对数(或对数函数)问题的类型与解法

对数和对数函数问题的类型与解法对数和对数函数是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必有一个对数和对数函数问题的5分小题。从题型上看是选择题或填空题，难度为中，低档。纵观各种考试试卷，归结起来对数和对数函数问题主要包括：①对数的运算；②对数函数概念及运用；③对数函数图像及运用；④对数函数性质及运用；⑤对数函数的综合问题；⑥对数方程或不等式的解法等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答对数和对数函数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。【典例1】解答下列问题：1、若a＞0，a1，x＞0，y＞0，x＞y，则下列式子中正确的个数是（）①x.y=（x+y）；②x-y=（x-y）；③=x÷y；④（xy）=x.y。A0B1C2D32、计算25.2.9的结果为（）A3B4C5D63、22-+8的值为（）AB2C3D4、若lg2=a，lg3=b，则lg0.18=；5、已知2=m，3=n，则=；6、计算：=；7、求下列各式的值：（1）；（2）lg。（3）计算2+lg5+；（4）计算；（5）已知3=a，7=b，求；，x≥4，（6）已知函数f(x)=f(x+1)，x＜4，求f(2+3)的值；8、利用对数的换底公式化简下列各式：（1）9.8.25.4；（2）b.a；（3）（5+5）（2+2）。『思考问题1』（1）【典例1】是与对数运算相关的问题，解答这类问题应该掌握对数运算的基本性质，对数的换底公式和对数恒等式；（2）运用对数的基本运算性质解答问题时应该注意：①对数运算性质成立的条件；②灵活运用公式，作为一个公式既要能够从左边用到右边，也要能够从右边用到左边；（3）对数的换底公式主要用来解决底数不同的对数运算问题，对数的恒等式通常用于指数和对数的混合式子的运算；（4）面对实际问题，到底是从左边用到右边还是从右边用到左边，必须依据问题给定的条件和需要解决的问题结合起来综合考虑。〔练习1〕解答下列各题：.=（）ABC2D4已知2=a，=5，则用a，b表示为（）A(a+b+1)B（a+b）+1C(a+b+1)D+b+1设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）Ab.b=aBb.a=bCbc=b.cD(b+c)=b+c若a=3，则+=；5、若4.8.m=16，则m等于；6、lg+lg的值是；7、利用对数的换底公式化简下列各式：（1）3.4.5.2；（2）（3+3）（2+2）；（3）c.a。8、计算下列各式的值：（1）+lg50lg2；（2）（2+2）.(3+3)；（3）；（4）22-+8-125；（5）+12-42-1；（6）+lg2.lg50+lg25。（7）.（lg32-lg2）。【典例2】解答下列问题：1、下列函数是对数函数的是（）Ay=2xBy=(2x)（a＞0,且a≠1）Cy=2x（a＞0,且a≠1）Dy=lnx2、函数y=的定义域是（）A（-，2）B（2，+）C（2，3）（3，+）D（2，4）（4，+）3、设f(x)=lg，则f()+f()的定义域为（）A（-4，0）（0，4）B（-4，-1）（1，4）C（-2，-1）（1，2）D（-4，-2）（2，4）4、已知对数函数f(x)的图像过点（8，-3），则f(2)=。『思考问题2』（1）【典例2】是对数函数概念及运用的问题，解答这类问题需要理解对数函数的定义，注意对数函数的底数和真数的条件限制，在对数的定义中，底数a必须满足两个条件：①大于0，②不等于1；真数N必须满足大于0的条件限制；（2）【典例2】中2，3，两题是求对数函数定义域的问题，解答时需要理解函数定义域的定义，掌握求函数定义域的基本求法；（3）【典例2】中1，4两题可直接运用对数函数的定义求解，在理解对数函数的定义时一定要注意定义中函数解析式的结构特征。〔练习2〕解答下列各题：1、已知函数f(x)=的定义域为M，g(x)=ln(1+x)的定义域为N，则MN=（）A{x|x＞1}B{x|x＜1}C{x|-1＜x＜1}D若定义在（-1,0）内的函数f(x)=(x+1)＞0,则a的取值范围是（）A(0，)B〔0，〕C(,+∞)D(0,+∞)3、求下列函数的定义域：（1）y=(-2x-3)；（2）y=；（3）y=（1-x）；y=；（5）y=（6）y=。【典例3】解答下列问题：1、函数y=(x+2)+1（a＞0,且a≠1）的图像过定点（）A（1，2）B（2，1）C（-2，1）D（-1，1）2、函数y=lg(x+1)的图像大致是（）2y2y2y2y1111012x-1012x-1012x-1012xABCD3、在同一坐标系中，函数y=x与y=x的图像之间的关系是（）A关于Y轴对称B关于X轴对称C关于原点对称D关于直线y=x对称y4、如图是对数函数y=x的图像，已知a的值为1DCBA，，，，则图像，，，相应01x的a值依次是（）A，，，B，，，C，，，D，，，函数f(x)=的图像大致是（）2y2y2y2y1111012x012x-1012x-1012xABCD6、已知函数y=(x+c)（a，c为常数，其中a＞0,a≠1）y的图像如图所示，则下列结论成立的是（）01xAa＞1，c＞1Ba＞1，0＜c＜1C0＜a＜1，c＞1D0＜a＜1，0＜c＜17、当0＜x时，＜x，则实数a的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（，2）8、已知函数f(x)=|lgx|，0＜a＜b,且f(a)=f(b)，则a+2b的取值范围是（）A（2，+）B［2，+）C（3，+）D［3，+）9、已知函数g(x)的图像沿x轴方向向左平移一个单位后，与函数f(x)=的图像关于直线y=x对称，且g(19)=a+2，则函数y=(0＜x≤1)的值域为；10、函数f(x)=（x+3）-1（a＞0且a≠1），的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0,则+的最小值为。『思考问题3』（1）【典例3】是对数函数的图像及运用的问题，解答这类问题需要熟悉对数函数的图像，注意底数a的不同取值对对数函数图像的影响；（2）对数函数与指数函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称；解答相关问题时注意分辨底数a的取值，确定问题涉及对数函数（或指数函数）图像两种基本类型的哪一种，再根据相关基本类型的特征去解答问题。〔练习3〕解答下列问题：若2＜0，（a＞0,且a≠1），则函数f(x)=（x+1）的图像大致是（）yyyy22221111-1012x-1012x-1012x-1012xABCD函数f(x)=|lgx|，若a≠b,且f(a)=f(b)，则a+b的取值范围是（）A（1，+）B［1，+）C（2，+）D［2，+）3、已知f(x)=，g(x)=x，其中a＞0,且a≠1，若f(3).g(3)＜0，则f(x)，g(x)在同一直角坐标系内的图像可能是（）yyyy22221111-1012x-1012x-1012x-1012xA-x+6，x＞10,BCD4、已知函数f(x)=|lgx|，0＜x≤10，若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是（）A（1，10）B（5，6）C（10，12）yD（20，24）5、若函数f(x)=x（a＞0,且a≠1）的图像如图1----------|所示，则下列函数图像正确的是（）03xy3------|y=yy=yy=yy=(-x)2|2221|1----|1--|1-1012x-1012x-1012x-3|---012xABC|-1D【典例4】解答下列问题：1、若a=，b=，c=，则下列结论正确的是（）Ab＜a＜cBa＜b＜cCc＜b＜aDb＜c＜a2、已知0＜＜，则a，b的关系是（）A0＜a＜b＜1B0＜b＜a＜1C1＜a＜bD1＜b＜a3、设a、b、c均为正数，且=a，=b，=c，则（）Aa＜b＜cBc＜b＜aCc＜a＜bDb＜a＜c4、函数y=x在［1,2］上的值域是（）ARB［0,+）C（-,1］D［0,1］5、设a=，b=，c=(x＞1)，则a，b，c的大小关系是（）Aa＜b＜cBb＜a＜cCc＜b＜aDb＜c＜a6、已知函数f(x)与函数g(x)=互为反函数，则（）Af(x)=lgx(xR)Bf(x)=lgx(x＞0)Cf(x)=lnx(xR)Df(x)=lnx(x＞0)7、若函数f(x)=（-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-，0）内单调递增，则a的取值范围是（）A［,1）B［,1）C（，+）D（1,）8、已知x，y为正实数，则（）A=+B=.C=+D=.9、如果函数f(x)=x，x1，那么f(x)的值域为；，x＜1，10、已知函数f(x)=+x（a＞0且a≠1）在［1,2］上的最大值与最小值之和为2+6，则a的值为；11、求函数f(x)=(2-5x+3)的单调区间；12、已知函数f(x)=〔3-〕，求函数f(x)的值域及单调区间；13、已知函数f(x)=(-ax+1-a)在区间（-∞，1-〕上是单调递减函数，求实数a的取值范围。14、已知函数f(x)=（a+2x+3）。（1）若f(1)=1，求函数f(x)的单调区间；（2）是否存在实数a，使函数f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。『思考问题4』（1）【典例4】是对数函数的性质及应用问题，解答这类问题需要理解并掌握对数函数的性质，同时注意数形结合数学思想的灵活运用；（2）解答比较对数函数值大小问题的基本方法是：①底数相同时，直接运用对数函数的性质得出结果；②底数不相同时，可借助于某一个常量作为比较标准，再得出结果；（3）解答对数函数的应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题的类型，建立相应的对数函数模型；②借助于对数函数的图像并结合对数函数的性质解答问题；③综合实际应用问题的实际意义得出结果。（4）解答指数函数与对数函数综合问题的基本方法是：①图像法，在同一直角坐标系中分别作出问题涉及的所有函数的图像，借助于图像寻找结论；②代数法，分别运用指数函数，对数函数的性质求出问题中涉及的所有元素的取值范围，再根据结果得出结论。〔练习4〕解答下列问题：已知0＜x＜y＜a＜1，则有（）A(xy)＜0B0＜(xy)＜1C1＜(xy)＜2D(xy)＞2设a=2，b=3，c=，则（）Aa＜b＜cBa＜c＜bCb＜c＜aDb＜a＜c求函数f(x)=（ax-3）在［1,3］上单调递增，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（0,1）C（0,）D（3,+）4、若函数f(x)=lg(-2ax+1+a)在区间（-，1］上单调递减，则实数a的取值范围是（）A［1，2）B［1，2］C［1，+）D［2,+）5、设函数f(x)=，x1，则满足f(x)2的x的取值范围是（）A［-1，2］1-x，x＞1，B［0，2］C［1，+）D［0,+）6、如果x＞0成立，则x的取值范围是（）Ax＞B＜x＜1Cx＜1D0＜x＜17、若定义在（-1,0）内的函数f(x)=(x+1)＞0,则a的取值范围是（）A(0，)B〔0，〕C(，+∞)D(0，+∞)函数f(x)=(+x-6)的单调递减区间是；9、已知函数f(x)=1+3，g(x)=22，试比较f(x)与g(x)的大小；10、函数y=x，y=x，y=lgx的图像如图所示。（1）试说明哪个函数对应于哪个图像，并说明理由；y③②（2）以已有图像为基础，在同一直角坐标系中画出①y=x,y=x，y=x的图像；01x从（2）的图中你发现了什么问题？11、已知函数f(x)=〔+2-+1〕(a、b∈)，如果f(x)＜0，求x的取值范围。【典例5】解答下列问题：1、函数f(x)的定义域为D，若满足：（1）函数f(x)在D内是单调函数；（2）存在〔m,n〕D，使f(x)在〔m,n〕上的值域为〔,〕，那么就称y=f(x)为“成功函数”，若函数f(x)=(+t)(a＞0,且a≠1)是“成功函数”，则t的取值范围为（）A（0,+∞)B（-∞，)C（0,〕D（0,）2、设a＞1,函数f(x)=x在区间［a，2a］上的最大值与最小值之差为，则实数a等于（）AB2C2D43、已知函数f(x)=x，其中a∈｛a|20＜12a-｝.（1）判断函数f(x)=x的增减性；（2）若命题p：|f()|＜1-|f(2)|为真命题，求实数x的取值范围。4、已知函数f(x)=是奇函数（a＞0,且a≠1）。（1）求m的值；（2）判断f(x)在区间（1，+∞)上的单调性，并加以证明；（3）当a＞1,x∈(r,a-2)时，f(x)的值域是（1，+∞)，求a与r的值。5、已知函数f(x)=(-2ax+3)。（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f(-1)=-3，求函数f(x)的单调区间；（3）是否存在实数a，使f(x)在（-∞，2）上为增函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。6、已知函数f(x)=，h(x)=x，且h（18）=a+2，g(x)=-的定义域是〔0,1）。（1）求g(x)的解析式；（2）求g(x)的单调区间；（3）求g(x)的值域；7、已知函数f(x)=lg(m+4mx+3)。（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；（2）若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围。8、已知函数f(x)=（a＞0,且a≠1）。（1）求函数f(x)的定义域；（2）证明函数f(x)是奇函数；（3）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。『思考问题5』（1）【典例5】是对数函数的综合问题，解答对数函数的综合问题的基本方法是：①分辨清楚问题是由哪几个基本问题组合的；②对每一个基本问题进行逐一解答；③把各个基本问题综合起来得出问题的结果；（2）【典例5】中的5题，8题涉及到对数函数的值域问题，解答这类问题的基本方法是：①确定对数底数取值，直接运用对数函数的性质得出结果，②底数不确定时，必须分两种情况分别求解，再综合得出结果；（3）【典例5】中的5题，6题，8题，9题是复合函数问题，解答这类问题的基本方法是：①设出中间函数g(x)，在直角坐标系中作出函数g(x)的图像；②运用判断函数单调性的基本方法确定函数的单调区间；③利用复合函数单调性判断法则和基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组就可得出问题的结果；〔练习5〕解答下列问题：1、如果x＞0成立，则x的取值范围是（）Ax＞B＜x＜1Cx＜1D0＜x＜1函数f(x)=(+x-6)的单调递减区间是；3、已知函数f(x)=-x+5，x［2，4］，当x=时，f(x)有最大值；当x=时，f(x)有最小值；4、已知函数f(x)=（0＜a＜1）。（1）试判断f(x)的奇偶性；（2）解不等式f(x)3x。5、已知f(x)=(a-)(a＞1).（1）求f(x)的定义域，值域；（2）判断函数f(x)的单调性，并证明；（3）解不等式（-2）＞f(x)。【典例6】解答下列问题：1、若不等式-x＜0对x（0，）恒成立，则实数a的取值范围是（）A｛a|0＜a＜1｝B｛a|≤a＜1｝C｛a|a＞1｝D｛a|0＜a≤｝2、不等式＞恰有三个整数解，则a的取值范围为（）A〔，〕B〔，）C（1，〕D（1，〕3、若＜1，则实数a的取值范围是；4、已知函数f(x)=x，x＞0，则不等式f(x)＞1的解集为；，x≤0，5、解关于x的方程lg(+2)=lgx+lg3；6、解关于x的方程2lgx-lg(x-1)=lga；7、解方程（x+4）-=08、设a＞0,且a≠1，若2＜a，求实数a的取值范围；9、设a＞1，求不等式（x+1）≥0的解集；『思考问题6』（1）【典例6】是有关对数函数方程或不等式的问题，解答这类问题需要理解并掌握的是函数的性质，掌握解方程或不等式的基本方法；（2）解答的是函数方程问题的基本方法是：①运用对数函数的性质把原方程转化为熟知的普通方程；②求解普通方程；③结合对数的定义得出结果；（3）解答对数函数不等式问题的基本方法是：①运用对数函数的性质把原不等式转化为熟知的普通不等式；②求解普通不等式；③结合对数的定义得出结果；（4）如果问题中涉及到二次函数或指数函数的方程或不等式时，解答的基本方法是：①把原方程转化为对数函数与二次函数(或指数函数)的等式（或不等式）；②在同一直角坐标系中分别作出对数函数，二次函数（或指数函数）的图像；③根据图像求出结果。〔练习6〕解答下列问题：已知方程x+lgx=3的解是，方程x+=3的解是，则+=（）A6B3C2D12、若A={xZ|2＜8},B={xR||x|＞1}，则A（B）的元素个数为（）A0B1C2D33、方程lg-lg（x+2）=0的解集是；4、解关于x的方程（1-2）=2x+1；5、解不等式（1-）＞1；6、若函数y=（2x+1）在（-，0）上总有f(x)＞0，求实数a的取值范围。【典例7】解答下列问题：1、已知a=2，b=3，c=，则下列判断正确的是（）（2021全国高考新高考II）Ac<b<aBb<a<cCa<c<bDa<b<c2、（理）已知函数f(x)=，若a=f(ln2),b=f(-ln3),c=f(e),则a，b，c的大小关系为（）Ab>c>aBb>a>cCa>b>cDa>c>b（文）已知函数f(x)=-+2|x|+3，若a=f(ln2),b=f(-ln3),c=f(e),则a，b，c的大小关系为（）(2021成都市高三零诊)Ab>a>cBb>c>aCa>b>cDa>c>b3、已知实数a，b满足2>2>1，则（）（成都市2019级高三一诊）A1<a<2<bB1<a<b<2C1<b<a<2Da<1<b<24、在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭(除燃料外)的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+)，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s，若要使火箭的最大速度达到2km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（）（成都市2019级高三二诊）A2B+C2D+25、（理）若函数f(x)=+的零点为，则（-1）=（）AB1CD2（文）若函数f(x)=x-x-lnx-1的零点个数为（）（成都市2019级高三三珍）A0B1C2D36、设a=ln，b=，c=3，则a，b，c的大小关系为（）（成都市2020级高三零诊）Ab<a<cBa<b<cCa<c<bDc<b<a7、设a=0.1，b=，c=-ln0.9，则（）（2022全国高考新高考I卷）Aa<b<cBc<b<aCc<a<bDa<c<b8、若a=，b=2，c=lln2，则a，b，c的大小关系为（）（成都市高2021级2020—2021学年度上期期末调研考试）Aa<b<cBb<c<aCc<a<bDc<b<a9、求lg+-ln的值（成都市高2021级2020—2021学年度上期期末调研考试）10、计算210+0.25的值为（）（成都市高2020级2019—2020学年度上期期末调研考试）A5B3C2D011、设a=，b=0.5，c=cos3，则a，b，c的大小关系是（）（成都市高2020级2019—2020学年度上期期末调研考试）Aa>b>cBa>c>bCb>c>aDc>a>b『思考问题7』【典例7】是近几年考试试卷中与对数和对数函数相关的问题，归结起来对数和对数函数问题主要包括：①对数的运算；②对数函数概念及运用；③对数函数图像及运用；④对数函数性质及运用；⑤对数函数的综合问题；⑥对数方程或不等式的解法等几种类型；解答这类问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，分辨清楚问题属于哪一种类型；②运用该种类型问题的解答思路和方法实施解答；③得出问题的解答结果。〔练习7〕解答下列问题：设a=，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系是（）(2021成都市高三一诊)Aa＞b＞cBa＞c＞bCc＞a＞bDc＞b＞a计算+-3的值为（2021成都市高三三诊）3、已知函数f(x)=（a.-）是偶函数，则a=（2021全国高考新高考I）4、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量p（mg/L）与时间t(h)之间的关系为p=,如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（）（参考数据：ln20.69,ln31.10,ln51.61）（2021成都市高三二诊）A4hB6hC8hD10h5、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=f(x+2)，当x2时，函数f(x)=（x-1）-1，若关于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A（-2，0）（2，+）B（-2，0）（0，2）C（-e，0）（e，+）D（-e，0）（0，e）（文）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=f(x+2)，当x2时，函数f(x)=x，若关于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）（2020成都市高三一诊）A（-1，0）（0，1）B（-1，0）（1，+）C（-e，0）（0，e）D（-e，0）（e，+）6、a=，b=，c=0.4，则a，b，c的大小关系是（）（成都市高2019级2018—2019学年度上期期末调研考试）Aa<b<cBb<c<aCc<a<bDc<b<a7、已知函数f(x)=|lnx|，x>0，和g(x)=a（aR且为常数），有以下结论：①当a=4时，存-+mx，x0，在实数m，使得关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的实数根；②存在m[3，4]，使得关于x的方程f(x)=g(x)有三个不同的实数根；③当x>0时，若函数h(x)=(x)+bf(x)+c恰有三个不同的零点，，，则=1；④当m=-4时，关于x的方程f(x)=g(x)有四个不同的实数根，，，，且<<<，若函数f(x)在[，]上的最大值为ln4，则sin(3+3+5+4)=1，其中正确结论的个数是（）（成都市高2019级2018—2019学年度上期期末调研考试）A1个B2个C3个D4个8、计算：2lg5+lg+（成都市高2019级2018—2019学年度上期期末调研考试）对数(或对数函数）问题的类型与解法对数和对数函数是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必有一个对数和对数函数问题的5分小题。从题型上看是选择题或填空题，难度为中，低档。纵观各种考试试卷，归结起来对数和对数函数问题主要包括：①对数的运算；②对数函数概念及运用；③对数函数图像及运用；④对数函数性质及运用；⑤对数函数的综合问题；⑥对数方程或不等式的解法等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答对数和对数函数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。【典例1】解答下列问题：1、若a＞0，a1，x＞0，y＞0，x＞y，则下列式子中正确的个数是（）①x.y=（x+y）；②x-y=（x-y）；③=x÷y；④（xy）=x.y。A0B1C2D3【解析】【知识点】①对数定义与性质；②对数运算性质及运用。【解题思路】根据对数的性质，运用对数运算性质，结合问题条件对各等式的正确或错误进行判断就可得出选项。【详细解答】对①，x.y（x+y），①错误；对②，=x-y（x-y），②错误；对③，=x-yx÷y，③错误；对④，（xy）=x+yx.y，④错误，4个式子都是错误的，没有一个正确，A正确，选A。2、计算25.2.9的结果为（）A3B4C5D6【解析】【知识点】①对数定义与性质；②对数换底公式及运用。【解题思路】根据对数性质，运用对数换底公式，结合问题条件通过运算求出25.2.9的值就可得出选项。【详细解答】25.==，2==，9==，25.2.9==6，D正确，选D。3、22-+8的值为（）AB2C3D【解析】【知识点】①对数定义与性质；②对数运算性质及运用。【解题思路】根据对数的性质，运用对数运算性质，结合问题条件通过运算求出22-+8的值就可得出选项。【详细解答】=32-9=52-2，8=32，22-+8=22-52+2+32=2，B正确，选B。4、若lg2=a，lg3=b，则lg0.18=；【解析】【知识点】①对数定义与性质；②对数运算性质及运用。【解题思路】根据对数性质，运用对数运算性质，结合问题条件通过运算就可求出lg0.18的值。【详细解答】0.18==，lg2=a，lg3=b，lg0.18=lg=lg=lg2+lg9-lg100=lg2+2lg3-2=a+2b-2。5、已知2=m，3=n，则=；【解析】【知识点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③指数与对数互化的基本方法；④指数运算的法则和基本方法。【解题思路】根据指数和对数的性质，运用指数与对数互化的基本方法把已知的对数化为指数，利用指数运算法则和基本方法，通过运算就可求出的值。【详细解答】2=m，3=n，=2，=3，=.=.=3=43=12。6、计算：=；【解析】【知识点】①对数定义与性质；②对数运算性质及运用。【解题思路】根据对数的性质，运用对数运算性质，结合问题条件通过运算就可求出式子的值。【详细解答】===，18=3+6=3+1，==（2+3+1）=（6+1）=2=1。7、求下列各式的值：（1）；（2）lg。（3）计算2+lg5+；（4）计算；（5）已知3=a，7=b，求；，x≥4，（6）已知函数f(x)=f(x+1)，x＜4，求f(2+3)的值；【解析】【知识点】①对数定义与性质；②对数运算性质及运用；③换底公式及运用；④分段函数定义与性质；⑤求分段函数函数值的基本方法。【解题思路】根据对数和分段函数的性质，运用对数运算性质，换底公式和求分段函数函数值的基本方法，结合问题条件通过运算就可分别求出各小题的值。【详细解答】（1）====，==202=201=20；（2）=，lg=lg=lg10=1=；（3）=lg=lg2，2+lg5+=2+lg2.lg5+=lg2(2lg2+.lg5)+=lg2(lg2+.lg5)+=lg2.lg25+|lg2-1|=lg2+1-lg2=1；（4）==，==，=（2++）=4==22=221=4；（5）3===，2===，3=a，7=b，======；（6）2<3<4，1<3<2，3<2+3<4，4<3+3<5，f(2+3)=f(1+2+3)=f(3+3)======。8、利用对数的换底公式化简下列各式：（1）9.8.25.4；（2）b.a；（3）（5+5）（2+2）。【解析】【知识点】①对数定义与性质；②对数运算性质及运用；③换底公式及运用。【解题思路】根据对数的性质，运用对数运算性质和换底公式，结合问题条件通过运算就可分别化简各小题。【详细解答】（1）9==，8==，25==，4==，9.8.25.4==12；（2）b.=，a=，b.a==1；（3）5+5=+=+==，2+2=+=+==，（5+5）（2+2）==。『思考问题1』（1）【典例1】是与对数运算相关的问题，解答这类问题应该掌握对数运算的基本性质，对数的换底公式和对数恒等式；（2）运用对数的基本运算性质解答问题时应该注意：①对数运算性质成立的条件；②灵活运用公式，作为一个公式既要能够从左边用到右边，也要能够从右边用到左边；（3）对数的换底公式主要用来解决底数不同的对数运算问题，对数的恒等式通常用于指数和对数的混合式子的运算；（4）面对实际问题，到底是从左边用到右边还是从右边用到左边，必须依据问题给定的条件和需要解决的问题结合起来综合考虑。〔练习2〕解答下列各题：1、.=（）（答案：D）ABC2D42、已知2=a，=5，则用a，b表示为（）（答案：A）A(a+b+1)B（a+b）+1C(a+b+1)D+b+13、设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）（答案：B）Ab.b=aBb.a=bCbc=b.cD(b+c)=b+c4、若a=3，则+=；（答案：+=。）5、若4.8.m=16，则m等于；（答案m=9。）6、lg+lg的值是；（答案：、lg+lg的值是1。）7、利用对数的换底公式化简下列各式：（1）3.4.5.2；（2）（3+3）（2+2）；（3）c.a。（答案：（1）1；（2）；（3）1。）8、计算下列各式的值：（1）+lg50lg2；（2）（2+2）.(3+3)；（3）；（4）22-+8-125；（5）+12-42-1；（6）+lg2.lg50+lg25。（7）.（lg32-lg2）。（答案：（1）1；（2）；（3）；（4）-1；（5）-；（6）2；（7）1+5。）【典例2】解答下列问题：1、下列函数是对数函数的是（）Ay=2xBy=(2x)（a＞0,且a≠1）Cy=2x（a＞0,且a≠1）Dy=lnx【解析】【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的结构特征。【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数的结构特征，结合问题条件，对各选项进行判断就可得出选项。【详细解答】对A，y=2x=，不符合对数函数的结构特征，A错误；对B，y=（2x），不符合对数函数的结构特征，B错误；对C，y=2x=，不符合对数函数的结构特征，C错误；对D，y=lnx是以e为底的自然对数，D是对数函数，D正确，选D。2、函数y=的定义域是（）A（-，2）B（2，+）C（2，3）（3，+）D（2，4）（4，+）【解析】【知识点】①对数函数定义与性质；②求函数定义域的基本方法。【解题思路】根据对数函数的性质，运用求函数定义域的基本方法，结合问题条件，得到关于x的不等式组，求解不等式组求出函数y=的定义域就可得出选项。【详细解答】函数y=有意义，必有x-2>0①，且x-21②，联立①②解得：x>2，且x3，函数y=的定义域为（2，3）（3，+），C正确，选C。3、设f(x)=lg，则f()+f()的定义域为（）A（-4，0）（0，4）B（-4，-1）（1，4）C（-2，-1）（1，2）D（-4，-2）（2，4）【解析】【知识点】①对数函数定义与性质；②求函数定义域的基本方法；=3\*GB3③已知函数f(x)的定义域，求函数f（g(x)）定义域的基本方法。【解题思路】根据对数函数的性质，运用求函数定义域的基本方法，结合问题条件得到关于x的不等式组，求解不等式组求出函数f(x)=lg的定义域，利用已知函数f(x)的定义域，求函数f（g(x)）定义域的基本方法求出函数f()+f()的定义域就可得出选项。【详细解答】函数f(x)=lg有意义，必有>0①，且2-x0②，联立①②解得：-2<x<2，函数f(x)=lg的定义域为（-2，2），-2<<2③，且-2<<2④，联立③④解得：-4<x<-1或1<x<4，函数f()+f()的定义域为（-4，-1）（1，4），B正确，选B。4、已知对数函数f(x)的图像过点（8，-3），则f(2)=。【解析】【知识点】①对数函数定义与性质；②求函数解析式的基本方法；③已知函数解析式，求函数值的基本方法。【解题思路】根据对数函数的性质，运用求函数解析式的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，利用已知函数解析式，求函数值的基本方法就可求出f(2)的值。【详细解答】设对数函数f(x)=x（a＞0,且a≠1），对数函数f(x)的图像过点（8，-3），-3=8，a=，对数函数f(x)=x，f(2)=2====-=-。『思考问题2』（1）【典例2】是对数函数概念及运用的问题，解答这类问题需要理解对数函数的定义，注意对数函数的底数和真数的条件限制，在对数的定义中，底数a必须满足两个条件：①大于0，②不等于1；真数N必须满足大于0的条件限制；（2）【典例2】中2，3，两题是求对数函数定义域的问题，解答时需要理解函数定义域的定义，掌握求函数定义域的基本求法；（3）【典例2】中1，4两题可直接运用对数函数的定义求解，在理解对数函数的定义时一定要注意定义中函数解析式的结构特征。〔练习2〕解答下列各题：1、已知函数f(x)=的定义域为M，g(x)=ln(1+x)的定义域为N，则MN=（）A{x|x＞1}B{x|x＜1}C{x|-1＜x＜1}D（答案：C）2、若定义在（-1,0）内的函数f(x)=(x+1)＞0,则a的取值范围是（）（答案：A）A(0，)B〔0，〕C(,+∞)D(0,+∞)3、求下列函数的定义域：（1）y=(-2x-3)；（2）y=；（3）y=（1-x）；（答案：（1）（-，-1）（3，+）；（2）（-，0）（0，+）；（3）（-，1）。）y=；（5）y=（6）y=。（答案：（4）（-，）；（5）（0，1）（1，+）；（6）当a>1时，（-，2]；当0<a<1时，[2，3）。）【典例3】解答下列问题：1、函数y=(x+2)+1（a＞0,且a≠1）的图像过定点（）A（1，2）B（2，1）C（-2，1）D（-1，1）【解析】【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数图像及运用。【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数图像，结合问题条件求出函数y图像所过的定点就能得出选项。【详细解答】函数y=x（a＞0,且a≠1）的图像必过点（1，0），当x=-1，即x+2=-1+2=1时，函数y=(x+2)+1=0+1=1，函数y=(x+2)+1（a＞0,且a≠1）的图像必过点（-1，1），D正确，选D。2、函数y=lg(x+1)的图像大致是（）2y2y2y2y1111012x-1012x-1012x-1012xABCD【解析】【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用。【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数图像，结合问题条件可直接排除A，B，由函数y=lg(x+1)的图像是函数y=lgx的图像向左平移1个单位而得到，确定出函数y=lg(x+1)的大致图像就能得出选项。【详细解答】10>1，A，B都不正确，可以排除，函数y=lg(x+1)的图像是函数y=lgx的图像向左平移1个单位而得到，函数y=lg(x+1)的大致图像为C，C正确，选C。3、在同一坐标系中，函数y=x与y=x的图像之间的关系是（）A关于Y轴对称B关于X轴对称C关于原点对称D关于直线y=x对称【解析】【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用。【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数的图像，结合问题条件确定函数y=x与y=x的图像的对称关系就能得出选项。【详细解答】=，函数y=x与y=x的图像关于x轴对称，B正确，选B。y4、如图是对数函数y=x的图像，已知a的值为1DCBA，，，，则图像，，，相应01x的a值依次是（）A，，，B，，，C，，，D，，，【解析】【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用。【解题思路】如图，作直线y=1与图像，，，分别交于点A，B，C，D，根据对数函数的性质，运用对数函数的图像，确定出图像，，，相应的a的值，就能得出选项。【详细解答】如图，作直线y=1与图像，，，分别交于点A，B，C，D，由图知，图像，，，相应的a的大小关系为：图像的底数>的底数>的底数>的底数，图像相应的a=，相应的a=，相应的a=，相应的a=，A正确，选A。5、函数f(x)=的图像大致是（）2y2y2y2y1111012x012x-1012x-1012xABCD【解析】【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用。【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数的图像，结合问题条件求出函数f(x)的定义域为（-，0）（0，+），可排除A，B，由2>1得到函数f(x)在（0，+）上单调递增，从而得到函数f(x)大致图像就能得出选项。【详细解答】函数f(x)的定义域为（-，0）（0，+），图像A，B不正确，可以排除A，B，2>1，函数f(x)在（0，+）单调递增，函数f(x)大致图像是D，D正确，选D。y6、已知函数y=(x+c)（a，c为常数，其中a＞0,a≠1）的图像如图所示，则下列结论成立的是（）01xAa＞1，c＞1Ba＞1，0＜c＜1C0＜a＜1，c＞1D0＜a＜1，0＜c＜1【解析】【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用。【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数图像，结合问题条件可知0<a<1,可排除A，B，根据x=0时，函数y=(x+c)=y=c>0，得到0<c<1，就可得出选项。【详细解答】由图像可知0<a<1,A，B不正确，可以排除A，B，当x=0时，函数y=(x+c)=y=c>0，0<c<1，D正确，选D。7、当0＜x时，＜x，则实数a的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（，2）【解析】【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用；③指数函数定义与性质；④指数函数的图像及运用。【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数y=，函数y=x的图像，根据对数函数和指数函数的性质，运用对数函数河指数函数的图像，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组求出a的取值范围就可得出选项。【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数y=，函数y=x的图像，当0＜x时，＜x，0<a<1①,且>=2②，联立①②解得：<a<1，实数a的取值范围是（，1），B正确，选B。8、已知函数f(x)=|lgx|，0＜a＜b,且f(a)=f(b)，则a+2b的取值范围是（）A（2，+）B［2，+）C（3，+）D［3，+）【解析】【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用；③基本不等式及运用。【解题思路】作出函数f(x)=|lgx|的图像如图所示，根据对数函数的性质，运用对数函数的图像，结合问题条件可知0<a<1,b>1，从而得出ab=1，利用基本不等式求出a+2b的取值范围就可得出选项。【详细解答】作出函数f(x)=|lgx|的图像如图所示，0＜a＜b,且f(a)=f(b)，0<a<1,b>1，f(a)=-lga，f(b)=lgb,-lga=lgb,lga+lgb=lgab=0，ab=1，a=，>0，2b>0，a+2b=+2b22，B正确，选B。9、已知函数g(x)的图像沿x轴方向向左平移一个单位后，与函数f(x)=的图像关于直线y=x对称，且g(19)=a+2，则函数y=(0＜x≤1)的值域为；【解析】【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用；③指数函数定义与性质；④指数函数的图像及运用；⑤求函数解析式的基本方法；⑥求函数值域的基本方法。【解题思路】根据对数函数和指数函数的性质，运用对数函数河指数函数的图像，结合问题条件求出函数g(x)的解析式，从而求出a的值得到函数y=的解析式，利用求函数值域的基本方法就可求出函数y=当0＜x≤1的值域。【详细解答】函数g(x)的图像沿x轴方向向左平移一个单位后，与函数f(x)=的图像关于直线y=x对称，g(x+1)=x，g(x)=（x-1），g(19)=（19-1）=18=2+2=a+2，a=2，函数y===，0＜x≤1，1<≤2，当0＜x≤1时，函数y=的值域为（1，2]。10、函数f(x)=（x+3）-1（a＞0且a≠1），的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0,则+的最小值为。【解析】【知识点】①对数函数定义与性质；②对数函数的图像及运用；③基本不等式及运用。【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数的图像，结合问题条件求出点A的坐标，由点A在直线mx+ny+1=0上，得到关于m，n的等式，利用基本不等式就可求出+的最小值。【详细解答】函数f(x)=（x+3）-1（a＞0且a≠1），的图像恒过定点A，点A（-2，-1），点A在直线mx+ny+1=0上，mn＞0,-2m-n+1=0，2m+n=1，且m＞0,n＞0,+=（+）（2m+n）=2+++2=4++4+28，+的最小值为8。『思考问题3』（1）【典例3】是对数函数的图像及运用的问题，解答这类问题需要熟悉对数函数的图像，注意底数a的不同取值对对数函数图像的影响；（2）对数函数与指数函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称；解答相关问题时注意分辨底数a的取值，确定问题涉及对数函数（或指数函数）图像两种基本类型的哪一种，再根据相关基本类型的特征去解答问题。〔练习3〕解答下列问题：1、若2＜0，（a＞0,且a≠1），则函数f(x)=（x+1）的图像大致是（）（答案：B）yyyy22221111-1012x-1012x-1012x-1012xABCD2、函数f(x)=|lgx|，若a≠b,且f(a)=f(b)，则a+b的取值范围是（）（答案：C）A（1，+）B［1，+）C（2，+）D［2，+）3、已知f(x)=，g(x)=x，其中a＞0,且a≠1，若f(3).g(3)＜0，则f(x)，g(x)在同一直角坐标系内的图像可能是（）（答案：C）yyyy22221111-1012x-1012x-1012x-1012xA-x+6，x＞10,BCD4、已知函数f(x)=|lgx|，0＜x≤10，若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是（）（答案：C）A（1，10）B（5，6）C（10，12）yD（20，24）5、若函数f(x)=x（a＞0,且a≠1）的图像如图1----------|所示，则下列函数图像正确的是（）（答案：B）03xy3------|y=yy=yy=yy=(-x)2|2221|1----|1--|1-1012x-1012x-1012x-3|---012xABC|-1D【典例4】解答下列问题：1、若a=，b=，c=，则下列结论正确的是（）Ab＜a＜cBa＜b＜cCc＜b＜aDb＜c＜a【解析】【知识点】①对数函数的图像及运用；②对数函数性质及运用；③比较实数大小的基本方法。【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数的图像和比较实数大小的基本方法，结合问题确定出a，b，c的大小关系就可得出选项。【详细解答】c==6=，2<<3，1<c=<a=，0<b=<1，b＜c＜a,，D正确，选D。2、已知0＜＜，则a，b的关系是（）A0＜a＜b＜1B0＜b＜a＜1C1＜a＜bD1＜b＜a【解析】【知识点】①对数函数的图像及运用；②对数函数性质及运用；③比较实数大小的基本方法。【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数的图像和比较实数大小的基本方法，结合问题条件确定出a，b的大小关系就可得出选项。【详细解答】0＜＜，1<b<a，D正确，选D。3、设a、b、c均为正数，且=a，=b，=c，则（）Aa＜b＜cBc＜b＜aCc＜a＜bDb＜a＜c【解析】【知识点】①对数函数的图像及运用；②对数函数的性质及运用；③指数函数的图像及运用；④指数函数的性质及运用；⑤比较实数大小的基本方法。【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数y=，y=，y=x，y=x的图像，四个函数图像的交点分别为A，B，C，根据对数函数和指数函数的性质，运用对数函数和指数函数的图像，利用比较实数大小的基本方法，确定出a，b，c的大小关系就可得出选项。【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数y=，y=，y=x，y=x的图像，四个函数图像的交点分别为A，B，C，=a，=b，=c，点A，B，C的横坐标分别为a，b，c，由图知a<b<c，A正确，选A。4、函数y=x在［1,2］上的值域是（）ARB［0,+）C（-,1］D［0,1］【解析】【知识点】①对数函数的图像及运用；②对数函数性质及运用；③求函数值域的基本方法。【解题思路】根据对数函数的性质，运用对数函数的图像和求函数值域的基本方法，结合问题条件求出函数y=x在［1,2］上的值域就可得出选项。【详细解答】2>1，x［1,2］0≤x≤1，D正确，选D。5、设a=，b=，c=(x＞1)，则a，b，c的大小关系是（）Aa＜b＜cBb＜a＜cCc＜b＜aDb＜c＜a【解析】【知识点】①对数函数的图像及运用；②对数函数性质及运用；③指数函数的图像及运用；④指数函数性质及运用；⑤比较实数大小的基本方法。【解题思路】根据对数函数和指数函数的性质，运用对数函数和指数函数的图像，利用比较实数大小的基本方法，结合问题条件确定a，b，c的大小关系就可得出选项。【详细解答】1<a==<，0<b=<1，c=(x＞1)>(x＞1)=2，b＜a＜c，B正确，选B。6、已知函数f(x)与函数g(x)=互为反函数，则（）Af(x)=lgx(xR)Bf(x)=lgx(x＞0)Cf(x)=lnx(xR)Df(x)=lnx(x＞0)【解析】【知识点】①对数函数性质及运用；②指数函数性质及运用；③指数函数与对数函数的关系。【解题思路】根据对数函数和指数函数的性质，运用指数函数与对数函数互为反函数的关系，结合问题条件求出函数f(x)的解析式就可得出选项。【详细解答】函数f(x)与函数g(x)=互为反函数，函数f(x)=lnx(x＞0)，D正确，选D。7、若函数f(x)=（-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-，0）内单调递增，则a的取值范围是（）A［,1）B［,1）C（，+）D（1,）【解析】【知识点】①对数函数性质及运用；②复合函数定义与性质；③判断复合函数单调性的法则和基本方法；④导函数定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法。【解题思路】根据对数函数和复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的法则和基本方法，利用导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件，由函数f(x)在区间（-，0）内单调递增得到关于a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可得出选项。【详细解答】设g(x)=-ax，①当a>1时，=3-a，函数f(x)=（-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-，0）内单调递增，g(x)>0，0在区间（-，0）上恒成立，g(x)>0，且a3在区间（-，0）上恒成立，a0，与题设不符合；②当0<a<1时，函数f(x)=（-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-，0）内单调递增，g(x)>0，0在区间（-，0）上恒成立，g(x)>0，且a3在区间（-，0）上恒成立，a<1，综上所述，若函数f(x)=（-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-，0）内单调递增，则a的取值范围是［,1），B正确，选B。8、已知x，y为正实数，则（）A=+B=.C=+D=.【解析】【知识点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③指数的运算法则和基本方法；④对数的运算法则和基本方法。【解题思路】根据对数和指数的性质，运用指数与对数的运算法则和基本方法，结合问题条件对各选项式子的正确货错误进行判断就可得出选项。【详细解答】对A，=.+，A错误；对B，lg(x+y)lgx+lgy，=.，B错误；对C，=+，C错误；对D，==.，D正确，选D。9、如果函数f(x)=x，x1，那么f(x)的值域为；【解析】，x＜1，【知识点】①对数函数定义与性质；②指数函数定义与性质；③分段函数定义与性质；④求分段函数值域的基本方法。【解题思路】根据对数函数，指数函数和分段函数的性质，运用求分段函数值域的基本方法就可求出函数f(x)的值域。【详细解答】当x1时，函数f(x)=x的值域为（-，0]，当x＜1时，函数f(x)=的值域为（0，1），函数f(x)的值域（-，1）。10、已知函数f(x)=+x（a＞0且a≠1）在［1,2］上的最大值与最小值之和为2+6，则a的值为；【解析】【知识点】①对数函数性质及运用；②指数函数性质及运用；③函数最值定义与性质；④求函数最值的基本方法。【解题思路】根据对数函数和指数函数的性质，运用求函数最值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出实数a的值。【详细解答】①当a>1时，函数f(x)=+x（a＞0且a≠1）在［1,2］上单调递增，=f(2)=+2，=f(1)=a+1=a，+=+2+a=2+6，+a-6=0，a=2；②当0<a<1时，函数f(x)=+x（a＞0且a≠1）在［1,2］上单调递减，=f(1)=a+1=a，=f(2)=+2，+=+2+a=2+6，+a-6=0，a=2（0，1），综上所述，若函数f(x)=+x（a＞0且a≠1）在［1,2］上的最大值与最小值之和为2+6，则a的值为2。11、求函数f(x)=(2-5x+3)的单调区间；【解析】【知识点】①对数函数性质及运用；②复合函数定义与性质；③判断复合函数单调性的法则和基本方法。【解题思路】运用对数函数的性质，判断复合函数单调性的法则与基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)=(2-5x+3)的单调区间。【详细解答】设g(x)=2-5x+3，作出函数g(x)的图像如图所示，由图知函数f(x)的定义域为（-，-）（3，+），函数g(x)在（-，-）上单调递减，在（3，+）上单调递增，①当a>1时，函数f(g(x))在（-，-），（3，+）上单调递增，函数f(x)在（-，-）上单调递减，在（3，+）上单调递增；②当0<a<1时，函数f(