2020中考数学总复习：将军饮马型最值问题-解题技巧总结

将军饮马型最值问题将军饮马问题解决的是线段和差最值问题,解决的方法是通过轴对称,化折为直,把两条线段的和转化为一条线段的长,利用两点之间线段最短的性质解决问题.类型一一定直线,同侧两定点点A,B是直线l外同侧两点,在直线l上求作一点P,使AP+BP最小.解决方法:作点A关于直线l的对称点A'.连接A'B,交直线l于点P,则点P使AP+BP最小.图T3-11.如图T3-2,∠BAC=30°,M为AC上一点,AM=2,点P是AB上一动点,PQ⊥AC,垂足为点Q,则PM+PQ的最小值为

.

图T3-22.如图T3-3,在矩形ABCD中,AD=4,∠DAC=30°,点P,E分别在AC,AD上,则PE+PD的最小值是

.

图T3-33.[2019·合肥二模]如图T3-4,△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,CD平分∠ACB交AB于点D,点E是AC的中点,点P是CD上一动点,则PA+PE的最小值是

.

图T3-44.如图T3-5,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为

.

图T3-5图T3-66.[2018·遵义]如图T3-7,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为

.

图T3-7图T3-8类型二一定点,二定直线

P是∠AOB内一点,分别在OA,OB上求作点Q,R,使得PQ+PR+QR(即△PQR的周长)最小.解决方法:分别作点P关于直线OA,OB的对称点P',P″,连接P'P″,与OA,OB的交点即为所求点Q,R,此时PQ+PR+QR(即△PQR的周长)最小.图T3-98.如图T3-10,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,若△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是 (

)A.25° B.30° C.35° D.40°图T3-10[答案]B9.如图T3-11,四边形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为 (

)A.50° B.60° C.70° D.80°图T3-11[答案]D[解析]分别作A关于直线BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于E,交CD于F,则A'A″长即为△AEF周长的最小值.作DA延长线AH,易知∠DAB=130°,∠HAA'=50°.又∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,且∠EA'A+∠EAA'=∠AEF,∠FAD+∠A″=∠AFE,所以∠AEF+∠AFE=∠EA'A+∠EAA'+∠FAD+∠A″=2(∠AA'E+∠A″)=2∠HAA'=100°,所以∠EAF=180°-100°=80°.故选D.10.如图T3-12,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,试求作周长最小的△DEF.图T3-12解:将D视为定点,分别作出点D关于AC,BC的对称点D',D″,连接D'D″交AC,BC于点E,F.此时△DEF的周长等于D'D″长.无论点D的位置如何变化,点C对线段D'D″的张角不变,即∠D'CD″=2∠ACB,因此为使D'D″最小,只需CD'=CD″=CD的值最小即可,显然当CD⊥AB时,CD最小,从而△DEF的周长最小.11.如图T3-13,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O,A,E三点.(1)求此抛物线的解析式;(2)求AD的长;(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,求点P的坐标.图T3-1311.如图T3-13,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O,A,E三点.(2)求AD的长;图T3-13(2)由折叠得DE=AD,BE=10-6=4,BD=8-AD,在Rt△DBE中,DE2=BE2+BD2,∴AD2=42+(8-AD)2,解得AD=5.11.如图T3-13,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线O