双曲线及其标准方程

3.【考点梳理】考点一：双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦点：两个定点F1，F2.4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.考点二：双曲线标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦点(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2重难点技巧：（1）,,表示双曲线；（2）,,表示两条射线；（3）,表示双曲线的一支；（4）,表示一条射线.【题型归纳】题型一：双曲线的定义1．（2023秋·高二）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合题意依次求得，从而得到双曲线的标准方程.【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为，，所以设双曲线的方程为，半焦距为；又因为是双曲线上一点且，所以，即，则；所以双曲线的标准方程为.故选：C.2．（2023秋·高二课时练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方程.【详解】，，又动点满足，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，则有，动点的轨迹方程为．故选：A．3．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第一中学校考期末）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据椭圆和双曲线中的关系，结合双曲线定义可解.【详解】在椭圆中，由题知，解得，所以椭圆的焦点为，，因为曲线上的点到，的距离的差的绝对值等于8，且，所以曲线是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，所以曲线的虚半轴长为，故的标准方程为：.故选：A.题型二：利用双曲线的定义求轨迹方程4．（2023·全国·高二专题练习）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.【详解】圆N：的圆心为，半径为，且设动圆的半径为，则，即.即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，故动圆圆心P的轨迹方程是故选：A5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，若四边形（为原点）的面积为4，则动点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用点到直线的距离求，，利用面积为4，列式求轨迹方程.【详解】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域，所以点到直线的距离，到直线的距离，，即.所以动点M的轨迹方程：.故选：C.6．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可．【详解】解：因为线段的垂直平分线与直线相交于点，所以有，由圆，得，该圆的半径，因为点在圆上运动时，所以有，于是有，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线，所以，，可得，所以，所以点的轨迹方程为.故选：B．题型三：双曲线中的焦点三角形问题7．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】结合双曲线的定义来解决即可.【详解】双曲线的实半轴长，由双曲线的定义，可得所以，则三角形的周长为.故选：B8．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（

）A．8 B． C．10 D．【答案】D【分析】根据三角形周长公式，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】由题意知.又，所以.根据双曲线的定义可知，所以，解得，所以.故选：D9．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点在双曲线上，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据点到该双曲线渐近线的距离为1，可以求出，利用双曲线定义和余弦定理可以得到，再根据，求出，进而可以求出结果.【详解】因为点到该双曲线渐近线的距离为1，双曲线渐近线方程为，所以.由，可得.因为，所以，，所以，故的面积为.故选：B.题型四：双曲线的参数问题10．（2023·全国·高二专题练习）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由方程表示双曲线求解实数k的取值范围即可.【详解】曲线表示双曲线，所以即可.解得或，所以实数k的取值范围是：.故选：B.11．（2022秋·江苏徐州·高二校考期中）若方程所表示的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的方程求的取值范围，进而判断双曲线焦点所在位置并求的值，即可得结果.【详解】由题意可得：，解得，当时，则，∴表示焦点在x轴上的双曲线，且，故，即，则的焦点坐标为.故选：C.12．（2022秋·广西河池·高二统考期末）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的标准方程形式，直接列出不等关系即可解得答案.【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得，即，故选：B.题型五：双曲线的标准方程的求法13．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的定义及勾股定理得出，再根据点在双曲线上求双曲线方程.【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，如图所示，过点作于点.因为，所以，因为，所以，所以，故，得.因为，所以，故点，将代入双曲线中，即，化简得，，解得或（舍去），故B项正确.故选：B.14．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆方程可求出焦点，将代入双曲线，结合，解方程即可求解.【详解】椭圆焦点为，双曲线焦点为，且，将代入双曲线，得，又，解得，，故双曲线的方程为，故选：D.15．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】求出，利用题干条件得到，，由双曲线定义得到方程，求出，进而得到，，求出双曲线方程.【详解】设双曲线C的半焦距为．由题可知，即．因为的中点为Q，为等边三角形，所以，所以，，故，所以，，所以，所以，所以，．所以双曲线C的方程为．故选：A题型六：双曲线中的最值问题16．（2023秋·全国·高二期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用双曲线的定义可得，求的最小值相当于求的最小值，当三点共线时能取得最小值.【详解】因为，所以要求的最小值，只需求的最小值.如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时，最小，最小值为.故的最小值为.故选：C17．（2023·全国·高二专题练习）已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【分析】延长，交于点T，则可得，再结合双曲线的定义得，连接，则，而为定值，所以由图可知，从而可求得结果.【详解】如图所示，延长，交于点T，则因为平分，，所以，，因为P在双曲线上，所以，所以，连接，则，因为，所以，当三点共线时取等号，即点和点Q距离的最大值为3，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质的应用，解题的关键是利用已知条件结合双曲线的性质可得，，考查数形结合的思想，属于中档题.18．（2023·全国·高二专题练习）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的周长最小时，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用双曲线的定义可以得出=，当三点共线时最小.【详解】由双曲线得到,,，左焦点，设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.===.故选：C.题型七：双曲线方程的综合问题19．（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，焦点在x轴上，且过点；(2)，一个焦点的坐标是；(3)经过两点，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据焦点位置及过点求出得出标准方程；（2）根据焦点及，求出即可得出标准方程；（3）设双曲线方程为，利用待定系数法求解.【详解】（1）由于双曲线的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为．因为双曲线过点，所以，又，解得，，因此，所求双曲线的标准方程为．（2）由题意知，，且焦点在x轴上，所以，故所求双曲线方程为：（3）设双曲线方程为，代入点，，则，解得，所以所求双曲线方程为.20．（2023·全国·高二随堂练习）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．【答案】48【分析】过点作边上的高，根据所给条件结合双曲线的定义可求出三角形的高，即可求出三角形的面积.【详解】如图，由可得，，，，，过点作边上的高，则，，所以的面积为.21．（2023·全国·高二专题练习）若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.(1)求双曲线C的方程；(2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据双曲线的定义和条件求解；（2）先求出和，再根据余弦定理求出与夹角，运用三角形面积公式计算.【详解】（1）令分别是左右焦点，则，得，双曲线的方程为，将点代入上式，得：，双曲线的标准方程为；（2）不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知：，，解得，在△中，，设与的夹角为，由余弦定理得：，；综上，双曲线的标准方程为，△的面积为.【双基达标】单选题22．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校）已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化为双曲线的标准方程，再建立不等式求解即可.【详解】方程可化为：，由方程表示的焦点在y轴的双曲线，得，解得.故选：C.23．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】利用双曲线的方程的特点和双曲线的定义即可求解.【详解】由，得解得．因为是双曲线左支上的动点，所以.由双曲线的定义可知．故选：A.24．（2023·江苏·高二假期作业）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则m=（）A． B．1或2C．1或 D．1【答案】D【分析】根据给定条件，利用焦点位置及半焦距的计算列式求解作答.【详解】双曲线的焦点在x轴上，依题意，，即，又，解得，所以.故选：D25．（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两焦点坐标为，，且；(2)两焦点坐标为，，且经过点；(3)焦点在y上，且经过点和．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据焦点及a求出可写出标准方程；（2）根据焦点及双曲线上的点利用定义求出a，再求即可得解；（3）设出双曲线方程，代入点求出，得解.【详解】（1）由题意，，所以，又焦点在轴上，所以所求双曲线方程为.（2）由题意，焦点在轴上，，又经过点，所以，所以，又，所以所求双曲线方程为.（3）因为焦点在y上，所以设，因为经过点和，所以，解得，所以所求双曲线方程为.26．（2023·全国·高二课堂例题）已知方程．(1)若方程表示双曲线，求a的取值范围；(2)试说明（1）中的双曲线有共同的焦点．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据双曲线标准方程的形式，列式求解；（2）根据双曲线标准方程的形式，求解，再判断共同的性质.【详解】（1）方程表示双曲线，则．解得．因此，当时，方程表示双曲线，且原方程可写为．（2）由（1）可知，双曲线的焦点在y轴上，且，，则，所以，方程表示的双曲线的焦点坐标为，，显然与方程中的a无关，因此（1）中的双曲线有共同的焦点．【高分突破】一、单选题27．（2023秋·高二单元测试）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用离心率定义，斜率公式，三角形面积表示，代入条件即可.【详解】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为，设，则①，因为，所以，所以②，又因为的面积为，所以，即，所以③，由②③得④，将④③代入①得，，所以.故选：D.28．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】依题意结合几何关系得出，即可求解.【详解】由题意可知：双曲线焦点在轴上，，设双曲线的右焦点，左焦点，由为中位线，则，由与圆相切于点，则为直角三角形，∴，则，,∵，∴=1.故选：B.29．（2023·全国·高二专题练习）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B．15 C．12 D．30【答案】A【分析】利用双曲线定义求出的三边长度，根据余弦定理求出三角形的夹角，最后通过三角形正弦定理面积公式求出面积.【详解】，根据双曲线定义：，，，，根据余弦定理：，则，.故选：A30．（2023·全国·高二专题练习）已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为（

）A．7 B． C．8 D．【答案】D【分析】用双曲线第二定义与第一定义进行转化，即可求得最小值.【详解】根据双曲线的第二定义，，又根据双曲线的第一定义得，所以，所以当点M在双曲线的右支顶点时达到最小值，由双曲线方程得，所以.故选：D31．（2023·全国·高二专题练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（

）A． B．4 C． D．3【答案】A【分析】设，根据双曲线的定义及条件可得，再结合三角形面积公式即可得到答案.【详解】∵为正三角形，设，则，，又双曲线，则根据双曲线定义得，∴，即等边三角形的边长为4，故的面积为.故选：A.32．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，连接，则有，，，，在直角三角形中，由可得，在直角三角形中，由可得，再结合，即可求得答案.【详解】解：设，则，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，连接，则有，，由于在以为直径的圆周上，∴，∵为平行四边形，∥，∴，在直角三角形中，，即，解得，所以，；在直角三角形中，，即，得，又因为，所以，，所以双曲线的方程为.故选:D.二、多选题33．（2023秋·高二课时练习）已知是双曲线的两个焦点．若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，则点M到另一个焦点的距离为（

）A．8 B．10C．22 D．32【答案】BC【分析】利用双曲线定义即可求得结果.【详解】根据题意不妨设，根据双曲线的定义知，即，解得或；故选：BC.34．（2023秋·高二单元测试）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（

）A．若，则为椭圆B．若为椭圆，且焦点在轴上，则C．曲线可能是圆D．若为双曲线，则【答案】BC【分析】根据椭圆，圆，双曲线方程的特征，列不等式求解，即可判断选项.【详解】方程所表示的曲线为.，取时，方程为，表示圆，错误；B.若为椭圆，且焦点在y轴上，则，即，所以B正确；C.时，方程为，表示圆，所以C正确；.若为双曲线，可得，解得或，所以D错误.故选：BC35．（2022秋·江西上饶·高二校考阶段练习）已知双曲线）的左，右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的一点，给出下列结论，其中正确的是（

）A．存在点，使B．存在点，使得直线的斜率的绝对值之和C．使得应为等腰三角形的点有且仅有四个D．若，则【答案】AD【分析】由双曲线的定义，可判断A；由，结合双曲线的方程，得到可判断B；结合双曲线的几何性质，可判断C；根据数量积的坐标表示可得，进而，可判断D．【详解】设．对于A，由双曲线的定义，只需即可，即只需P点为线段的中垂线与双曲线的交点，故A正确；对于B，因为，所以，又，所以，故，当且仅当时等号成立，又等号不可能成立，故B错误；对于C，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形；当时，也为等腰三角形，故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个；同理，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，因此使得为等腰三角形的点P共有八个，故C错误；对于D，由，得，从而，故D正确．故选：AD．36．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（

）A．P的纵坐标为 B．C．的周长为 D．的面积为4【答案】ABD【分析】结合、双曲线的定义、三角形的面积和周长等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，因为，所以.由双曲线的定义可得①，两边平方得，即，解得，故的面积为，D正确.设P的纵坐标为h，的面积，解得，A正确.，解得②，的周长为，C错误.①＋②可得，B正确.故选：ABD三、填空题37．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则.【答案】20【分析】先由双曲线方程求出，然后根据双曲线的定义求解即可.【详解】由，得，得，因为，，所以或，解得（舍去），或，故答案为：2038．（2023秋·高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为.【答案】/【分析】利用双曲线定义将转化，用到右焦点的距离表示，由点与右焦点位于双曲线右支异侧，利用两点之间线段最短可得最小值.【详解】由题意知，.设双曲线的右焦点为，由是双曲线右支上的点，则，则，当且仅当三点共线时，等号成立.又，则.所以，的最小值为.故答案为：.39．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线的方程是，点P在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为10，点N是的中点，O为坐标原点，则.【答案】1或9/9或1【分析】根据双曲线的定义计算出，然后根据可得结果.【详解】设双曲线的另一个焦点为，连接，易得ON是的中位线，所以，因为，，所以或，故或.故答案为：1或9.40．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.【答案】【分析】由动圆和两定圆外切得圆心距与半径的关系，作差后得到动圆圆心的轨迹符合双曲线定义，由已知得，然后求出，从而得解.【详解】圆：，圆心，半径，圆：，圆心，半径.设动圆M的半径为R，则有，，∴，∴点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，，于是.故动圆圆心M的轨迹方程为.故答案为：.41．（2023秋·高二课时练习）已知圆锥曲线的方程：.当为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点满足，则满足题意的有序实数对共有对.【答案】3【分析】本题主要考查圆锥曲