中职平面向量

平面向量坐标表示和向量的内积1中职平面向量5/7/2024第一讲向量的分解ABCDFEHGe1e22中职平面向量5/7/2024共线向量定理向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件为存在唯一一个实数λ，使

.b＝λa一个平面内两个不共线向量e1,e2与该平面内任一向量a之间的关系是怎样的？3中职平面向量5/7/2024OCMNABae1e2ae1e2OC=OM+ON=λ1OA+λ2OB即a

=.λ1e1+λ2e24中职平面向量5/7/2024．一、平面向量基本定理

定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，_________一对实数λ1，λ2，使a＝____________.

其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组________．

平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量e1,e2的线性组合

不平行存在唯一基底λ1e1＋λ2e25中职平面向量5/7/2024ABCDFEHG1.如图：设

e1

,e2

是同一平面内的两个不共线的向量，，

，，是这一平面内的任一向量，你能用

e1

,e2

来表示以上四个向量吗？e1e26中职平面向量5/7/2024试用表示2.已知

ABCD的两条对角线相交于点O，设

解：ACBDO7中职平面向量5/7/20243.已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋4)a，则x＝_____，y＝_____.428中职平面向量5/7/2024第二讲平面向量的坐标表示1、代数字母表示：2、几何有向表示：（有向线段、作图）3、坐标表示：向量的表示9中职平面向量5/7/2024（1，0）（0，1）（0，0）

一、平面向量的坐标表示

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个

i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得

a＝

，则把有序数对

叫做向量a的坐标．记作

，此式叫做向量的坐标表示．

单位向量(x，y)xi＋yja＝(x，y)xyoija10中职平面向量5/7/2024例.如图，分别用基底

i

，j

表示向量

a、b、c、d，并求出它们的坐标.解：如图可知-4-3-2-11234AB12-2-1xy453abcdij11中职平面向量5/7/2024二、向量坐标与点的坐标：OB（x2,y2）A（x1,y1）向量的坐标等于向量的减去。始点坐标终点坐标在平面直角坐标系中，若点A（x1,y1）,点B（x2,y2）12中职平面向量5/7/2024

下列说法正确的有（）个

（1）向量的坐标即此向量终点的坐标

（2）位置不同的向量其坐标可能相同

（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标

（4）相等的向量坐标一定相同

A．1B．2C．3D．4B13中职平面向量5/7/2024(x1＋x2，y1＋y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)14中职平面向量5/7/20241．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a＋b等于(

)A．(5，7)B．(5，9)C．(3，7)D．(3，9)基础练习【解析】

2a＋b＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故选D.【答案】

D15中职平面向量5/7/202416中职平面向量5/7/202417中职平面向量5/7/2024答案：C18中职平面向量5/7/2024四．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔___________________.x1y2－x2y1＝019中职平面向量5/7/2024(2)

a＝(1,−1)，b＝(−2,2)；

(3)

a＝(2,1)，

b＝(−1,2)．例1判断下列各组向量是否共线：(1)

a＝(2,3)，

b＝(1,1.5)；

20中职平面向量5/7/2024例2已知点A（-2，-1），点B（0，4）和向量a=(1,y)并且求

a

的纵坐标y．解：由已知条件得因为所以解得：21中职平面向量5/7/2024例3已知点A（-2，-3），B（0，1），C(2,5)，求证：A，B，C

三点共线．证明：由已知条件得因为2x8-4x4=0所以又因为线段AB和线段AC有公共点A，所以A，B，C三点共线．xAOBCy22中职平面向量5/7/2024基础训练1.已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)且a∥b，则2a－b等于(

)A．(4，0) B．(0，4)C．(4，－8) D．(－4，8)C23中职平面向量5/7/20243.已知A,B,C三点共线,且A(3,－6),B(－5,2),若点C横坐标为6,则C点的纵坐标为()A．－13B．9C．－9D．13C24中职平面向量5/7/2024第三讲向量的内积a

·b

＝|a

||b

|cos

θ=x

1x

2＋y1y2

25中职平面向量5/7/2024非零向量∠AOB0°≤θ≤180°同向反向90°a⊥bcos＜a,b＞26中职平面向量5/7/2024|a

||b

|cosθ

a

·b

＝|a

||b

|cos

θ规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．（1）（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不是乘号，既不能省略，也不能写成a×b

，a×b

表示向量的另一种运算．27中职平面向量5/7/2024a·b＝0|a||b|－|a||b||a|228中职平面向量5/7/202429中职平面向量5/7/2024b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c30中职平面向量5/7/2024x

1x

2＋y1y2

31中职平面向量5/7/2024√√2.已知a＝（x，y），b＝(－y，x)(x，y不同时为零)，则a，b之间的关系（

）A.平行 B.不平行也不垂直

C.垂直

D.以上都不对√32中职平面向量5/7/20243.判断1)若a

=0，则对任一向量b

，有a

·

b=0．2)若a

≠0，则对任一非零向量b

,有a·b≠0．3)若a≠0，a

·

b

=0，则b=0.4)若a

·

b=0，则a,b中至少有一个为0．√×××33中职平面向量5/7/202434中职平面向量5/7/2024D35中职平面向量5/7/202436中职平面向量5/7/202437中职平面向量5/7/202438中职平面向量5/7/20246.已知a和b的夹角为60°，|a|＝10，|b|＝