算法案例秦九邵算法人教A版必修市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

1.3算法案例

第二课时1/18例2求325，130，270三个数最大条约数.因为325=130×2+65，130=65×2，所以325与130最大条约数是65.

因为270=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所以65与270最大条约数是5.故325，130，270三个数最大条约数是5.2/18问题提出1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数最大条约数优异算法，我们将算法转化为程序后，就能够由计算机来执行运算，实现了古代数学与当代信息技术完美结合.2.对于求n次多项式值，在我国古代数学中有一个优异算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.3/18秦九韶算法4/18[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时值算法,并写出程序.x=5f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7PRINTfEND程序

点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能处理任意多项多求值问题,而且计算效率不高.知识探究(一):秦九韶算法基本思想

5/18思索2:在上述问题中，若先计算x2值，然后依次计算x2·x，(x2·x)·x，((x2·x)·x)·x值，这么每次都能够利用上一次计算结果，，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？9次乘法运算，5次加法运算.

第二种做法与第一个做法相比,乘法运算次数降低了,因而能提升运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需运算时间比做一次加法要长得多,所以第二种做法能更加快地得到结果.6/18

思索3:能否探索更加好算法,来处理任意多项式求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677所以,当x=5时,多项式值是2677.这种求多项式值方法就叫秦九韶算法.5次乘法运算，5次加法运算.7/18思索4:利用最终一个算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0值，这个多项式应写成哪种形式？f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0=…=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.8/18思索4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式值，其算法步骤怎样？第一步，计算v1=anx+an-1.第二步，计算v2=v1x+an-2.第三步，计算v3=v2x+an-3.…第n步，计算vn=vn-1x+a0.9/18思索5:上述求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0值方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？思索6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步算式是什么？

vk=vk-1x+an-k(k=1，2，…，n)n次乘法运算，n次加法运算10/18知识探究(二):秦九韶算法程序设计

思索1:用秦九韶算法求多项式值，能够用什么逻辑结构来结构算法？其算法步骤怎样设计？第一步，输入多项式次数n，最高次 项系数an和x值.

第二步，令v=an，i=n-1.

第三步，输入i次项系数ai.第四步，v=vx+ai，i=i-1.第五步，判断i≥0是否成立.若是，则返回第 二步；不然，输出多项式值v.11/18思索2:该算法程序框图怎样表示？开始输入n，an，x值v=anv=vx+ai输入aii≥0？i=n-1i=i-1结束是输出v否12/18思索3:该程序框图对应程序怎样表述？开始输入n，an，x值v=anv=vx+ai输入aii≥0？i=n-1i=i-1结束是输出v否INPUT“n=”；nINPUT“an=”；aINPUT“x=”；xv=ani=n-1WHILEi>=0INPUT“ai=”；bv=v*x+bi=i-1

WENDPRINTyEND13/18理论迁移例1已知一个5次多项式为 用秦九韶算法求f(5)值.f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.v1=5×5+2=27；v2=27×5+3.5=138.5；v3=138.5×5-2.6=689.9；v4=689.9×5+1.7=3451.2；v5=3451.2×5-0.8=17255.2.所以f(5)==17255.2.14/18变式：例2已知一个5次多项式为 用秦九韶算法求当x=5时，V1,V3值及求f(5)值做多少次乘法运算.解：f(x)=((((5x+0)x+3.5)x+0)x+1.7)x-0.8.v1=5×5+0=25；v2=25×5+3.5=128.5；v3=128.5×5+0=642.5；v4=642.5×5+1.7=3214.2；v5=3214.2×5-0.8=16070.8.所以v1=25，v3=642.5，f(5)=16070.8.15/18例3阅读以下程序，说明它处理实际问题是什么？INPUT“x=”；an=0y=0WHLEn<5

y=y+(n+1)*a∧nn=n+1WENDPRINTyEND求多项式