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文档简介
15/15外接球与内切球问题解题技巧梳理外接球8大模型秒杀公式推导1.墙角模型使用范围:3组或3条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合(2)推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径秒杀公式:(4)图示过程秒杀公式:2.汉堡模型(1)使用范围:有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体(2)推导过程第一步:取底面的外心O1,,过外心做高的的平行且长度相等,在该线上中点为球心的位置第二步:根据勾股定理可得(3)秒杀公式:(4)图示过程3.斗笠模型(1)使用范围:正棱锥或顶点的投影在底面的外心上(2)推导过程第一步:取底面的外心O1,,连接顶点与外心,该线为空间几何体的高h第二步:在h上取一点作为球心O第三步:根据勾股定理(3)秒杀公式:(4)图示过程4.折叠模型使用范围:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠推导过程第一步:过两个平面取其外心H1、H2,分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O第二步:计算第三步:(3)秒杀技巧:(4)图示过程5.切瓜模型(1)使用范围:有两个平面互相垂直的棱锥(2)推导过程:第一步:分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N,过两个外心做两个垂面的垂线,两条垂线的交点即为球心O,取BC的中点为M,连接FM、MN、OF、ON第二步:(3)秒杀公式:(4)图示过程6.麻花模型(1)使用范围:对棱相等的三棱锥(2)推导过程:设3组对棱的长度分别为x、y、z,长方体的长宽高分别为a、b、c秒杀公式:图示过程7.矩形模型(1)使用范围:棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边(2)推导过程:根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得,斜边为球的直径(3)秒杀公式:(4)图示过程鳄鱼模型使用范围:适用所有的棱锥推导过程:(3)秒杀公式:(4)图示过程内切球的半径等体积法推导过程秒杀公式:图示过程技巧1外接球之墙角模型【例1】已知长方体中,,,与平面所成角的正弦值为,则该长方体的外接球的表面积为()A. B. C. D.【举一反三】1.棱长为的正方体的外接球的表面积为()A. B. C. D.2.球面上有四个点,若两两垂直,且,则该球的表面积为()A. B. C. D.技巧2外接球之汉堡模型【例2】已知四棱锥中,四边形是边长为2的正方形,且平面,则该四棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.【举一反三】1.各顶点都在一个球面上的正四棱柱(底面是正方形,侧棱垂直于底面)高为2,体积为8,则这个球的表面积是()A. B. C. D.2.如图,在三棱锥A﹣BCD中,BD⊥平面ADC,BD=1,AB=2,BC=3,AC=,则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为()A.4π B.3π C.2π D.4π3.在长方体中,,,点在正方形内,平面,则三棱锥的外接球表面积为()A. B. C. D.4.(2020·全国高三月考(文))三棱柱中,平面,,,,,则该三棱柱的外接球的体积为()A. B. C. D.技巧3外接球之斗笠模型【例3】正三棱锥中,,,则该棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.【举一反三】1.已知正三棱锥的侧棱长为,底面边长为6,则该正三棱锥外接球的表面积是________.2.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A. B. C. D.技巧4外接球之折叠模型【例4】在三棱锥A﹣BCD中,△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形,且二面角的平面角为120°,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.7π B.8π C. D.【举一反三】1.已知二面角的大小为120°,且,,.若点P、A、B、C都在同一个球面上,则该球的表面积的最小值为______.2.如图所示,三棱锥S一ABC中,△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形,二面角A﹣BC﹣S的大小为,若S,A,B,C四点都在球O的表面上,则球O的表面积为()A.π B.π C.π D.3π技巧5外接球之切瓜模型【例5】已知三棱锥中,,,,,面面,则此三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.【举一反三】1.已知三棱锥中,平面平面,且和都是边长为2的等边三角形,则该三棱锥的外接球表面积为()A. B. C. D.技巧6外接球之麻花模型【例6】在四面体中,若,,,则四面体的外接球的表面积为()A. B. C. D.技巧7外接球之矩形模型【例7】在四面体中,,,则四面体的外接球的表面积为()A. B. C. D.【举一反三】1.四面体中,,平面,,,,则该四面体外接球的表面积为()A. B. C. D.2.已知四面体满足:,,则四面体外接球的表面积为_______.技巧8内切球半径【例8】正四面体的外接球与内切球的表面积比为()A. B. C. D.不确定【举一反三】1.如图所示,球内切于正方体.如果该正方体的棱长为a,那么球的体积为()A. B. C. D.2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形,若该棱柱存在外接球与内切球,则其外接球与内切球表面积之比为()A.25︰1 B.1︰25 C.1︰5 D.5︰13.正三棱柱有一个半径为的内切球,则此棱柱的体积是().A. B. C. D.巩固练习1.直三棱柱的所有顶点都在同一球面上,且,,,则该球的表面积为()A. B. C. D.2.在三棱锥中,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.3.已知四棱锥中,平面,底面是边长为2的正方形,且,则该四棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.4.已知点P,A,B,C在同一个球的球表面上,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PB=,BC=,PC=,则该球的表面积为()A.6π B.8π C.12π D.16π5.四面体中,底面,,,则四面体的外接球表面积为()A. B. C. D.6.平行四边形中,,且,沿将四边形折起成平面平面,则三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.7.张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家.他的数学著作有《算罔论》,他曾经得出结论:圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点,,若线段的最小值为,利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为()A.30 B. C. D.368.已知直三棱柱的顶点都在球上,且,,,则此直三棱柱的外接球的表面积是()A. B. C. D.9.已知三棱柱(侧棱底面,底面是正三角形)内接于球O,与底面所成的角是45°.若正三棱柱的体积是,则球O的表面积是()A. B. C. D.10.在四棱锥中,,,,,,,则三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.11.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是()A.10 B.20 C.24 D.3212.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”.如图,三棱柱为一个“堑堵”,底面是以为斜边的直角三角形且,,点在棱上,且,当的面积取最小值时,三棱锥的外接球表面积为()A. B. C. D.13.已知正三棱柱的体积为54,,记三棱柱的外接球为球,则外接球的表面积是__________.14.在三棱锥中,侧棱底面且则该三棱锥的外接球的体积为__________.15.如图所示,在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为______.16.鳖臑(biēnào)出自《九章算术·商功》:“斜解立方,得两重堵.斜解壍堵,其一为阳马,一为鳖臑.”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称.如图,三棱锥是一个鳖臑,其中,,,且,过点B向AC引垂线,垂足为E,过E作CD的平行线,交AD于点F,连接BF.设三棱锥的外接球的表面积为,三棱锥的外接球的表面积为,则________.17.若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上,则该球的体积为______.18.在我国古代数学名著《九章算术》中,把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”,已知三棱柱是一个“堑堵”,其中,,,则这个“堑堵”的外接球的表面积为___.19.在长方体中,,,点在正方形内,平面,则三棱锥的外接球表面积为______.20.在四面体中,平面,,,,则该四面体的外接球的表面积为________.21.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知某方锥各棱长均为2,则其内切球的体积为______.22.已知在三棱锥中,,,,
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