中考数学复习第六章空间与图形6.3锐角三角函数试卷市赛课公开课一等奖省名师获奖课件

第六章图形与变换§6.3锐角三角函数中考数学

(河南专用)1/139A组-年河南中考题组五年中考1.(河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平

行杠及若干支架组成,运动员可依据自己身高和习惯在要求范围内调整高、低两杠间距

离.某兴趣小组依据高低杠器材一个截面图编制了以下数学问题,请你解答.如图所表示,底座上A,B两点间距离为90cm.低杠上点C到直线AB距离CE长为155cm,高

杠上点D到直线AB距离DF长为234cm,已知低杠支架AC与直线AB夹角∠CAE为82.4°,高杠支架BD与直线AB夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间水平距离CH长.(结果准确到1cm.参考数据:sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)2/139解析

在Rt△CAE中,AE=

=

≈

≈20.7.(3分)在Rt△DBF中,BF=

=

≈

=40.

(6分)∴EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151.∵四边形CEFH为矩形,∴CH=EF=151.即高、低杠间水平距离CH长约是151cm.

(9分)思绪分析依据Rt△CAE和Rt△DBF中边和角数值,用正切函数分别求得AE,BF长度,

得EF=AE+AB+BF,由矩形性质可知CH=EF,能够求出问题答案.方法总结解直角三角形应用问题,普通依据题意抽象出几何图形,结合所给线段或角,借

助边角关系、三角函数定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要依据条件结构直角三

角形,再解直角三角形,求出实际问题答案.3/1392.(河南,19,9分)如图所表示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指

令,马上前往救援遇险抛锚渔船C.此时,B船在A船正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南

偏东45°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向.已知A船航速为30海里/小时,B船航速为

25海里/小时,问C船最少要等候多长时间才能得到救援?

参考数据:sin53°≈

,cos53°≈

,tan53°≈

,

≈1.41

4/139解析过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D,则∠CDA=90°.

(1分)已知∠CAD=45°,设CD=x海里,则AD=CD=x海里.∴BD=AD-AB=(x-5)海里.

(3分)在Rt△BDC中,CD=BD·tan53°,即x=(x-5)·tan53°,∴x=

≈

=20.

(6分)∴BC=

=

≈20÷

=25海里.∴B船抵达C船处约需时间:25÷25=1(小时).

(7分)在Rt△ADC中,AC=

x≈1.41×20=28.2海里,∴A船抵达C船处约需时间:28.2÷30=0.94(小时).

(8分)而0.94<1,所以C船最少要等候0.94小时才能得到救援.

(9分)5/139解题技巧本题是解三角形两种经典问题中一个.以下介绍两种经典问题:(1)如图,当BC=a时,设AD=x,则CD=

,BD=

.∵CD+BD=a,∴

+

=a,∴x=

.

(2)如图,当BC=a时,设AD=x,则BD=

,CD=

,∵CD-BD=a,∴

-

=a,∴x=

.6/1393.(河南,19,9分)如图,小东在教学楼距地面9米高窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点仰

角为37°,旗杆底部B点俯角为45°.升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处.若国旗随国歌声

冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时抵达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒速度匀速上升?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

7/139解析过点C作CD⊥AB,垂足为D,则DB=9.

(1分)在Rt△CBD中,∠BCD=45°,∴CD=

=9.

(3分)在Rt△ACD中,∠ACD=37°,∴AD=CD·tan37°≈9×0.75=6.75.

(6分)∴AB=AD+DB=6.75+9=15.75.

(7分)(15.75-2.25)÷45=0.3(米/秒).∴国旗应以约0.3米/秒速度匀速上升.

(9分)思绪分析依据题意结构Rt△ACD,在Rt△ACD中求得AD长,从而求出AB长,利用公式v=

得解.8/1394.(河南,20,9分)如图所表示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC高度,他们在斜坡

上D处测得大树顶端B仰角是30°,朝大树方向下坡走6米抵达坡底A处,在A处测得大树顶端B

仰角是48°.若坡角∠FAE=30°,求大树高度.(结果保留整数.参考数据:sin48°≈0.74,cos48°

≈0.67,tan48°≈1.11,

≈1.73)

9/139解析延长BD交AE于点G,过点D作DH⊥AE于点H.由题意知,∠DAE=∠BGA=30°,DA=6,∴GD=DA=6.∴GH=AH=DA·cos30°=6×

=3

.∴GA=6

.

(2分)设BC=x米.在Rt△GBC中,GC=

=

=

x.

(4分)在Rt△ABC中,AC=

=

.

(6分)∵GC-AC=GA,∴

x-

=6

.

(8分)∴x≈13.即大树高度约为13米.

(9分)思绪分析延长BD交AE于G,结构Rt△GBC,依据坡角和仰角概念,得∠BGC=30°,∠BAC=48°,解Rt△GBC和Rt△ABC,由GC-AC=GA,得出BC值.解题关键结构直角三角形,设BC=x米,用x表示GC、AC是关键.10/1395.(河南,19,9分)在中俄“海上联合—”反潜演练中,我军舰A测得潜艇C俯角为30°,

位于军舰A正上方1000米反潜直升机B测得潜艇C俯角为68°.试依据以上数据求出潜艇C

离开海平面下潜深度.(结果保留整数.参考数据:sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5,

≈1.7)

11/139解析过点C作CD⊥AB,交BA延长线于点D,则AD即为潜艇C下潜深度,依据题意得∠ACD=30°,∠BCD=68°.设AD=x米,则BD=BA+AD=(1000+x)米.在Rt△ACD中,CD=

=

=

x米.

(4分)在Rt△BCD中,BD=CD·tan68°(米).∴1000+x=

x·tan68°.

(7分)∴x=

≈

≈308.∴潜艇C离开海平面下潜深度约为308米.

(9分)思绪分析依据题意作CD⊥AB,交BA延长线于D,结构Rt△ACD和Rt△BCD.设AD=x米,运

用正切函数表示CD、BD,列方程求解.解题关键了解俯角概念,解对应直角三角形,选适当三角函数是关键.12/139考点一锐角三角函数B组-年全国中考题组1.(云南,12,4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A正切值为

()A.3

B.

C.

D.

答案

A∵AC=1,BC=3,∠C=90°,∴tanA=

=3.13/1392.(天津,2,3分)sin60°值等于

()A.

B.

C.

D.

答案

C

sin60°=

.故选C.14/1393.(内蒙古包头,4,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜边AB是直角边BC3倍,则tanB值是

()A.

B.3C.

D.2

答案

D在Rt△ABC中,设BC=x(x>0),则AB=3x,∴AC=

=2

x.则tanB=

=2

.故选D.15/1394.(内蒙古包头,18,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,

连接AE,EF.若AB=2,AD=3,则cos∠AEF值是

.

16/139答案

解析连接AF.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°.∵点E是CD中点,AB=2,∴CE=1.∵FC=2BF,BC=3,∴BF=1,FC=2.易证△ABF≌△FCE,∴AF=EF,∠AFB=∠FEC,∵∠FEC+∠EFC=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°,∴∠AFE=90°.∴△AEF是等腰直角三角形,∴cos∠AEF=cos45°=

.17/1395.(福建福州,18,4分)如图,6个形状、大小完全相同菱形组成网格,菱形顶点称为格点.

已知菱形一个角(∠O)为60°,A,B,C都在格点上,则tan∠ABC值是

.

18/139答案

解析如图,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形边长为a,由题意得∠AEF=30°,∠BEF=60°,AE=

a,EB=2a,∴∠AEB=90°,∴tan∠ABC=

=

=

.

19/1391.(广西南宁,6,3分)如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架跨度BC=10米,∠B=36°,则中

柱AD(D为底边中点)长是

()

A.5sin36°米

B.5cos36°米C.5tan36°米

D.10tan36°米考点二解直角三角形答案

C∵tanB=

,∴AD=BD·tanB=5tan36°米.故选C.20/1392.(黑龙江哈尔滨,8,3分)如图,一艘轮船位于灯塔P北偏东60°方向,与灯塔P距离为30

海里A处.轮船沿正南方向航行一段时间后,抵达位于灯塔P南偏东30°方向上B处,则此

时轮船所在位置B处与灯塔P之间距离为

()

A.60海里

B.45海里C.20

海里

D.30

海里21/139答案

D如图,过点P作PC⊥AB于点C,在Rt△APC中,AP=30,∠A=60°,∴PC=PA·sin60°=15.在Rt△BPC中,∠B=30°,∴PB=2PC=30

,即轮船在B处时与灯塔P之间距离为30

海里.故选D.

22/1393.(四川绵阳,10,3分)如图,要在宽为22米九洲大道AB两边安装路灯,路灯灯臂CD长2

米,且与灯柱BC成120°角,路灯采取圆锥形灯罩,灯罩轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩轴线

DO经过公路路面中心线时照明效果最正确.此时,路灯灯柱BC高度应该设计为

()

A.(11-2

)米

B.(11

-2

)米C.(11-2

)米

D.(11

-4)米答案

D延长BC、OD交于点E,∵CD⊥OD,∠DCB=120°,∴∠E=30°,∵∠B=90°,OB=22×

=11米,∴EB=11

米,在Rt△DCE中,CE=2DC=4米.∴BC=EB-CE=(11

-4)米,故选D.23/1394.(山西,14,3分)如图,创新小组要测量公园内一棵树高度AB,其中一名小组组员站在距

离树10米点E处,测得树顶A仰角为54°.已知测角仪架高CE=1.5米,则这棵树高度为

米(结果保留一位小数.参考数据:sin54°=0.8090,cos54°=0.5878,tan54°=1.3764).

答案15.3解析由题意知BD=CE=1.5米,CD=BE=10米,在Rt△ADC中,由锐角三角函数可得AD=CDtan∠ACD=10tan54°=10×1.3764=13.764米,所以AB=AD+BD=13.764+1.5=15.264≈15.3米.24/1395.(浙江宁波,17,4分)为处理停车难问题,在如图一段长56米路段开辟停车位,每个车

位是长5米、宽2.2米矩形,矩形边与路边缘成45°角,那么这个路段最多能够划出

个这么停车位.(

≈1.4)

答案1725/139解析如图,BC=2.2×cos45°=2.2×

≈1.54米,

CE=5×sin45°=5×

≈3.5米,BE=BC+CE=5.04米,EF=2.2÷sin45°=2.2÷

≈3.14米,(56-5.04)÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17(个).故这个路段最多能够划出17个这么停车位.评析本题考查了解直角三角形应用,主要是三角函数及其运算,关键是把实际问题转化为

数学问题加以计算.26/1396.(湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在

斜坡下点C处测得楼顶B仰角为60°,在斜坡上D处测得楼顶B仰角为45°,其中点A,C,E

在同一直线上.(1)求坡底C点到大楼距离AC值;(2)求斜坡CD长度.

27/139解析(1)在Rt△ABC中,AB=60米,∠ACB=60°,∴AC=

=20

米.(2)过点D作DF⊥AB于点F,则四边形AEDF为矩形,∴AF=DE,DF=AE.

设CD=x米,在Rt△CDE中,DE=

x米,CE=

x米,在Rt△BDF中,∠BDF=45°,∴BF=DF=AB-AF=

米,∵DF=AE=AC+CE,∴20

+

x=60-

x,解得x=80

-120,即CD=(80

-120)米.28/1397.(江西,17,6分)如图1,研究发觉,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面“视线角”α约为20°,而当手指接触键盘时,肘部形成“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图,其中视线

AB水平,且与屏幕BC垂直.(1)若屏幕上下宽BC=20cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕最短距离AB长;(2)若肩膀到水平地面距离DG=100cm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在键盘上,其到地面

距离FH=72cm.请判断此时β是否符合科学要求100°.

参考数据:sin69°≈

,cos21°≈

,tan20°≈

,tan43°≈

,全部结果准确到个位

29/139解析(1)如图,∵AB⊥BC,∴∠B=90°.在Rt△ABC中,α=20°,AB=

≈20÷

=55(cm).

(3分)(2)如图,延长FE交DG于点I,∵DG⊥GH,FH⊥GH,EF∥GH,∴IE⊥DG,∴四边形GHFI是矩形,∴IG=FH,∴DI=DG-FH=100-72=28(cm).

(4分)在Rt△DEI中,sin∠DEI=

=

=

,∴∠DEI≈69°.

(5分)∴β=180°-69°=111°≠100°.∴此时β不符合科学要求100°.

(6分)30/1398.(山东青岛,18,6分)如图,AB是长为10m,倾斜角为37°自动扶梯,平台BD与大楼CE垂直,

且与扶梯AB长度相等,在B处测得大楼顶部C仰角为65°,求大楼CE高度(结果保留整数).

参考数据:sin37°≈

,tan37°≈

,sin65°≈

,tan65°≈

31/139解析过B作BF⊥AE于F,

在Rt△ABF中,sin37°=

,∴

≈

,∴BF≈6.∵∠BFE=∠BDE=∠DEF=90°,∴四边形BFED是矩形.∴BF=DE=6.在Rt△BCD中,tan65°=

,∴

≈

,∴CD≈

.∴CE=CD+DE=

+6≈27.答:楼高CE约为27米.32/139考点一锐角三角函数C组

教师专用题组1.(天津,2,3分)cos30°值等于

()A.

B.

C.1

D.

答案

B依据特殊角三角函数值可知,cos30°=

,故选B.33/1392.(甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130m,坡顶离水平地面距离为50m,那么这个斜坡

与水平地面夹角正切值等于

()

A.

B.

C.

D.

答案

C在直角三角形中,依据勾股定理可知水平直角边长为120m,故这个斜坡与水平地

面夹角正切值等于

=

,故选C.思绪分析先利用勾股定理求得第三边长,再利用正切定义求正切值.34/1393.(广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(4,3),那么cosα值是

()

A.

B.

C.

D.

35/139答案

D过点A作AB垂直x轴于B,则AB=3,OB=4.由勾股定理得OA=5.∴cosα=

=

.故选D.

36/1394.(天津,2,3分)cos45°值等于

()A.

B.

C.

D.

答案

B本题考查特殊角三角函数值.cos45°=

.37/1395.(内蒙古包头,11,3分)已知以下命题:①在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A>∠B,则sinA>sinB;②四条线段a,b,c,d中,若

=

,则ad=bc;③若a>b,则a(m2+1)>b(m2+1);④若|-x|=-x,则x≥0.其中原命题与逆命题均为真命题是

()A.①②③

B.①②④C.①③④

D.②③④答案

A由|-x|=-x,可知-x≥0,所以x≤0,所以命题④错误.命题①②③及其逆命题均正确,故选A.38/1396.(河北,9,3分)已知:岛P位于岛Q正西方,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西

45°方向上.符合条件示意图是

()

答案

D本题考查方向角简单识别,选D.39/1397.(广东广州,3,3分)如图,在边长为1小正方形组成网格中,△ABC三个顶点均在格

点上,则tanA=()

A.

B.

C.

D.

答案

D∵AB=3,BC=4,∠ABC=90°,∴tanA=

=

.故选D.40/1398.(黑龙江哈尔滨,22,7分)如图,方格纸中每个小正方形边长均为1,线段AB两个端点均

在小正方形顶点上.(1)在图中画出以AB为底、面积为12等腰△ABC,且点C在小正方形顶点上;(2)在图中画出平行四边形ABDE,且点D和点E均在小正方形顶点上,tan∠EAB=

.连接CD,请直接写出线段CD长.

41/139解析(1)正确画图.(2)正确画图.CD=

.

42/1391.(重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台剖面和教学楼剖面在同一平面上,旗杆与地面垂

直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部距离DE

=7米,升旗台坡面CD坡度i=1∶0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD水平距离BC=1米,

则旗杆AB高度约为

()(参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6)

A.12.6米

B.13.1米

C.14.7米

D.16.3米考点二解直角三角形43/139答案

B如图,延长AB交ED延长线于M,作CJ⊥DM于J.则四边形BMJC是矩形.

在Rt△CJD中,

=

=

,设CJ=4k,DJ=3k,k>0,已知CD=2,则有9k2+16k2=4,解得k=

,∴BM=CJ=

,DJ=

,又∵BC=MJ=1,∴EM=MJ+DJ+DE=

,在Rt△AEM中,tan∠AEM=

,∴tan58°=

≈1.6,解得AB≈13.1(米),故选B.44/139思绪分析延长AB交ED延长线于M,作CJ⊥DM于J,则四边形BMJC是矩形.在Rt△CJD中求

出CJ、DJ长,再依据tan∠AEM=

即可处理问题.方法总结解直角三角形实际应用问题关键是依据实际情况建立数学模型,正确画出图

形,找到直角三角形.依据题目中已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形数学问题,画

出平面几何图形,搞清已知条件中各量之间关系,若图中有直角三角形,依据边角关系进行计

算即可;若图中没有直角三角形,可经过添加辅助线结构直角三角形来处理.45/1392.(重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度综合实践活动.如图,在点A

处测得直立于地面大树顶端C仰角为36°.然后沿在同一剖面斜坡AB行走13米至坡顶B

处,然后沿水平方向行走6米至大树底端D处,斜面AB坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大树CD

高度约为(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)

()

A.8.1米

B.17.2米

C.19.7米

D.25.5米46/139答案

A作BF⊥AE于F,如图所表示,

易知四边形BDEF为矩形,则FE=BD=6米,DE=BF,∵斜面AB坡度i=1∶2.4,∴AF=2.4BF,设BF=x米,则AF=2.4x米,在Rt△ABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5(舍负),∴DE=BF=5米,AF=12米,∴AE=AF+FE=18米,在Rt△ACE中,CE=AE·tan36°≈18×0.73=13.14米,∴CD=CE-DE=13.14-5≈8.1米,故选A.47/1393.(湖南长沙,11,3分)如图,热气球探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处仰角为30°,看这栋楼底部C处俯角为60°,热气球A处与楼水平距离为120m,则这栋楼高度为

()

A.160

mB.120

m

C.300m

D.160

m48/139评析本题考查了解直角三角形,解答本题关键是结构直角三角形,利用锐角三角函数求解.答案

A设AD⊥BC于点D,由题意得AD=120m,在Rt△ABD中,∵∠BAD=30°,∴BD=AD·tan∠BAD=120·tan30°=120×

=40

(m).在Rt△ACD中,∵∠CAD=60°,∴CD=AD·tan∠CAD=120·tan60°=120×

=120

(m).∴BC=BD+CD=40

+120

=160

(m),故选A.49/1394.(山东聊城,10,3分)湖南路大桥于今年5月1日完工,为徒骇河景区增添了一道亮丽风景

线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥桥塔高度,在距桥塔AB底部50米C处,测得桥

塔顶部A仰角为41.5°(如图).已知测量仪器CD高度为1米,则桥塔AB高度约为(参考数据:

sin41.5°≈0.663,cos41.5°≈0.749,tan41.5°≈0.885)

()

A.34米

B.38米

C.45米

D.50米答案

C作DE⊥AB于E,则BE=CD=1米,DE=BC=50米,在Rt△ADE中,tan41.5°=

=

,所以AE=tan41.5°×50≈0.885×50=44.25(米),所以AB=AE+BE≈45米.故选C.50/1395.(辽宁沈阳,16,4分)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG,EF与AD

相交于点H,延长DA交GF于点K,若正方形ABCD边长为

,则AK=

.

51/139答案2

-3解析如图,延长BA交GF于点N.由旋转性质得∠GBN=∠EBC=30°,GB=AB=

.在Rt△GBN中,∵GB=

,∠GBN=30°,∴BN=

=

=2,∴AN=BN-AB=2-

.∵∠NAK=∠G=90°,∴∠KNA+∠NKA=90°,∠KNA+∠GBN=90°,∴∠NKA=∠GBN=30°(同角余角相等).在Rt△

KAN中,∵AN=2-

,∠NKA=30°,∴AK=

=

=2

-3.

评析本题考查正方形性质、旋转性质和解直角三角形相关知识,综合性较强.52/1396.(安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆

CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所表示.该小组在标杆

F处经过平面镜E恰好观察到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A仰角为39.3°,

平面镜E俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB高度约为多少米?(结果保留整数)(参考数据:tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)

53/139解析解法一:由题意知,∠AEB=∠FED=45°,∴∠AEF=90°.在Rt△AEF中,

=tan∠AFE=tan84.3°,在△ABE和△FDE中,∠ABE=∠FDE=90°,∠AEB=∠FED,∴△ABE∽△FDE,∴

=

=tan84.3°,∴AB=FDtan84.3°≈1.8×10.02=18.036≈18(米).答:旗杆AB高度约为18米.

(10分)解法二:作FG⊥AB于点G,54/139由题意知,△ABE和△FDE均为等腰直角三角形,∴AB=BE,DE=FD=1.8,∴FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.在Rt△AFG中,

=tan∠AFG=tan39.3°,即

=tan39.3°,解得AB=18.2≈18(米).答:旗杆AB高度约为18米.

(10分)思绪分析思绪一:由题意可确定∠AEF=90°,从而可推出△ABE∽△FDE,最终由相同三角形

中对应边比相等求解;思绪二:作FG⊥AB于点G,由题意可推出△ABE和△FDE均为等腰直

角三角形,在直角三角形AFG中由锐角三角函数求出AB.55/1397.(内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,一座山一段斜坡BD长度为600米,且这段斜坡坡度

i=1∶3(沿斜坡从B到D时,其升高高度与水平前进距离之比).已知在地面B处测得山顶A

仰角为33°,在斜坡D处测得山顶A仰角为45°.求山顶A到地面BC高度AC是多少米.(结果用

含非特殊角三角函数和根式表示即可)

56/139解析过点D作DH⊥BC,垂足为H.

∵斜坡BD坡度i=1∶3,∴DH∶BH=1∶3.在Rt△BDH中,BD=600,∴DH2+(3DH)2=6002,∴DH=60

,∴BH=180

.设AE=x米,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,∴DE=AE=x,又HC=DE,EC=DH,57/139∴HC=x,EC=60

,在Rt△ABC中,tan33°=

=

,∴x=

,∴AC=AE+EC=

+60

=

.答:山顶A到地面BC高度为

米.58/1398.(天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物水平距离BC为78m,从甲顶部A处测得乙

顶部D处俯角为48°,测得底部C处俯角为58°,求甲、乙建筑物高度AB和DC(结果取整数).参考数据:tan48°≈1.11,tan58°≈1.60.

59/139解析如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E.

则∠AED=∠BED=90°.由题意可知,BC=78,∠ADE=48°,∠ACB=58°,∠ABC=90°,∠DCB=90°.可得四边形BCDE为矩形.∴ED=BC=78,DC=EB.在Rt△ABC中,tan∠ACB=

,∴AB=BC·tan58°≈78×1.60≈125.在Rt△AED中,tan∠ADE=

,60/139∴AE=ED·tan48°.∴DC=EB=AB-AE=BC·tan58°-ED·tan48°≈78×1.60-78×1.11≈38.答:甲建筑物高度AB约为125m,乙建筑物高度DC约为38m.思绪分析过点D作DE⊥AB,结构直角△ADE和矩形BCDE,经过解直角△ABC和直角△ADE

可求出答案.61/1399.(云南昆明,19,7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”

竖直口号牌CD,她在A点测得口号牌顶端D处仰角为42°,测得隧道底端B处俯角为30°

(B,C,D在同一条直线上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=6.5m),求口号牌CD长(结果保留小数

点后一位).(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,

≈1.73)

62/139解析如图,过点A作AE⊥BD于点E,

(1分)

由题意得∠DAE=42°,∠EAB=30°,在Rt△ABE中,∠AEB=90°,AB=10,∠EAB=30°,∴BE=

AB=

×10=5.

(2分)∵cos∠EAB=

,∴AE=AB·cos30°=10×

=5

.

(4分)在Rt△DEA中,∠DEA=90°,∠DAE=42°,∵tan∠DAE=

,63/139∴DE=AE·tan42°≈5

×0.90=

,

(5分)∴CD=BE+ED-BC=5+

-6.5≈6.3(m).

(6分)答:口号牌CD长约为6.3m.

(7分)思绪分析作AE⊥BD于点E,结构直角△DEA和直角△ABE,解直角△DEA和直角△ABE,求得

BE,DE长,进而可求出CD长度.64/13910.(安徽,17,8分)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A→B→D路线可至山顶D处.假设AB

和BD都是直线段,且AB=BD=600m,α=75°,β=45°,求DE长.(参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,

≈1.41)

65/139解析在Rt△BDF中,由sinβ=

可得,DF=BD·sinβ=600×sin45°=600×

=300

≈423(m).

(3分)在Rt△ABC中,由cosα=

可得,BC=AB·cosα=600×cos75°≈600×0.26=156(m).

(6分)所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m).

(8分)66/13911.(陕西,20,7分)某市一湖湖心岛有一棵百年古树,当地人称它为“乡思柳”,不乘船不

易抵达,每年初春时节,人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想知道“聚贤亭”与

“乡思柳”之间大致距离.于是,有一天,他们俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离.测量方

案以下:如图,首先,小军站在“聚贤亭”A处,用测倾器测得“乡思柳”顶端M点仰角为23

°,此时测得小军眼睛距地面高度AB为1.7米;然后,小军在A处蹲下,用测倾器测得“乡思

柳”顶端M点仰角为24°,这时测得小军眼睛距地面高度AC为1米.请你利用以上所测得

数据,计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间距离AN长(结果准确到1米).(参考数据:sin23°

≈0.3907,cos23°≈0.9205,tan23°≈0.4245,sin24°≈0.4067,cos24°≈0.9135,tan24°≈0.4452)67/139解析作BD⊥MN,垂足为D,作CE⊥MN,垂足为E.设AN=x米,则BD=CE=x米.在Rt△MBD中,MD=x·tan23°米.在Rt△MCE中,ME=x·tan24°米.

(4分)

∵ME-MD=DE=BC,∴x·tan24°-x·tan23°=1.7-1.68/139∴x=

.∴x≈34.∴“聚贤亭”到“乡思柳”之间距离约为34米.

(7分)解后反思处理这类问题步骤以下:(1)依据题目中已知条件,将实际问题抽象为解直角三

角形数学问题,画出平面几何图形,搞清已知条件中各量之间关系;(2)若三角形是直角三

角形,依据边角关系进行计算,若三角形不是直角三角形,可经过添加辅助线结构直角三角形来

处理.解直角三角形实际应用问题关键是要依据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找准

三角形.69/13912.(天津,22,10分)如图,一艘海轮位于灯塔P北偏东64°方向,距离灯塔120海里A处,它

沿正南方向航行一段时间后,抵达位于灯塔P南偏东45°方向上B处,求BP和BA长(结果

取整数).参考数据:sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05,

取1.414.

70/139解析如图,过点P作PC⊥AB,垂足为C,由题意可知,∠A=64°,∠B=45°,PA=120,在Rt△APC中,sinA=

,cosA=

,∴PC=PA·sinA=120×sin64°,AC=PA·cosA=120×cos64°.在Rt△BPC中,sinB=

,tanB=

,

∴BP=

=

≈

≈153(海里),BC=

=

=PC=120×sin64°,∴BA=BC+AC=120×sin64°+120×cos64°≈120×0.90+120×0.44≈161(海里).答:BP长约为153海里,BA长约为161海里.71/139思绪分析在Rt△APC中,利用∠A三角函数求出PC和AC;在Rt△PCB中利用∠B三角函

数求出BC和PB即可处理问题.解题关键解此题关键是把实际问题转化为数学问题,依据实际情况建立数学模型,正确画

出图形,找准三角形.72/13913.(天津,22,10分)小明上学途中要经过A,B两地,因为A,B两地之间有一片草坪,所以需要

走路线AC,CB.如图,在△ABC中,AB=63m,∠A=45°,∠B=37°,求AC,CB长.(结果保留小数点后

一位)参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,

取1.414.

73/139解析如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△ACD中,tanA=

,sinA=

,∠A=45°,

∴AD=

=CD,AC=

=

CD.在Rt△BCD中,tanB=

,sinB=

,∠B=37°,∴BD=

,CB=

.∵AD+BD=AB,AB=63,∴CD+

=63.74/139解得CD=

≈

=27.00.∴AC=1.414×27.00=38.178≈38.2,CB≈

=45.0.答:AC长约等于38.2m,CB长约等于45.0m.75/13914.(安徽,19,10分)如图,河两岸l1与l2相互平行,A、B是l1上两点,C、D是l2上两点.某

人在点A处测得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB方向前进20米抵达点E(点E在线段AB上),测得

∠DEB=60°,求C、D两点间距离.76/139解析如图,过D作l1垂线,垂足为F.∵∠DEB=60°,∠DAB=30°,∴∠ADE=∠DEB-∠DAB=30°,∴△ADE为等腰三角形,∴DE=AE=20(米).

(3分)在Rt△DEF中,EF=DE·cos60°=20×

=10(米).

(6分)∵DF⊥AF,∴∠DFB=90°,∴AC∥DF,∵l1∥l2,∴CD∥AF,∴四边形ACDF为矩形.∴CD=AF=AE+EF=30(米).答:C、D两点间距离为30米.

(10分)77/13915.(吉林,21,7分)如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机

上看地平面指挥台B俯角α=43°.求飞机A与指挥台B距离(结果取整数).(参考数据:sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93)

解析

依据题意,得∠ACB=90°,∠ABC=43°,AC=1200m.(2分)在Rt△ABC中,∵sin∠ABC=

,

(4分)∴AB=

=

=

≈1765(m).答:飞机A与指挥台B距离约为1765m.

(7分)78/13916.(内蒙古呼和浩特,18,6分)在一次综合实践活动中,小明要测某地一座古塔AE高度.如

图,已知塔基顶端B(和A、E共线)与地面C处固定绳索长BC为80m.他先测得∠BCA=35°,

然后从C点沿AC方向走30m抵达D点,又测得塔顶E仰角为50°.求塔高AE.(人高度忽略不

计,结果用含非特殊角三角函数表示)

79/139解析已知∠BCA=35°,BC=80m,由题意得∠EDA=50°,DC=30m.在Rt△ABC中,cos35°=

,∴AC=BCcos35°=80cos35°(m).

(2分)在Rt△ADE中,tan50°=

,

(3分)∵AD=AC+DC=(80cos35°+30)m,

(4分)∴AE=[(80cos35°+30)tan50°]m.

(5分)答:塔高为[(80cos35°+30)tan50°]m.

(6分)80/13917.(陕西,20,7分)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展理念,在城

南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学几何知识测

量“望月阁”高度,来检验自己掌握知识和利用知识能力.他们经过观察发觉,观察点与

“望月阁”底部间距离不易测得,所以经过研究需要两次测量.于是他们首先用平面镜进行

测量,方法以下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之间直线BM上平放一平面镜,在镜面上做了

一个标识,这个标识在直线BM上对应位置为点C.镜子不动,小亮看着镜面上标识,他往返

走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中像与镜面上标识重合.这时,测得小亮

眼睛与地面距离ED=1.5米,CD=2米;然后,在阳光下,他们用测影长方法进行了第二次测

量,方法以下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,抵达“望月阁”影子末端F点处,此时,测

得小亮影长FH=2.5米,身高FG=1.65米.如图,已知:AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM.其中,测量时所使用平面镜厚度忽略不计.请你根

据题中提供相关信息,求出“望月阁”高AB长度.81/139解析由题意得∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°,∠ACB=∠ECD,∠AFB=∠GHF.∴△ABC∽△EDC,△ABF∽△GFH.

(3分)∴

=

,

=

.即

=

,

=

,

(5分)解之,得AB=99(米).答:“望月阁”高度为99米.

(7分)82/13918.(贵州遵义,21,8分)如图是某儿童乐园为儿童设计滑梯平面图.已知BC=4米,AB=6

米,中间平台宽度DE=1米,EN、DM、CB为三根垂直于AB支柱,垂足分别为N、M、B,∠EAB

=31°,DF⊥BC于F,∠CDF=45°.求DM和BC水平距离BM.(结果准确到0.1米,参考数据:sin31°

≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)

83/139解析设DF=x米,在Rt△DFC中,∠CDF=45°,∴CF=tan45°·DF=x米.

(2分)又∵CB=4米,∴BF=(4-x)米,

(3分)∵AB=6米,DE=1米,BM=DF=x米,∴AN=(5-x)米,EN=DM=BF=(4-x)米,

(4分)在Rt△ANE中,∠EAN=31°,EN=(4-x)米,AN=(5-x)米,∴tan31°=

=

≈0.60,

(6分)解得x=2.5.

(7分)答:DM和BC水平距离BM为2.5米.

(8分)84/13919.(江苏南京,23,8分)如图,轮船甲位于码头O正西方向A处,轮船乙位于码头O正北方

向C处,测得∠CAO=45°.轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们速

度分别为45km/h和36km/h.经过0.1h,轮船甲行驶至B处,轮船乙行驶至D处,测得∠DBO=58°.

此时B处距离码头O有多远?(参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)

85/139解析设B处距离码头Oxkm.在Rt△CAO中,∠CAO=45°,∵tan∠CAO=

,∴CO=AO·tan∠CAO=(45×0.1+x)·tan45°=4.5+x.

(2分)在Rt△DBO中,∠DBO=58°,∵tan∠DBO=

,∴DO=BO·tan∠DBO=x·tan58°.

(4分)∵DC=DO-CO,∴36×0.1=x·tan58°-(4.5+x).∴x=

≈

=13.5.所以,B处距离码头O大约13.5km.

(8分)86/13920.(甘肃兰州,24,8分)如图,在一面与地面垂直围墙同侧有一根高10米旗杆AB和一

根高度未知电线杆CD,它们都与地面垂直,为了测得电线杆高度,一个小组同学进行了

以下测量:某一时刻,在太阳光照射下,旗杆落在围墙上影子EF长度为2米,落在地面上影

子BF长为10米,而电线杆落在围墙上影子GH长度为3米,落在地面上影子DH长为5

米.依据这些数据,该小组同学计算出了电线杆高度.(1)该小组同学在这里利用是

投影相关知识进行计算;(2)试计算出电线杆高度,并写出计算过程.

87/139解析(1)平行.(2)如图,连接CG,AE,过点E作EM⊥AB于M,过点G作GN⊥CD于N,则MB=EF=2,ND=GH=3,ME=

BF=10,NG=DH=5.所以AM=10-2=8,由平行投影可知

=

,即

=

,解得CD=7,即电线杆高度为7米.

88/13921.(浙江绍兴,20,8分)如图,从地面上点A看一山坡上电线杆PQ,测得杆顶端点P仰

角是45°,向前走6m抵达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ度数;(2)求该电线杆PQ高度(结果准确到1m).备用数据:

≈1.7,

≈1.4.

89/139解析如图,延长PQ交直线AB于点C.(1)∠BPQ=90°-60°=30°.(2)设PQ=xm,则QB=QP=xm,在△BCQ中,BC=x·cos30°=

xm,QC=

xm,

在△ACP中,CA=CP,∴6+

x=

x+x,x=2

+6,∴PQ=2

+6≈9m,即该电线杆PQ高度约为9m.90/13922.(江苏镇江,24,6分)某海域有A、B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港

口60海里.有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,抵达位于B港口南偏东75°方向

C处.求该船与B港口之间距离即CB长(结果保留根号).

91/139解析∵∠BAE=30°,BF∥AE,∴∠ABF=30°.

(1分)∵∠FBC=75°,∴∠ABC=45°.

(2分)∵∠CAE=45°,∴∠BAC=75°.

(3分)∴∠C=60°.过点A作AD⊥BC,垂足为D,

(4分)

在Rt△ADB中,∠ABD=45°,AB=60海里,则BD=AD=30

海里.在Rt△ADC中,∠C=60°,AD=30

海里,则CD=10

海里.∴BC=(30

+10

)海里.

(6分)92/13923.(上海,22,10分)如图,MN表示一段笔直高架道路,线段AB表示高架道路旁一排居民

楼.已知点A到MN距离为15米,BA延长线与MN相交于点D,且∠BDN=30°.假设汽车在高架

道路上行驶时,周围39米以内会受到噪音影响.(1)过点A作MN垂线,垂足为点H.假如汽车沿着从M到N方向在MN上行驶,当汽车抵达点P

处时,噪音开始影响这一排居民楼,那么此时汽车与点H距离为多少米?(2)降低噪音一个方法是在高架道路旁安装隔音板.当汽车行驶到点Q时,它与这一排居民楼

距离QC为39米,那么对于这一排居民楼,高架道路旁安装隔音板最少需要多少米长?(准确

到1米)(参考数据:

≈1.7)

93/139解析(1)连接AP.由题意,知AH⊥MN,AH=15,AP=39.在Rt△APH中,由勾股定理得PH=36.答:此时汽车与点H距离为36米.(2)由题意可知,PQ段高架道路旁需要安装隔音板,QC⊥AB,∠QDC=30°,QC=39.在Rt△DCQ中,DQ=2QC=78.在Rt△ADH中,DH=

=15

.∴PQ=PH-DH+DQ=36-15

+78≈114-15×1.7=88.5≈89.答:高架道路旁安装隔音板最少需要89米长.94/13924.(山西,21,7分)如图,点A,B,C表示某旅游景区三个缆车站位置,线段AB,BC表示连接缆

车站钢缆,已知A,B,C三点在同一铅直平面内,它们海拔AA',BB',CC'分别为110米,310米,710

米,钢缆AB坡度i1=1∶2,钢缆BC坡度i2=1∶1,景区因改造缆车线路,需要从A到C直线架设

一条钢缆,那么钢缆AC长度是多少米?(注:坡度i是指坡面铅直高度与水平宽度比)

95/139解析如图,过点A作AE⊥CC'于点E,交BB'于点F,过点B作BD⊥CC'于点D.

(1分)

则△AFB,△BDC和△AEC都是直角三角形,四边形AA'B'F,BB'C'D和BFED都是矩形.

(2分)∴BF=BB'-FB'=BB'-AA'=310-110=200米,CD=CC'-DC'=CC'-BB'=710-310=400米.

(3分)∵i1=1∶2,i2=1∶1,∴AF=2BF=400米,BD=CD=400米.又∵FE=BD=400米,DE=BF=200米,∴AE=AF+FE=800米,CE=CD+DE=600米.

(5分)∴在Rt△AEC中,AC=

=

=1000.(6分)答:钢缆AC长度为1000米.

(7分)96/13925.(新疆乌鲁木齐,20,10分)如图,建筑物AB高为6m,在其正东方向有一个通信塔CD,在

它们之间地面点M(B,M,D三点在一条直线上)处测得建筑物顶端A、塔顶C仰角分别为37°

和60°,在A处测得塔顶C仰角为30°,求通信塔CD高度.(准确到0.01m)

97/139解析过点A作AE⊥CD于E,由题意,易知四边形ABDE是矩形,∴AB=DE=6m,AE=BD.设CE=xm,在Rt△AEC中,∠AEC=90°,∠CAE=30°,∴AE=

=

xm.在Rt△CDM中,CD=CE+ED=(x+6)m,∴DM=

=

m.在Rt△ABM中,BM=

=

m.由AE=BD=BM+DM,得

x=

+

(x+6),解得x=

+3,∴CD=

+9≈15.90m.答:通信塔CD高度约为15.90m.98/139考点一锐角三角函数1.(唐山一模,9)如图,△ABC顶点都在正方形网格格点上,则cosC值为

()

A.

B.

C.

D.

三年模拟A组

—年模拟·基础题组99/139答案

B如图,在三角形ADC中,AD=2,CD=4,∴AC=

=

=2

,∴cosC=

=

=

.故选B.

100/1392.(西华一模,12)若关于x方程x2-

x+sinα=0有两个相等实数根,则锐角α度数为

.答案30°解析∵x方程x2-

x+sinα=0有两个相等实数根,∴Δ=(-

)2-4×1×sinα=0,解得sinα=

,∴锐角α=30°.101/1391.(濮阳一模,19)如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物高,BA⊥AD,CD⊥DA,垂足

分别为A、D.从D点测得B点仰角α为60°,从C点测得B点仰角β为30°,甲建筑物高AB=30米.(1)求甲、乙两建筑物之间距离AD;(2)求乙建筑物高CD.

考点二解直角三角形102/139解析(1)在Rt△ABD中,AD=

=

=10

(米).(2)作CE⊥AB于点E,如图所表示,在Rt△BCE中,CE=AD=10

米,BE=CE·tanβ=10

×

=10(米),则CD=AE=AB-BE=30-10=20(米).答:乙建筑物高度CD为20米.

103/1392.(郑州二模,19)黄河,既是一条源远流长、波澜壮阔自然河,又是一条孕育中华民族灿

烂文明母亲河.数学课外实践活动中,小林和同学们在黄河南岸小路上A,B两点处,用测角

仪分别对北岸观景亭D进行测量.如图,测得∠DAC=45°,∠DBC=65°.若AB=200米,求观景亭

D到小路AC距离.(结果准确到1米,参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)

104/139解析如图,过点D作DE⊥AC,垂足为E,设BE=x,

在Rt△DEB中,tan∠DBE=

,∵∠DBC=65°,∴DE=xtan65°.又∵∠DAC=45°,∴AE=DE,∴200+x=xtan65°,解得x≈175.4,∴DE=200+x≈375(米).答:观景亭D到小路AC距离约为375米.105/1393.(安阳一模,19)某校数学兴趣小组想测量一幢大楼AB高度.如图,大楼前有一段斜坡

BC,已知BC长为12米,它坡度(注:坡度i是指坡面铅直高度与水平宽度比)i=1∶

.在离C点40米D处,用测角仪测得大楼顶端A仰角为37°,测角仪DE高为1.5米,求大楼AB

高度约为多少米.(结果准确到0.1米,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,

≈1.73)

106/139解析如图,延长AB交直线DC于点F,过点E作EH⊥AF,垂足为点H.

在Rt△BCF中,

=i=1∶

,设BF=k米,则CF=

k米,BC=2k米.又∵BC=12米,∴k=6.∴BF=6米,CF=6

米.∵DF=DC+CF,∴EH=DF=(40+6

)米.在Rt△AEH中,tan∠AEH=

,∴AH=tan37°×(40+6

)≈37.785(米).107/139∵BH=BF-FH,∴BH=6-1.5=4.5(米).∴AB=AH-BH≈33.3(米).答:大楼AB高度约为33.3米.108/1394.(南阳一模,19)11月1日至6日,第十一届中国航展在广东珠海举行.如图,在此次航

展上,一架飞机飞行到A点时,测得观礼台C在飞机下前方,俯角为65°,此时飞机飞行路线改为沿

坡角30°方向朝斜上方直线飞行,飞机飞行6km抵达B处,此时飞机飞行高度为5km,另一个观

礼台D恰好在飞机正下方,求两个观礼台C与D之间距离.(参考数据:tan65°≈2.144,sin65°

≈0.906,cos65°≈0.422,

≈1.732,结果准确到0.1km)

109/139解析如图,过A作AE⊥BD于点E,过C作CF⊥AE于点F.

由题意可知,∠BDC=90°,∠BAE=30°,∠EAC=65°,AB=6km,BD=5km,∴四边形FCDE为矩形,∴

EF=CD,CF=ED.在Rt△BAE中,∠BAE=30°,AB=6km,sin∠BAE=

,cos∠BAE=

,∴BE=3km,AE=3

km.∴ED=BD-BE=2km.∴CF=ED=2km.在Rt△ACF中,∠CAF=65°,CF=2km,tan∠CAF=

,110/139∴AF=

km.∴EF=AE-AF=3

-

≈4.3km.∴CD=E