高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.1曲线与方程省公开课一等奖新名师获奖课件

§4曲线与方程

4．1曲线与方程

第三章圆锥曲线与方程1/47学习导航

第一章惯用逻辑用语学习目标1.了解曲线和方程关系．2．了解曲线与方程概念．(重点)3．掌握用直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法等求方程方法和步骤．(难点)学法指导1.经过直线、圆和圆锥曲线与其方程关系，了解曲线上点与其方程实数解一一对应关系．2．经过直接法等求曲线方程，体会直接法等在求曲线方程中应用.2/471.曲线与方程概念普通地，在平面直角坐标系中，假如某曲线C(看作满足某种条件点集合或轨迹)上点与一个二元方程实数解建立了以下关系：(1)曲线上点坐标都是________________；(2)以这个方程解为坐标点都在____________，那么,这条曲线叫作方程曲线，这个方程叫作曲线方程．这个方程解曲线上3/472.求曲线方程(直接法)普通步骤(1)建立适当坐标系，用__________表示曲线上任意一点M坐标；(2)写出符合条件点M集合____________；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程____________；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后方程解为坐标点都在曲线上.简记为：建系、列式、代换、化简、证实．普通地，步骤(5)能够省略不写，如有特殊情况，能够适当说明，另外也能够省略(2)，直接列出曲线方程．(x，y)D＝{M|p(M)}f(x，y)＝04/473．求曲线方程方法(1)按动点特点求轨迹方程普通有以下几个方法：①条件直译法(直接法)基本思想：依据形成轨迹几何条件和图形性质，直接写出所求动点坐标满足关系，即题设中有显著等量关系，或可用平面几何知识推出等量关系，可用直译法．②定义法定义法求轨迹有两种类型，一是若能确定动点轨迹满足某已知曲线定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)，则可依据曲线定义直接写出轨迹方程；二是动点轨迹与圆锥曲线相关，则可利用圆锥曲线定义求出动点轨迹方程．5/47③相关点代入法基本思想：假如所求轨迹中动点，伴随另一动点运动而运动,而另一动点又在某一条已知曲线C：f(x，y)＝0上运动．这类问题常设法利用轨迹中动点坐标(x，y)，表示已知曲线上动点坐标(x1，y1)，再将它代入已知曲线C方程f(x，y)＝0即可．④参数法基本思想：有时极难直接找出动点坐标满足关系，可借助中间变量——参数，建立动点坐标x、y之间联络，然后消去参数得到曲线方程．使用参数法求轨迹方程关键是选择恰当参数和怎样消去参数．解题普通步骤为：引入参数——建立参数方程——消去参数,得到一个等价普通方程.6/47注意：设置参数标准：突出主要矛盾，抓住问题关键，使运算相对简便，通常与圆相关问题，设角为参数；与过定点直线相关问题，与两条相互垂直直线相关问题,设直线斜率为参数；与动点相关，与两条直线或直线与曲线交点相关问题，设点坐标为参数．7/47⑤交轨法在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点轨迹问题,这类问题经常经过解方程组得出交点(含参数)坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法经常与参数法并用．(2)求曲线方程要注意以下几点，这也是在求轨迹方程时需要注意：①坐标系建立不一样，同一曲线方程也不一样．②普通地，求哪个点轨迹方程,就设哪个点坐标是(x，y),而不是设成(x1，y1)或(x′，y′)等．8/47③化简方程化简到什么程度，书本没有给出明确要求，普通指将方程f(x，y)＝0化成x，y整式．假如化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上点，找回属于轨迹而遗漏点．④“轨迹方程”是坐标关系式，是一个方程，有时要在方程后依据需要指明变量取值范围，而“轨迹”是点集合，是曲线，是几何图形．故求点轨迹除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表曲线形状、位置、范围、大小等.所以说，求轨迹方程和求轨迹是有所不一样．9/4710/471．判断正误(正确打“√”，错误打“×”)(1)在求曲线方程时，假如点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系(

)(2)求曲线方程时，所建坐标系不一样，则求得方程也不一样(

)(3)化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形(

)(4)按照直接法求曲线方程步骤求解出曲线方程不用检验(

)√××√11/47C解析：把点代入方程检验知点A、C、D成立，B点不成立．12/473．如图，方程x＋|y－1|＝0表示曲线是(

)解析：方程可化为|y－1|＝－x≥0，∴x≤0，故选B.B13/4714/47

曲线与方程概念(1)假如曲线C上点坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0解，那么(

)A．以方程F(x，y)＝0解为坐标点都在曲线上B．以方程F(x，y)＝0解为坐标点，有些不在曲线C上C．不在曲线C上点坐标不是方程F(x，y)＝0解D．坐标不满足F(x，y)＝0点不在曲线C上D15/47(2)“以方程f(x，y)＝0解为坐标点都在曲线C上”是“曲线C方程是f(x，y)＝0”(

)A．充分无须要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也无须要条件B16/47[解析]

(1)条件中曲线C上点坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0解．满足定义中纯粹性，不过以方程解为坐标点是否都在曲线上，这是无法判断．故D正确．(2)依据曲线方程概念，“曲线C方程是f(x，y)＝0”包含“曲线C上点坐标都是这个方程f(x，y)＝0解”和“以方程f(x，y)＝0解为坐标点都在曲线C上”两层含义，可知是必要不充分条件．17/47方法归纳处理这类问题要从两方面入手：(1)曲线上点坐标都是这个方程解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程解为坐标点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程曲线，方程是曲线方程．18/471.设方程f(x，y)＝0解集非空，假如命题“坐标满足方程f(x，y)＝0点都在曲线C上”是不正确，则以下命题正确是(

)A．坐标满足方程f(x，y)＝0点都不在曲线C上B．曲线C上点坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上点，其坐标满足f(x，y)＝0D19/47解析：本题考查命题形式等价转换．所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0点不都在曲线C上”是正确．“不都在”包含“都不在”和“有在，有不在”两种情况，故A、C错，B显然错．20/47方程与曲线判断21/4722/47方法归纳(1)判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，不然变形后方程表示曲线就不是原方程曲线．(2)判断点是否在方程所表示曲线上，只需将点坐标代入方程，若方程成立，则点在曲线上；若方程不成立，则点不在曲线上．23/47C24/47求轨迹方程设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆任意弦，求所作弦中点轨迹方程．25/4726/4727/4728/47方法归纳求轨迹方程关键是建立恰当坐标系(已给不需建系)，常见建系方法有：①以已知定点为原点；②以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴)；③以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已知线段中点为原点；④以已知相互垂直两定直线为坐标轴；⑤让尽可能多已知点在坐标轴上．总之一句话：遵照垂直性和对称性标准．29/473.已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(－1，0)，点B(1，0)，求满足条件点C轨迹方程．30/4731/47求曲线2y2＋3x＋3＝0与曲线x2＋y2－4x－5＝0公共点．两曲线交点问题32/4733/47方法归纳曲线与曲线交点问题需要解方程组．34/474．已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，求b取值范围．35/4736/47易错警示因不注意方程等价变形或忽略隐含条件而致误(·安阳高二检测)已知点Q(2，0)和圆x2＋y2＝1，动点M到圆O切线长等于圆O半径与|MQ|和，求动点M轨迹方程．37/4738/4739