∠HPA，同理：∠FPB＝∠HPB，∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，∴∠APB＝90°﹣，∴（3）错误；故选：C．4. 在中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且，则AC=．【解答】【解析】过点E作于G，连接CF，如图所示：分别是和的平分线，，CF是的平分线，，在中，，由勾股定理可得.5. 如图，在中，，，、的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为.【解答】【解析】延长FE交AB于点D，作于点G，作于点H，如图所示：四边形BDEG是矩形，平分，CE平分，四边形BDEG是正方形，在和中，，同理可得，设，则，，，解得，，，即，解得，.6． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，连接AE．若AC＝BC＝4，则△ABE的面积为．【解答】4【解析】作EH⊥AB于H，EK⊥BC于K．在EB上取一点J，使得EJ＝EC，连接CJ．设EC＝EJ＝m．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝，∵BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，∵∠ACB＝45°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝22.5°，∵EC＝EJ＝m，∠CEJ＝90°，∴∠EJC＝45°，∵∠EJC＝∠JCB+∠JBC，∴∠JCB＝∠JBC＝22.5°，∴JC＝JB＝m，∴EB＝m+m，∵EC2+EB2＝BC2，∴m2+（m+m）2＝42，∴m2＝8﹣4，∴S△ECB＝•EC•EB＝•m（m+m）＝•（1+）m2＝2，∵EB平分∠ABC，EH⊥AB，EK⊥BC，∴EH＝EK，∴，∴S△AEB＝2×＝4．解法二：延长CE交AB于点F，证明△ABE的面积等于△ABC的一半，可得S△AEB＝4．故答案为4．7. 如图，，BE平分，CE平分，点E在AD上，求证：.【解答】见解析【解析】在直线BC上截取，连接EF，如图所示：在和中，，，在和中，，又，即.8. 如图，在中，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离.【解答】3【解析】过点P作于点D，于点E，于点F，如图所示：，点P是三条角平分线的交点，，又，即，点P到AB的距离为3.9. 如图，在中，AB为直径，CD平分交于点D，求证：.【解答】见解析【解析】连接AD、BD，过点A作，过点B作，垂足分别为点M、N，如图所示：是的直径，CD平分交于点D，，与都是等腰直角三角形，在中，，在中，，，是的直径，，，又，.10. 如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边DE上，若，求两个三角形的重叠部分面积是多少？【解答】重叠部分面积为【解析】连接BD，AB与CD相交于点O，过点O作于点M，ON⊥BD于点N，如图所示：又，，，在中，由勾股定理可得，在中，，解得，平分，又于点M，于点N，，，，.11．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．【解答】见解析【解析】证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BOC，又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，∴△DCO≌△BCO（ASA）∴CB＝CD，∴OB＝OD，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．12．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平