第10讲 图形与坐标（10大考点）（解析版）

第10讲图形与坐标（10大考点）考点考点考向一．点的坐标（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．（2）平面直角坐标系的相关概念①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．（3）坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．二．坐标确定位置平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．三．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．四．两点间的距离公式两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．五．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．六．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．七．关于x轴、y轴对称的点的坐标（1）关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．（2）关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．八．坐标与图形变化-对称（1）关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）关于直线对称①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）九．坐标与图形变化-平移（1）平移变换与坐标变化①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）十．关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．十一．坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．考点考点精讲一．点的坐标（共7小题）1．（2021秋•钱塘区期末）已知点A（m﹣1，m+4）在y轴上，则点A的坐标是（）A．（3，0） B．（5，0） C．（0，3） D．（0，5）【分析】根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，进而得出点A的坐标．【解答】解：∵点A（m﹣1，m+4）在y轴上，∴1﹣m＝0，解得m＝1，∴点A的坐标是（0，5）．故选：D．【点评】本题考查了点的坐标，是基础题，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．2．（2021秋•湖州期末）在平面直角坐标系中，若点P（m+3，3﹣m）在y轴上，则m的值是﹣3．【分析】直接利用y轴上点的坐标特点（横坐标为零）即可得出答案．【解答】解：∵点P（m+3，3﹣m）在y轴上，∴m+3＝0，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握y轴上点的坐标特征是解题关键．3．（2022秋•下城区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在第二象限；点P到x轴的距离是2．【分析】直接利用点的坐标特点、横纵坐标的意义得出答案．【解答】解：∵点P（﹣3，2），横坐标为负数，纵坐标为正数，∴点P（﹣3，2）在第二象限；点P到x轴的距离是2．故答案为：二，2．【点评】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标到坐标轴的距离、坐标轴上点的坐标特点及各个限内点的坐标符号特点．4．（2022秋•下城区校级期中）点P（m+3，m+1）在y轴上，则P点坐标为（）A．（0，﹣2） B．（0，﹣4） C．（4，0） D．（2，0）【分析】根据y轴上的点横坐标为0可得m+3＝0，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在y轴上，∴m+3＝0，∴m＝﹣3，当m＝﹣3时，m+1＝﹣2，∴P点坐标为（0，﹣2），故选：A．【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．5．（2021秋•上城区期末）若点M（m，n）在x轴上，写出一组符合题意的m，n的值6，0（答案不唯一）．【分析】根据坐标轴上的点的坐标特征与在x轴的点的纵坐标的为0解答即可．【解答】解：点M（m，n）在x轴上，则m＝6，n＝0（答案不唯一）．故答案为：6，0（答案不唯一）．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．6．（2021秋•海曙区期末）已知点A（a﹣3，1﹣2a）在y轴上，那么a＝3．【分析】根据y轴上点的横坐标为0列式计算即可得解．【解答】解：∵点A（a﹣3，1﹣2a）在y轴上，∴a﹣3＝0，解得：a＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．7．（2022秋•下城区校级期中）已知点P（3a﹣15，2﹣a）．（1）若点P位于第四象限，它到x轴的距离是4，试求出a的值：（2）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标．【分析】（1）根据第四象限的点的纵坐标为负数以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值构建方程求解即可．（2）根据不等式组解决问题即可．【解答】解：（1）由点P（3a﹣15，2﹣a）位于第四象限，∴，解得a＞5，∵点P到x轴的距离是4，得|2﹣a|＝4，2﹣a＝4或2﹣a＝﹣4，解得a＝﹣2（不合题意，舍去）或6；（2）∵点P（3a﹣15，2﹣a）位于第三象限，∴，解得：2＜a＜5．因为点P的横、纵坐标都是整数，所以a＝3或4，当a＝3时，点P（﹣6，﹣1），当a＝4时，点P（﹣3，﹣2）．综上所述，点P的坐标为（﹣6，﹣1）或（﹣3，﹣2）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程或不等式组解决问题，属于中考常考题型．二．规律型：点的坐标（共1小题）8．（2021秋•柯桥区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P2022的坐标是（）A．（2022，1） B．（2022，2） C．（2022，﹣2） D．（2022，0）【分析】观察图象，结合第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的横坐标和纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．【解答】解：观察图象，动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；∵2022÷6＝337，∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，故选：D．【点评】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每6次运动组成一个循环是解题的关键．三．坐标确定位置（共3小题）9．（2022秋•下城区校级期中）点P（3，﹣4）位于平面直角坐标系中第四象限．【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．【解答】解：已知点P（3，﹣4），则点P位于平面直角坐标系中的第四象限，故答案为：四．【点评】本题考查了坐标确定位置，点的坐标，熟记各象限内点的坐标规律是解题关键．10．（2021秋•普陀区期末）如图是一个围棋棋盘（局部），把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白棋①的坐标是（﹣2，﹣1），白棋③的坐标是（﹣1，﹣3），则黑棋②的坐标是（1，﹣2）．【分析】根据已知两点位置，建立符合条件的坐标系，从而确定其它点的位置．【解答】解：由用（﹣2，﹣1）表示白棋①的位置，用（﹣1，﹣3）表示白棋③的位置知，y轴为从左向数的第四条竖直直线，且向上为正方向，x轴是从下往上数第五条水平直线，这两条直线交点为坐标原点．那么黑棋②的位置为（1，﹣2）．故答案为：（1，﹣2）．【点评】解题的关键是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向，或者直接利用坐标系中的移动法则右加左减，上加下减来确定坐标．11．（2021秋•柯桥区期末）定义：在平面直角坐标系中，把从点P出发沿横或纵方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（﹣1，1），Q（2，3），则P，Q的“实际距离”为5，即PS+SQ＝5或PT+TQ＝5．环保低碳的公共自行车，逐渐成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A（3，3），B（6，﹣2），C（0，﹣4），若点M表示公共自行车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标是（2，﹣1）．【分析】若设M（x，y），构建方程组即可解决问题．【解答】解：若设M（x，y），则由题目中对“实际距离”的定义可得方程组：|3﹣x|+|3﹣y|＝y+2+6﹣x＝x﹣0+y+4，解得，x＝2，y＝﹣1，则M（2，﹣1）故答案为：（2，﹣1）．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键．四．坐标与图形性质（共3小题）12．（2021秋•青田县期末）已知线段AB＝3，AB∥y轴，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（1，5）或（1，﹣1）．【分析】根据平行于y轴的点的横坐标相同可得点B的横坐标，再分点B在点A的上方与下方两种情况讨论求解．【解答】解：∵AB∥y轴，点A的坐标为（1，2），∴点B的横坐标为1，∵AB＝3，∴点B在点A的上方时，点B的纵坐标为5，点B的坐标为（1，5），点B在点A的下方时，点B的纵坐标为﹣1，点B的坐标为（1，﹣1），综上所述，点B的坐标为（1，5）或（1，﹣1）．故答案为：（1，5）或（1，﹣1）．【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于y轴的点的横坐标相同的性质，要注意分情况讨论，作出图形更形象直观．13．（2021秋•宁波期末）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．（1）点P在x轴上；（2）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴．【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；（2）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案．【解答】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8）在x轴上，∴2a+8＝0，∴a＝﹣4，∴点P（﹣6，0）；（2）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴，∴a﹣2＝1，解得：a＝3，故2a+8＝14，则P（1，14）．【点评】此题主要考查了坐标与图形性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及点在坐标轴上的点的性质．14．（2022秋•南湖区校级期中）解答下列各题：（1）已知点P（a﹣2，4a+8）在x轴上，求a的值；（2）已知两点A（﹣2，m），B（5，﹣3），若AB∥x轴，求点A的坐标．【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0进行求解即可；（2）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等，求出m的值，再求得A点坐标即可．【解答】解：（1）∵点P（a﹣2，4a+8）在x轴上，∴4a+8＝0，∴a＝﹣2，故a的值为﹣2；（2）∵A（﹣2，m），B（5，﹣3），AB∥x轴，∴m＝﹣3，∴点A的坐标为（﹣2，﹣3）．【点评】本题主要考查坐标与图形性质，熟练掌握平面直角坐标系上点的坐标特征是解答此题的关键．五．两点间的距离公式（共3小题）15．（2021秋•鄞州区校级月考）若A（﹣9，12），另一点P在x轴上，P到y轴的距离等于A到原点的距离，则P点坐标为（15，0）或（﹣15，0）．【分析】先根据勾股定理求出A到原点的距离，再根据x轴上点的特点是纵坐标为0解答．【解答】解：∵A（﹣9，12）到原点的距离为＝15，∵点A到原点的距离是15，∴点P的坐标是（15，0）或（﹣15，0）．【点评】本题考查x轴上点的特点及勾股定理的运用．16．（2020秋•永嘉县校级期末）已知直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（3，﹣1），则A、B两点间的距离等于2．【分析】根据两点间的距离公式d＝解答即可．【解答】解：∵直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（3，﹣1），∴A、B两点间的距离等于＝2，故答案为2．【点评】本题考查了两点间的距离公式，比较简单．掌握两点间的距离公式是解题的关键件．17．（2021秋•金东区校级月考）阅读下列一段文字，然后回答下列问题：已知平面内两点M（x1，y1）、N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：MN＝．例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），则这两点的距离PQ＝＝．特别地，如果两点M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN＝|x1﹣x2|或|y1﹣y2|．（1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算；（2）由于横坐标相同，所以A、B两点间的距离等于纵坐标差的绝对值；（3）先根据两点间的距离公式计算出AB、AC、BC，然后根据勾股定理的逆定理进行判断．【解答】解：（1）AB＝＝；（2）AB＝5﹣（﹣1）＝6；（3）△ABC为直角三角形．理由如下：∵AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形．【点评】本题考查两点间的距离公式：若平面内两点M（x1，y1）、N（x2，y2），则MN＝．六．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共5小题）18．（2021秋•湖州期末）已知点A的坐标为（﹣1，3），则点A关于x轴的对称点的坐标是（）A．（1，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（1，3）【分析】利用关于x轴的对称点的坐标特点可得答案．【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，3），∴点A关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，﹣3），故选：B．【点评】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．19．（2021秋•东阳市期末）已知点A（m+1，1）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n的值为﹣1．【分析】利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而求出即可．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．【解答】解：∵点A（m+1，1）与点B（2，n+1）关于x轴对称，∴m+1＝2，n+1＝﹣1，解得：m＝1，n＝﹣2，∴m+n＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，利用横纵坐标关系得出是解题关键．20．（2021秋•吴兴区期末）若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P'（﹣2，a），则a＝3．【分析】直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出a的值．【解答】解：点P（2，3）关于y轴的对称点是点P′（﹣2，a），则a＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点，正确掌握关于y轴对称点的性质是解题关键．21．（2022秋•椒江区校级月考）已知点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称，那么x+y的值为7．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得x、y的值，进而可得x+y的值．【解答】解：∵点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称，∴x＝3，y＝4，∴x+y＝7，故答案为：7．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．22．（2021秋•温州期末）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是（1，2）．【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：由点（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．七．坐标与图形变化-对称（共3小题）23．（2021秋•定海区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（﹣2，3），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（2，3）．【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．【解答】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，点A第二次关于x轴对称后在第四象限，点A第三次关于y轴对称后在第三象限，点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505余1，∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第一象限，坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．24．（2021秋•秀洲区校级月考）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；（2）写出点A′，B′，C′的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1），然后描点；（2）由（1）可得到三个对应点的坐标．【解答】解：（1）如图，（2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）．【点评】本题考查了关坐标与图形﹣对称：关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．25．（2020秋•永嘉县校级期末）在4×4的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是（0，1），（﹣1，﹣1）．（1）请图1中添加一个格点C，使得△ABC是轴对称图形，且对称轴经过点（0，﹣1）．（2）请图2中添加一个格点D，使得△ABD也是轴对称图形，且对称轴经过点（1，1）．【分析】（1）根据题意画出满足条件的点C即可．（2）根据题意画出满足条件的点C即可．【解答】解：（1）如图，点C即为所求．（2）如图，点D即为所求．【点评】本题考查坐标与图形的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．八．坐标与图形变化-平移（共4小题）26．（2021秋•瑞安市月考）在平面直角坐标系中，将点A（a，1﹣a）先向左平移3个单位得点A1，再将A1向上平移1个单位得点A2，若点A2落在第三象限，则a的取值范围是（）A．2＜a＜3 B．a＜3 C．a＞2 D．a＜2或a＞3【分析】根据点的平移规律可得A2（a﹣3，1﹣a+1），再根据第三象限内点的坐标符号可得．【解答】解：点A（a，1﹣a）先向左平移3个单位得点A1，再将A1向上平移1个单位得点A2（a﹣3，1﹣a+1），∵点A′位于第三象限，∴，解得：2＜a＜3，故选：A．【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．27．（2021秋•德清县期末）已知点A的坐标为（3，4），将其向右平移2个单位后的坐标为（5，4）．【分析】直接利用平移的变化规律求解即可．平移的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【解答】解：原来点的横坐标是3，纵坐标是4，向右平移2个单位得到新点的横坐标是3+2＝5，纵坐标不变．则新坐标为（5，4）．故答案填：（5，4）．【点评】本题主要考查了平移的变化规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．28．（2021秋•嘉兴期末）在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣2）向右平移2个单位到点B，则点B位于第四象限．【分析】根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，从而得出答案．【解答】解：点A（﹣1，﹣2）向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为（﹣1+2，﹣2），即（1，﹣2），所以点B位于第四象限，故答案为：四．【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握点的坐标变化规律．29．（2021秋•镇海区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣4，0），点B的坐标（﹣4，4），点A先向右平移5，再向下平移5得点C．（1）点C坐标为（1，﹣5）；（2）在y轴上找一点D，使S△ACD＝S△ABC；点D的坐标（0，0）或（0，﹣8）．【分析】（1）根据要求画出点C的位置即可．（2）过点B作AC的平行线，交y轴于点D，即可知点D坐标．【解答】解：（1）如图，C坐标为（1，﹣5）；故答案为：（1，﹣5）；（2）过点B作AC的平行线，交y轴于点D，则S△ACD＝S△ABC，∴D1（0，0）．∵A（﹣4，0），C（1，﹣5）∴直线AC：y＝﹣x﹣4，∴直线AC与y轴交点坐标为（0，﹣4），∴关于D1（0，0）．（0，﹣4）的对称点为D2（0，﹣8），故答案为：（0，0）或（0，﹣8）；【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．九．关于原点对称的点的坐标（共2小题）30．（2020秋•永嘉县校级期末）在平面直角坐标系中，点（3，﹣5）关于原点对称的点是（）A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5）【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：点（3，﹣5）关于原点对称的点是（﹣3，5），故选：B．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握：点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．31．（2021春•丰台区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．【分析】（1）利用关于原点对称和y轴对称的点的坐标特征写出点A1，A2的坐标，然后描点；（2）先计算出OA的长，再分类讨论：当OP＝OA或AP＝AO或PO＝PA时，利用直角坐标系分别写出对应的P点坐标．【解答】解：（1）A1（﹣2，2），A1（﹣2，﹣2），如图，（2）设P点坐标为（t，0），OA＝＝2，当OP＝OA时，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）；当AP＝AO时，P点坐标为（4，0），当PO＝PA时，P点坐标为（2，0），综上所述，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）或（2，0）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．也考查了等腰三角形的性质．一十．坐标与图形变化-旋转（共2小题）32．（2022•仙居县校级开学）如图所示，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（2，3），将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为A1；经过第二次翻滚，点A的对应点记为A2；……依次类推，经过第2022次翻滚，点A的对应点A2022的坐标为（）A．（5055，0） B．（5055，3） C．（5057，2） D．（5057，3）【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一循环，先求出2022÷4的商和余数，从而解答本题．【解答】解：如图所示：观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，2022÷4＝505…2，∵点A（2，3），长方形的周长为：2（2+3）＝10，∴经过505次翻滚后点A对应点A2022的坐标为（10×505+3+2，0），即（5055，0）．故选：A．【点评】本题考查探究点的坐标的问题，关键是找到点的变化规律．33．（2021秋•鄞州区期末）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3）．【分析】根据题意，结合图形，分情况讨论：①PE＝OE；②OP＝PE；③OP＝OE，依据OF的长即可得到点F的坐标．【解答】解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中有两段相等，分情况讨论：①当PE＝OE时，PE⊥x轴，则PF⊥y轴，则OF＝PE＝3，故F的坐标是（0，3）；②当OP＝PE时，∠OPE＝90°＝∠FPE，则F与O重合，即点F坐标为（0，0）；③当OP＝OE，点E在x轴正半轴上时，过P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，易得△PAE≌△PBF，∴BF＝AE＝OE﹣AO＝3﹣3，此时，OF＝3﹣（3﹣3）＝6﹣3，当点E在x轴负半轴上时，同理可得，BF＝AE＝OE+AO＝3+3，此时，OF＝3+（3+3）＝6+3，∴点F的坐标是：（0，6﹣3）或（0，6+3）．故答案为：（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3）．【点评】本题考查坐标与图形变化、等腰三角形的判定等知识的综合运用，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论．巩固巩固提升一、单选题1．（2020·浙江浙江·八年级期末）与点关于y轴对称的点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据关于y轴对称的点的坐标纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数求解即可．【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是，故选：B．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标变化规律，解题关键是明确关于y轴对称的点的坐标特点．2．（2020·浙江浙江·八年级期末）根据下列表述，能够确定一点位置的是（）A．东北方向 B．尚志中学报告厅第8排 C．永和西路 D．地图上东经20度北纬30度【答案】D【分析】根据在平面内，要有两个有序数据才能清楚地表示出一个点的位置，即可得答案．【详解】解：A、东北方向无法确定位置，故选项A不合题意；B、尚志中学报告厅第8排无法确定位置，故选项B不合题意；C、永和西路无法确定位置，故选项C不合题意；D、地图上东经20度北纬30度可以确定一点的位置，故选项D正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查坐标位置的确定，解题的关键是明确题意，确定一个位置需要两个条件，二者缺一不可．3．（2020·浙江杭州·八年级期末）在直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而求出即可．【详解】解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（-m，n），

∴点P（1，-2）关于y轴对称的点的坐标为（-1，-2）

故选：C．【点睛】本题考查了关于x轴对称的性质，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4．（2021·浙江浙江·八年级期末）下列数据不能确定物体位置的是（）A．人民路122号 B．东经，北纬C．王婷家在华阳，住8楼 D．北偏东，距离12千米【答案】C【分析】根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、人民路122号，物体的位置明确，故本选项不符合题意；B、东经，北纬，物体的位置明确，故本选项不符合题意；C、王婷家在华阳，住8楼，未表示哪一户，物体的位置不明确，故本选项符合题意；D、北偏东，距离12千米，物体的位置明确，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键．5．（2021·浙江衢江·八年级期末）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）在第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】根据平面直角坐标系中象限内点的特点判断即可；【详解】∵3＞0，，∴点P（3，﹣2）在第四象限；故选D．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系点所在的象限判断，准确分析判断是解题的关键．6．（2021·浙江莲都·八年级期末）在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得点的坐标是（）A．（﹣3，0） B．（1，0） C．（﹣3，﹣6） D．（1，﹣6）【答案】B【分析】根据平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得．【详解】解：平移后点A的坐标为（﹣1+2，﹣3+3），即A（1，0），故选：B．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．7．（2021·浙江浙江·八年级期中）若点关于轴对称点坐标为，则（）A．3 B． C．5 D．【答案】C【分析】利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数来求解．【详解】解：点A（m，n）关于x轴对称点的坐标（3，-5），∴n=5．故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，要掌握好平面直角坐标系的点的对称规律．8．（2021·浙江·杭州外国语学校八年级期中）在平面直角坐标系中，下列各点中到x轴的距离是4，且在第四象限的是（）A．（4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4）【答案】D【分析】设该点的纵坐标为，根据点到x轴的距离是4，可得，再由点在第四象限内，即可得到所求点的纵坐标，即可求解．【详解】解：设该点的纵坐标为，∵点到x轴的距离是4，∴，∵点在第四象限内，∴，即该点的纵坐标为．故选：D【点睛】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系内各个象限内点的坐标的特征．9．（2021·浙江浙江·八年级期末）已知点P在y轴的右侧，点P到x轴的距离为6，且它到y轴的距离是到x轴距离的一半，则P点的坐标是（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根据点P在y轴的右侧，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【详解】解：∵点P到x轴的距离为6，且它到y轴的距离是到x轴距离的一半，∴点P到y轴的距离是3，∵点P在y轴右侧，∴点P的横坐标为3，∵点P到x轴的距离为6，∴点P的纵坐标为±6，∴点P的坐标为（3，6）或（3，-6），故选：D．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．二、填空题10．（2021·浙江·乐清市芙蓉镇中学八年级月考）已知点在第四象限，点的坐标可以是______（只要写出一个符合条件的坐标即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根据点在第四象限内的坐标特征，即可求解【详解】解：∵点在第四象限，∴点的坐标可以是，故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键．11．（2021·浙江·乐清市芙蓉镇中学八年级月考）乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的______．【答案】北偏东27°的处【分析】由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处，即可求解．【详解】解：由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处，即雁荡山在乐成镇的北偏东27度的处．故答案为：北偏东27度的处．【点睛】本题主要考查了方向角和方位，熟练掌握方向角和方位的确定是解题的关键．12．（2021·浙江浙江·八年级期末）若点轴，且，则点坐标为________．【答案】（4，6）或（8，6）【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况讨论求解．【详解】解：∵A（6，6），AB∥x轴，∴点B的纵坐标为6，点B在点A的左边时，6-2=4，此时点B的坐标为（4，6），点B在点A的右边时，6+2=8，此时，点B的坐标为（8，6），综上所述，点B的坐标为（4，6）或（8，6），故答案为：（4，6）或（8，6）．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键，难点在于分情况讨论．13．（2021·浙江衢江·八年级期末）点A的坐标为（﹣1，2），点A到x轴的距离是___．【答案】2【分析】根据点A的坐标（-1，2）可以确定点A到x轴的距离为2．【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1，2），∴点A到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值即为2，故答案为2．【点睛】解决本题的关键是根据点的坐标确定点到坐标轴的距离．14．（2021·浙江浙江·八年级期中）把点先向上平移2个单位，再向右平移4个单位后的坐标为________．【答案】（8，7）【分析】让点P的横坐标加4，纵坐标加2即可得解．【详解】解：点先向上平移2个单位，再向右平移4个单位后的坐标为（8，7），故答案为：（8，7）．【点睛】本题考查图形的平移变换，用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．15．（2021·浙江·金华市外国语学校八年级期中）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为__________．【答案】【分析】根据A，两点的坐标分别为，，可以判断原点的位置，然后确定C点坐标即可．【详解】解：∵，两点的坐标分别为，，∴B点向右移动3位即为原点的位置，∴点C的坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标．16．（2021·浙江平阳·八年级期中）点P(a，-3)与点Q(1，b)关于x轴对称，则a+b=_________．【答案】4【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出、的值即可．【详解】解：点与关于轴对称，，，，故答案为：4．【点睛】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．17．（2020·浙江·萧山区高桥初级中学八年级月考）已知点，点关于y轴对称，则a－b＝____．【答案】-1【分析】关于y轴对称的坐标特征是：横坐标变为相反数，纵坐标不变，据此列出二元一次方程组，利用代入消元法解得a，b的值，继而解题．【详解】根据题意，，关于y轴对称，则，把②代入①得，解得，把代入②中，得，故答案为：-1．【点睛】本题考查关于y轴对称的点坐标特征，涉及用代入消元法解二元一次方程组等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．（2020·浙江浙江·八年级期末）已知平面直角坐标系内有一点，把点A向上平移5个单位得到点B，点C和点B关于y轴对称，点D和点A关于y轴对称，有一小虫从点A出发，沿着的路径爬行，那么当小虫的爬行路程为2021时，它在第________象限．【答案】一．【分析】根据题意可知点B的坐标，根据“平面直角坐标系中，关于y轴对称的两个点的纵坐标不变，横坐标互为相反数”可得点C和点D的坐标，由此，可计算出AB、BC、CD、DA的长，从而得到小虫爬行一周的长度，然后即可得出当小虫的爬行路程为2021时，小虫到达的位置，从而可确定它在第几象限．【详解】解：∵把点A向上平移5个单位得到点B，，∴点B的坐标为(1,4)，∵点C和点B关于y轴对称，点D和点A关于y轴对称，∴点C的坐标为(-1,4)，点D的坐标为(-1,-1)，∴AB=，BC=，CD=，DA=，∴AB+BC+CD+DA=5+2+5+2=14，∵有一小虫从点A出发，沿着的路径爬行，∴小虫爬行一周的路程为14，∵2021=14×144+5，∴当小虫的爬行路程为2021时，小虫爬行完144周，然后从点A出发，爬行5个单位长度刚好到达点B，而点B的坐标(1,4)在第一象限，∴当小虫的爬行路程为2021时，它在第一象限．故答案为一．【点睛】本题考查了点所在的象限，平移，点坐标规律特征，两点间的距离公式等知识点．熟记各个知识点是解题的关键．19．（2021·浙江浙江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，其坐标为，x轴上的一动点P从原点O出发，沿x轴正半轴方向运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰．当时，点B的坐标为________；当B的横坐标为a时，B的纵坐标是_________．【答案】（6，2）a-4【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，证明△PAO≌△BPC，得到AO=PC=4，BC=PO，再分别根据t值和点B的横坐标得到结果．【详解】解：过点B作BC⊥x轴于点C，∵△APB为等腰直角三角形，∴∠APO+∠BPC=180°-90°=90°，PA=PB，又∵∠PAO+∠APO=90°，∴∠PAO=∠BPC．又∠AOP=∠PCB=90°，∴△PAO≌△BPC（AAS），∵点A（0，4），∴AO=PC=4，BC=PO，当t=2时，OP=2，∴OC=OP+PC=2+4=6，∴B（6，2），当B的横坐标为a时，即OC=a，PO=OC-PC=a-4，∴BC=a-4，∴点B的纵坐标为a-4，故答案为：（6，2），a-4．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过特殊三角形的性质来进行坐标与线段的转化．20．（2020·浙江·绍兴市锡麟中学八年级月考）若点（a，－2）与点（－3，b）关于x轴对称，则a+b＝______．【答案】-1【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可先求a、b的值，再求a+b的值．【详解】∵点A（a，-2）与点B（-3，b）关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴a=-3，b=2，∴a+b=-3+2=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查平面直角坐标系内，关于x轴对称的点的特征，记住关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数是解答本题的关键．21．（2020·浙江金华·八年级月考）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若，，则P，Q的“实际距离”为5，即或．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为，，，若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为______．【答案】（0，﹣1）【分析】设M（x，y），根据题意列出方程组，然后求解即可解答．【详解】解：设M（x，y），∵M到A，B，C的“实际距离”相等，∴∣2﹣x∣+∣2﹣y∣=∣4﹣x∣+∣﹣2﹣y∣=∣x+2∣+∣y+4∣，解得：x=0，y=﹣1，∴M（0，﹣1），故答案为：（0，﹣1）．【点睛】本题考查坐标与图形，根据题意，利用数形结合思想列出方程组是解答的关键．三、解答题22．（2020·浙江浙江·八年级期末）已知点，把点K向右平移5个单位得到点．（1）写出点的坐标；（2）如果点K和关于y轴对称，求a的值．