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文档简介
江西省高安市高安中学2024届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,,且,则()A. B. C.1 D.22.已知全集,集合,则()A. B. C. D.3.己知四棱锥中,四边形为等腰梯形,,,是等边三角形,且;若点在四棱锥的外接球面上运动,记点到平面的距离为,若平面平面,则的最大值为()A. B.C. D.4.已知实数,满足,则的最大值等于()A.2 B. C.4 D.85.为双曲线的左焦点,过点的直线与圆交于、两点,(在、之间)与双曲线在第一象限的交点为,为坐标原点,若,且,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.6.关于的不等式的解集是,则关于的不等式的解集是()A. B.C. D.7.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,三角形AOB的面积为,则p=().A.1 B. C.2 D.38.若函数恰有3个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图,若输出的,则输入的整数的最大值为()A.7 B.15 C.31 D.6310.已知,则()A.5 B. C.13 D.11.如图所示,直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,则球的体积为()A.1605π3 B.64212.已知向量,且,则等于()A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.抛物线的焦点坐标为______.14.如图,已知圆内接四边形ABCD,其中,,,,则__________.15.若双曲线的两条渐近线斜率分别为,,若,则该双曲线的离心率为________.16.设复数满足,其中是虚数单位,若是的共轭复数,则____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.(Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF;(Ⅱ)若二面角CBFD的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值.18.(12分)已知数列的各项均为正数,且满足.(1)求,及的通项公式;(2)求数列的前项和.19.(12分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,整理如下:甲公司员工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350乙公司员工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件0.65元,乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.(1)根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数;(2)为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为(单位:元),求的分布列和数学期望;(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.20.(12分)已知函数.(1)求函数的最小正周期以及单调递增区间;(2)已知,若,,,求的面积.21.(12分)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形且∥,侧面为等边三角形,且平面平面.(1)求平面与平面所成的锐二面角的大小;(2)若,且直线与平面所成角为,求的值.22.(10分)在中,内角,,所对的边分别是,,,,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据向量垂直的坐标表示列方程,解方程求得的值.【详解】由于向量,,且,所以解得.故选:A【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示,属于基础题.2、D【解析】
根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,由补集和交集定义可求得结果.【详解】,,,.故选:.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题,涉及到函数定义域的求解,属于基础题.3、A【解析】
根据平面平面,四边形为等腰梯形,则球心在过的中点的面的垂线上,又是等边三角形,所以球心也在过的外心面的垂线上,从而找到球心,再根据已知量求解即可.【详解】依题意如图所示:取的中点,则是等腰梯形外接圆的圆心,取是的外心,作平面平面,则是四棱锥的外接球球心,且,设四棱锥的外接球半径为,则,而,所以,故选:A.【点睛】本题考查组合体、球,还考查空间想象能力以及数形结合的思想,属于难题.4、D【解析】
画出可行域,计算出原点到可行域上的点的最大距离,由此求得的最大值.【详解】画出可行域如下图所示,其中,由于,,所以,所以原点到可行域上的点的最大距离为.所以的最大值为.故选:D【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.5、D【解析】
过点作,可得出点为的中点,由可求得的值,可计算出的值,进而可得出,结合可知点为的中点,可得出,利用勾股定理求得(为双曲线的右焦点),再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示,过点作,设该双曲线的右焦点为,连接.,.,,,为的中点,,,,,由双曲线的定义得,即,因此,该双曲线的离心率为.故选:D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解,解题时要充分分析图形的形状,考查推理能力与计算能力,属于中等题.6、A【解析】
由的解集,可知及,进而可求出方程的解,从而可求出的解集.【详解】由的解集为,可知且,令,解得,,因为,所以的解集为,故选:A.【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查学生的计算求解能力与推理能力,属于基础题.7、C【解析】试题分析:抛物线的准线为,双曲线的离心率为2,则,,渐近线方程为,求出交点,,,则;选C考点:1.双曲线的渐近线和离心率;2.抛物线的准线方程;8、B【解析】
求导函数,求出函数的极值,利用函数恰有三个零点,即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为,令,则或,上单调递减,上单调递增,所以0或是函数y的极值点,函数的极值为:,函数恰有三个零点,则实数的取值范围是:.故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数,来确定参数的取值范围的问题,在解题的过程中,注意应用导数研究函数图象的走向,利用数形结合思想,转化为函数图象间交点个数的问题,难度不大.9、B【解析】试题分析:由程序框图可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后输出,此时,则的最大值为15,故选B.考点:程序框图.10、C【解析】
先化简复数,再求,最后求即可.【详解】解:,,故选:C【点睛】考查复数的运算,是基础题.11、A【解析】
设球心为O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的内切圆的圆心为O1,该圆与边B【详解】如图,设三棱柱为ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1为斜边是A1C1则圆O1的半径为O设球心为O,则由球的几何知识得ΔOO1M所以OM=2即球O的半径为25所以球O的体积为43故选A.【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题,解答本题的关键有两个:(1)构造以球半径R、球心到小圆圆心的距离d和小圆半径r为三边的直角三角形,并在此三角形内求出球的半径,这是解决与球有关的问题时常用的方法.(2)若直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则该直角三角形内切圆的半径r=a+b-c12、D【解析】
由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为,且,,则.故选:.【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
变换得到,计算焦点得到答案.【详解】抛物线的标准方程为,,所以焦点坐标为.故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标,属于简单题.14、【解析】
由题意可知,,在和中,利用余弦定理建立方程求,同理求,求,代入求值.【详解】由圆内接四边形的性质可得,.连接BD,在中,有.在中,.所以,则,所以.连接AC,同理可得,所以.所以.故答案为:【点睛】本题考查余弦定理解三角形,同角三角函数基本关系,意在考查方程思想,计算能力,属于中档题型,本题的关键是熟悉圆内接四边形的性质,对角互补.15、2【解析】
由题得,再根据求解即可.【详解】双曲线的两条渐近线为,可令,,则,所以,解得.故答案为:2.【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.16、【解析】
由于,则.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】分析:(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值;也可以应用常规法,作出线面角,放在三角形当中来求解.详解:(Ⅰ)在△ABD中,∠ABD=30°,由AO2=AB2+BD2-2AB·BDcos30°,解得BD=,所以AB2+BD2=AB2,根据勾股定理得∠ADB=90°∴AD⊥BD.又因为DE⊥平面ABCD,AD平面ABCD,∴AD⊥DE.又因为BDDE=D,所以AD⊥平面BDEF,又AD平面ABCD,∴平面ADE⊥平面BDEF,(Ⅱ)方法一:如图,由已知可得,,则,则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.则.过点C做,交DB、AB于点G,H,则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG,则,DE⊥平面ABCD,则平面.过G做于点I,则BF平面,即角为二面角CBFD的平面角,则60°.则,,则.在直角梯形BDEF中,G为BD中点,,,,设,则,,则.,则,即CF与平面ABCD所成角的正弦值为.(Ⅱ)方法二:可知DA、DB、DE两两垂直,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设DE=h,则D(0,0,0),B(0,,0),C(-,-,h).,.设平面BCF的法向量为m=(x,y,z),则所以取x=,所以m=(,-1,-),取平面BDEF的法向量为n=(1,0,0),由,解得,则,又,则,设CF与平面ABCD所成角为,则sin=.故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为点睛:该题考查的是立体几何的有关问题,涉及到的知识点有面面垂直的判定,线面角的正弦值,在求解的过程中,需要把握面面垂直的判定定理的内容,要明白垂直关系直角的转化,在求线面角的有关量的时候,有两种方法,可以应用常规法,也可以应用向量法.18、(1);.;(2)【解析】
(1)根据题意,知,且,令和即可求出,,以及运用递推关系求出的通项公式;(2)通过定义法证明出是首项为8,公比为4的等比数列,利用等比数列的前项和公式,即可求得的前项和.【详解】解:(1)由题可知,,且,当时,,则,当时,,,由已知可得,且,∴的通项公式:.(2)设,则,所以,,得是首项为8,公比为4的等比数列,所以数列的前项和为:,即,所以数列的前项和:.【点睛】本题考查通过递推关系求数列的通项公式,以及等比数列的前项和公式,考查计算能力.19、(1)平均数为360,众数为330;(2)见详解;(3)甲公司:7020(元),乙公司:7281(元)【解析】
(1)将图中甲公司员工A的所有数据相加,再除以总的天数10,即可求出甲公司员工A投递快递件数的平均数.从中发现330出现的次数最多,故为众数;(2)由题意能求出的可能取值为340,360,370,420,440,分别求出相对应的概率,由此能求出的分布列和数学期望;(3)利用(1)(2)的结果,可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【详解】解:(1)由题意知甲公司员工在这10天投递的快递件数的平均数为.众数为330.(2)设乙公司员工1天的投递件数为随机变量,则当时,当时,当时,当时,当时,的分布列为204219228273291(元);(3)由(1)估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为(元)由(2)估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为(元).【点睛】本题考查频率分布表的应用,考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题.20、(1)最小正周期为,单调递增区间为;(2).【解析】
(1)利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为,利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期,解不等式可求得该函数的单调递增区间;(2)由求得,由得出或,分两种情况讨论,结合余弦定理解三角形,进行利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】(1),所以,函数的最小正周期为,由得,因此,函数的单调递增区间为;(2)由,得,或,或,,,又,,即.①当时,即,则由,,得,则,此时,的面积为;②当时,则,即,则由,解得,,.综上,的面积为.
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