浙大控制考研-现代控制理论(浙大)第二章

状态空间分析探索现代控制理论的核心概念-状态空间分析。从系统的输入、输出和内部状态变量出发,深入理解系统的动态特性及其分析方法。掌握状态方程的建立、状态变量的求解,为进一步学习和应用现代控制理论奠定坚实基础。ＯabyＯＯＯＯＯＯＯＯＯ2.1状态空间表示状态变量状态变量是用来描述系统动态行为的一组最小独立变量集合。它们能够完整表征系统的内部状态。状态方程状态方程将系统的动态特性用一组一阶微分或差分方程表示，描述系统的输入、状态和输出之间的关系。输入-输出方程输入-输出方程描述系统的输入和输出之间的关系,可从状态方程推导得到。2.1.1状态变量状态变量是描述动态系统当前状态的一组最小变量集合。它们通常包括系统内部的物理量,如位置、速度、电压等。状态变量为系统的行为提供全面描述,可以推测系统的未来状态。合理选择状态变量是状态空间分析中的关键步骤,需要考虑系统的具体特点和研究目的。2.1.2状态方程状态方程是描述动态系统状态变化的微分方程组。它定义了系统的状态变量以及它们如何随输入而变化。状态方程可以用矩阵形式表达,捕捉系统的复杂动态行为。通过状态方程,可以分析系统的可控性、可观测性和稳定性等性质,为控制器设计提供基础。2.1.3输入-输出方程输入-输出方程描述了系统的输入信号与输出信号之间的数学关系。通过将状态方程与输出方程结合，可以得到系统的完整数学描述。输入-输出方程的形式可以是传递函数、脉冲响应或频率响应等，它们可以相互转换。状态空间表示的性质状态空间表示具有重要的数学性质,包括可控性、可观测性和稳定性。了解这些性质对于分析和设计控制系统至关重要。2.2.1可控性可控性是指系统能否通过合理的输入,在有限时间内从任意初始状态转移到任意终止状态。可控性是设计状态反馈控制器的前提条件,只有系统可控才能实现所需的动态特性。可控性与系统矩阵A和输入矩阵B有关,可通过Kalman判据进行检验。可观测性可观测性是表示系统输出与状态变量之间的关系。它反映了系统的状态能否通过输入和输出的观测来确定。可观测系统的状态变量可以通过有限的输入输出测量来唯一确定。2.2.3稳定性稳定性是控制系统非常重要的性质,它决定了系统能否保持在期望的状态下长期运行而不发生失控。稳定性分为内部稳定性和外部稳定性,内部稳定性确保系统本身的波动不会无限增大,外部稳定性确保系统对外界干扰的响应是有限的。通过分析系统特征方程的根的位置可以判断系统的稳定性,根在单位圆内的系统为稳定系统。状态反馈控制系统状态反馈控制系统是一种利用系统的状态变量进行反馈控制的方法。它通过测量系统的状态变量,并将其与预期的目标状态进行比较,从而生成控制量来驱动系统满足控制目标。这种方法可以有效地提高系统的控制性能,实现精确的动态控制。2.3.1状态反馈控制器设计状态反馈控制器旨在通过测量系统状态来确定控制输入其关键是合理选择状态反馈矩阵K，以确保闭环系统具有理想的动态特性常用的设计方法包括极点配置法和线性二次调节器，可以根据实际需求灵活选择2.3.2极点配置法极点配置法是一种强大的状态反馈控制器设计方法。通过合理地配置系统的特征根（极点），可以使系统达到期望的动态性能，如响应速度、稳定性等。这种方法需要先确定期望的闭环系统极点位置，再根据状态方程设计合适的状态反馈增益矩阵。2.3.3线性二次调节器线性二次调节器是一种先进的状态反馈控制方法,通过最小化性能指标函数来设计控制器。它充分利用状态变量信息,可以实现更好的控制效果。本节将介绍线性二次调节器的设计原理和实现步骤。定义性能指标函数,包含状态变量和控制量。求解Riccati方程,得到最优状态反馈增益矩阵。将最优反馈增益应用于闭环系统,实现状态反馈控制。观测器观测器是现代控制理论中的一个重要概念,它可以从系统的输入输出信号估计系统的状态变量,使得无需直接测量状态变量即可实现状态空间控制。观测器的设计需要考虑系统的可观测性,以确保状态变量能够被准确估计。2.4.1全阶观测器全阶观测器是能够完全重建系统的状态变量的观测器。其设计依赖于系统的可观测性，需构建一个和原系统具有相同动态特性的观测器。全阶观测器能够对实际系统的任意初始状态进行状态重构，是一种理想的状态估计器。2.4.2降阶观测器降阶观测器是一种简化的状态观测器,它利用部分状态变量来重建完整的状态向量。与全阶观测器相比,降阶观测器结构更简单,计算量更小,但观测误差也更大。它适用于对系统的某些状态变量不感兴趣或难以测量的情况。目标是设计一个低阶观测器,从部分可测量的系统输入输出重建完整状态可以根据系统结构有选择性地重建部分状态变量,降低观测器复杂度通过调整观测器极点位置来权衡观测误差与响应速度之间的平衡鲁棒性分析鲁棒性分析探讨控制系统对参数不确定性、外部干扰等因素的抗干扰能力。通过分析系统的灵敏度和H∞控制方法,可以设计出对各种扰动具有强抗性的控制系统。系统灵敏度系统的灵敏度分析研究了系统在外部条件发生微小变化时,系统性能的变化情况。评估系统的鲁棒性非常有重要,它可以帮助设计师预判并改善系统在复杂环境下的运行稳定性。系统灵敏度分析通常涉及参数敏感性分析、噪声抑制性能分析等,可以帮助设计师优化系统结构,提高系统鲁棒性。2.5.2H∞控制H∞控制是一种鲁棒控制方法,旨在设计出对系统参数扰动和外部干扰具有良好抑制能力的控制器。它可以通过最小化闭环系统的H∞范数来实现,从而保证系统在最坏情况下的性能指标。H∞控制器设计通常需要解决Riccati方程,具有较高的计算复杂度,但对系统鲁棒性有显著改善。离散时间状态空间模型离散时间系统的状态空间模型包括离散时间状态方程和离散时间输入-输出方程。了解离散时间状态空间模型的性质和建模方法对离散时间系统的分析和设计非常重要。2.6.1离散时间状态方程离散时间状态空间模型可使用差分方程表示。状态方程描述系统的状态如何从一个采样时刻变化到下一个采样时刻。输出方程则表示离散时间系统的输出与状态和输入之间的关系。2.6.2离散时间可控性和可观测性可控性是指系统在有限时间内能从任意初始状态转移到任意期望状态。可观测性是指系统的初始状态可以从输出信号中完全确定。对于离散时间状态空间模型来说，需要检查状态转移矩阵A和输出矩阵C的相关性来判断可控性和可观测性。2.6.3离散时间状态反馈控制离散时间状态空间模型是描述离散时间系统的一种方式,与连续时间模型相比更加适合数字控制系统的设计。在离散时间状态反馈控制中,控制器输出由当前系统状态变量的线性组合决定,可以通过极点配置法或最优控制等方法进行设计。离散时间状态反馈控制器可以有效地改善系统的动态特性,提高系统的稳定性和抗干扰能力,广泛应用于数字控制系统中。离散时间状态空间模型本节介绍离散时间状态空间模型的构建方法,包括离散时间状态方程、可控性和可观测性分析,以及离散时间状态反馈控制技术。这些离散时间模型为数字控制系统的设计和分析提供了重要的理论基础。2.7.1物理建模物理建模是一种基于系统的实际物理特性和行为来建立数学模型的方法。建模过程包括确定系统的组成部分、确定它们之间的关系、根据物理定律推导出状态方程等。物理建模可以深入理解系统的内部机理,得到符合实际的精确模型。模型的参数可以来源于系统的物理参数,有利于分析和控制系统的动态特性。试验数据拟合通过分析系统的输入-输出数据关系,建立系统的数学模型。根据系统的时域或频域响应特性,采用参数识别的方法,拟合出系统的状态空间模型。利用等数据分析工具,对试验数据进行统计分析和拟合,找出最佳的系统参数。2.7.3子空间识别算法子空间识别算法是一种强大的数据驱动建模方法,通过挖掘数据中的潜在结构,自动构建状态空间模型。这种算法无需复杂的物理建模,而是通过输入输出数据,采用矩阵分解等技术,高效地识别出系统的状态空间表达式。子空间方法具有良好的数值稳定性和算法效率,在实际工