2024高考数学教材-空间向量与立体几何

2024高考数学教材一空间向量与立体几何

目录

1空间向量及其运算............................................................2

1.1空间向量及其线性运算.......................................2

1.1.1知识点一空间向量的有关概念...............................3

1.1.2知识点二空间向量的线性运算...............................4

1.1.3知识点三共线向量与共面向量...............................5

1.2空间向量的数量积运算......................................21

1.2.1知识点一空间向量的夹角..................................22

1.2.2知识点二空间向量的数量积................................23

1.2.3知识点三投影向量及直线与平面所成的角...................24

2空间向量基本定理............................................................39

2.1问题导入...................................................40

2.2新知识探讨.................................................40

2.2.1知识点空间向量基本定理..................................40

2.3典型例子...................................................42

3空间向量及其运算的坐标表示.................................................54

3.1问题导入...................................................55

3.2新知识探讨.................................................55

3.2.1知识点一空间直角坐标系..................................55

3.2.2知识点二空间向量的坐标运算..............................56

4空间向量的应用..............................................................73

4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系........................73

4.1.1知识点一空间中点、直线和平面的向量表示.................74

4.1.2知识点二空间平行、垂直关系的向量表示...................75

4.2用空间向量研究距离、夹角问题..............................91

4.2.1知识点一空间距离及向量求法..............................92

4.2.2知识点二空间角及向量求法................................92

1空间向量及其运算

1.1空间向量及其线性运算

课程标准核心素养

1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念.数学抽象

2.掌握空间向量的线性运算.直观想象

・忽套酸曲知织虢理

［问题导入］

预习课本P2〜5,思考并完成以下问题

1.零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线向量是如何定义的？与

平面向量中的定义相类似吗？

2.空间向量的线性运算满足交换律、结合律及分配律吗？

3.实数力与空间向量a的乘积2a的方向如何确定?

4.共线向量（平行向量）、方向向量及共面向量的定义分别是什么？

［新知初探］

1.1.1知识点一空间向量的有关概念

1.定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.

2.长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.

〃(1)几何表示法：空间向量用有向线段表示.

(2)字母表示法：用字母表示，若向量a的起

3.表示法：［点是A,终点是以则向量q记作工了，其模记

、为|旬或|商|.

4.几个特殊向量

特殊向量定义表示法

零向量长度为。的向量0

单位向量模为工的向量|a|=1或|方'|=1

与a长度相等而方向相反的向量称为

相反向量—a

a的相反向量

相等向量方向相同且模相等的向量a=b或AB=CD

共线向量或表示若干空间向量的有向线段所在的

〃或下〃司

平行向量直线互相平行或重合ab

［做一做］

1.判断正误(正确的打“，错误的打“义”)

(1)零向量与任意向量平行.()

(2)向量潮的长度与向量F1的长度相等.()

(3)空间向量a用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可彳壬意

选取.()

(4)空间中任意两个单位向量必相等.()

答案：⑴J(2)V(3)V(4)X

2.如图，在长、宽、高分别为AB=3,AD=2,A4i=l的)_______

长方体ABCD-ABGDi的八个顶点的两点为起点和终点的向丫j----------

量中：卜--------

3

(1)单位向量共有多少个？

(2)试写出新的相反向量.

解：(1)由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量高，瓦t,

血,瓦苫，CG,C?C,DD\,D^D,共8个向量都是单位向量，而其他向量的

模均不为1,故单位向量共8个.

(2)向量入。的相反向量有可蕾，瓦瓦GC,DlD,共4个.

1.1.2知识点二空间向量的线性运算

名称代数形式几何形式运算律

交换律：a+b=b+

a；

加法~0B=~0A+1B=a

+b结合律：a+(b+c)

。叱=(a+b)+c

~CA^~0A~~0C=a

减法

-b

当A>0时，4a=

结合律：4(〃a)=

A~OA=~PQ-,(几〃)a；

数乘当A<0时，4a=分配律：(几十〃)a

A~OA^~MN.=%a+〃a,4(a+

°P4b)=Aa+Ab

当A=0时，4a=0

［想一想］

1.向量线性运算的结果还是向量吗？

提示：是向量.

2.2a的长度是a的长度的2倍吗？

提示：不是，应是|4倍.

［做一做］

1.化简R而一而十碉所得的结果是()

A.PMB.~NP

C.0D.MN

答案：C

2.已知空间四边形ABC。中，Tfi=a,~BC=b,'AD=c,则员等于()

A.a+b—cB.c-a—b

C.c+a—bD.c+a+b

解析：选BTD=~CB+~AD=~~AB~~BC+~AD=~a~b+c=c

-a—b.

3.化简：5(3a—2b)+4(2b—3a)=.

答案：3a—2b

1.1.3知识点三共线向量与共面向量

1.共线向量与共面向量的区别

共线(平行)向量共面向量

表示若干空间向量的有向线段

定平行于同一个平面的向量叫做

所在的直线互相平行或重合,这些

义共面向量

向量叫做共线向量或平行向量

若两个向量a,b不共线，则向

充对于空间任意两个向量a,

量P与a,b共面的充要条件是存在

要条b(bWO),a〃b的充要条件是存在

唯一的有序实数对(尤，y)，使P=xa

件实数九使a=2b

+yb

2.直线/的方向向量

如图在直线/上取非零向量a,设P为/上的任意一点,

贝ijm/GR使得/=2a.

定义：把与a平行的非零向量称为直线/的方向向量.

［做一做］

1.判断正误(正确的打“，错误的打“X”)

(1)若A,B,。三点共线，则海与就共线.()

(2)向量飞方与向量口是共线向量，则点A,8,C,。必在同一条直线上.()

⑶若向量a,b,c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.()

答案：(1)J(2)X(3)X

2.若a与b不共线，且m=a+b,n=a—b,p=a,贝ij()

A.m,n,p共线B.m与p共线

C.n与p共线D.m,n,p共面

解析：选D由于(〃+〃)+(〃-Z?)=2a,即m+〃=2〃，即〃=；/〃+；〃，又知

机与〃不共线，所以tn,n,p共面.

3.非零向量ei,e2不共线，使Zei+e2与ei+A:e2共线的k的值是.

\k=X,

解析：若Zei+e2,ei+Ze2共线，则ke\+e2==A(ei-\-kei),所以，所

1^=1,

以Z=±l.

答案：±1

[名师点津]

1.对空间向量数乘运算的理解

(1)非零向量。与〃(2W0)的方向要么相同，要么相反.

(2)由于向量m分可平移到同一个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配

律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律.

(3)根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立.

(4)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如23无法运

算.

2.与空间向量的线性运算相关的结论

(1)AB=OB--0A.

(2)在平行六面体ABCD-AiBiGDi中，有箱=潮+同十无了.

(3)若。为空间中任意一点，则

①点尸是线段A8中点的充要条件是市=上市+W);

②若G为△ABC的重心，则破=；(市+用+灾).

葡酸锚真囱精析…

空间向量的概

念辨析

[4501](链接教材P91)给出下列命题:

(1)若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

(2)|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件；

\a\=\h\；

(3)向量a,b相等的充要条件是〃，

a//b；

(4)若A,B,C,。是不共线的四点，则常=碇是四边形ABC。为平行四

边形的充要条件.其中正确的是.

［解析］当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；

但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点也相同，故(1)错误.

a=h^\a\=\b\,\a\=\b\=^la=b,故(2)正确.

由.〃/?,知a与。的方向相同或相反，故(3)错•误.

\'^AB=~DC,：.\'AB\=\DC\SLAB//~DC.

又A,B,C,。不共线，，四边形ABC。是平行四边形.

反之，在口ABC。中，有潮=衣，故(4)正确.

［答案］⑵(4)

空间向量有关概念问题的解题策略

(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非

零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件.

(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的

运算律是解决好这类问题的关键.

［跟踪训练］

(多选)已知正方体ABCD-AiBCQ的中心为0,则下列结论中正确的有()

A.市+协与0"+亦是一对相反向量

B.碗一衣与力筋一。力；是一对相反向量

C.市+不/+比+万方与苏+力应+亦+0不是一对相反向量

D.示一市与浣一正是一对相反向量

解析：选ACD:。为正方体的中心，：.~dA=-0G,~0D=-0Bi,故

OA+0D=~{0B\4-OCi）,同理可得南+万（f=一（。筋+。方b,故。X+加

+沅十方方=一（。就+。试+宓+0万b,，A、C正确；•.,言一比=,，

OA\-OD\=D\A\—►,.,.加一浣与。第一。不是两个相等的向量，AB不正

确；•.•百一市=高，~OC-OCi='OC=-A^,：.OAi-~OA=-（OC-

OG）,，D正确.

空间向量的线

11a

性运算

［例2］（链接教材P5T2、T4）已知平行六面体ABCZX4'B'CD',化简下

列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：

+AD+Atz；

(2)~DD'-AB+^BC；

(3)l4B+7D+^(DD'

［解］(l)7fi+AD+A4z=~AB+^BC+~CC'=~AC';

(2)函，~^AB+~BC=^DD'-(AB-AD)=DDz~15B=~BD

------------»1---------------6----6］----予--------»--------»1----»

(3)AB+AD+2(DD1-8C)=AC+2(CC'+CB)=AC+^CB'.

1

-

设M是线段CB'中点，则AB2

向量AC',8。'，AM如图所示.

［母题探究］

(变设问)若本例条件不变，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量:

(1)虎+厂方'+苗于；

—>1—a］—>

(2)AV+2AB+2AD-

解：⑴戏+A'D'+^CCr=~DC-1)A+^CC^=衣+；干，

设P是线段CC'的中点，则

~DC+A'Dr+^CCr=~AP.

(2)AAr>AD=AAI>+1(AB+AD)=AAI>o'c'

+3

?

设Q是线段A'C的中点，则B

AA^+1AD=A47*+%C?=AA^+A'Q=~AQ,向量衣，

AQ如图所示.

解决空间向量线性运算问题的方法

进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础

上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和.运

算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中.

［注意］(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相

反向量.

(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量.

［跟踪训练］

1.在正方体ABCO-AiBCQi中，下列选项中化简后为零向量的是()

A.AB+7D+A4?B.-AC+BB?

C.AB4-ATDI+CIXD.AC+Cfi}+AB

解析：选C在选项C中，7B+A7DI+CI^4I=(AB+AD)+C4=0.

2.如图，设。为DABCO所在平面外任意一点，E为0C的中。

1

点，AE=2OD+xOB+yOA,求x,y的值.卜A?\

._..---->---->---->1------------1-------->---->A

解：法一：AE=OE-0A=2-OA=^(OB+BC)-

~0A

=^COB+~OD-~OA)-~OA

3—>1—>1—>

=—20A+/0B+20D,

.13

-X=Ty=~2-

法二：因为又H=3^+7^+①

---->---->---->---->1---->

=OB-OA+OC-OB-50c

—>1—>

=—0A+20C

=-04+1(0D4-DC)

=-+1(OD4-7B)

=-OA+^0D-市)

3—>1—>1—>

=-2OA+2OD+2OB,

*，13

所以x=5，y=~2-

空间向量共

l*日

一线问题

［例3］如图所示，已知四边形ABC。，ABEF都是平行四c

边形且不共面，M,N分别是AC,3尸的中点，判断,与兀而

是否共线.

［解］因为M,N分别是AC,BF的中点、,且四边形ABC。，四边形ABEb

都是平行四边形，所以加=必4+淳+FW=1c4+TF+gFB.

又因为俪=就+锭+/+筋=一义市+宣一女一支丽\

以上两式相加得P后=2诉，所以铳〃而，

即宣与而共线.

1.要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边

形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍

数关系，即可证得这两向量共线.

2.证明空间三点P,A,8共线的方法

(1)PA=2PBGGR).

(2)对空间任一点。，~0P=OA+tAB(/eR).

(3)对空间任一点0,~0P=xOA+y~0B(x+y=l).

［跟踪训练］

如图，正方体ABCD-AiBGDi中，。为AC上一点，且D(

布=看泥，8。与AC交于点M.求证：Ci,0,M三点共线.g

证明：如图，连接AO,AC\,4cl.夕

—>2—>

•••AiO.AiC,

/.AO=AA\+Aid=A4i+^A.\C=AA\+|(T4I/4+T4C)=|A4I+|AC.

'：~AC=2AM,AA^=ACi+ClA\=ACi-~AC=ACi-2AM,

12

•.,1+1=1,/.Ci,O,M三点共线.

空间向量共

一面问题

[例4](链接教材P5例1)如图所示，在长方体

ABCD-AiBiCiDi中，M为DD\的中点，NGAC,且AN：NC

=2,求证：Ai,B,N,M四点共面.

［证明］设A4；=a,AB=b,AD=c,则了诵=b-a,

•IM为宙的中点，：.MM=c-^a,

―>2―>2,

文,：ANNC=2,AN=2AC=§S+c),

.,.A\N=AN—AA\=|(/?+c)—a

2,2(1A2—>,2—>

=§(/?—'a)c-呼尸QAIB+y］M

：.A^N,A^B,A论为共面向量.

又•.•三向量有相同的起点Ai,

.•.Ai,B,N,M四点共面.

1.解决向量共面的策略

(1)若已知点尸在平面ABC内，则有前9+y*或/=》市+》心万

+zOC(x+y+z=l),然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参

数.

(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵

活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.

2.证明空间四点P,M,A,8共面的等价结论

(1)~MP=xMA+yMB；

(2)对空间任一点O,1JP=7)M+XMA+yMB；

(3)对空间任一点。，OP=xOA+yOB+zOM(x+y+z=1)；

(4)P防〃常(或前〃磁或的〃A法).

［跟踪训练］

已知E,F,G,H分别为四面体ABCD的棱AB,BC,CD,D4的中点，求

证：

(1)£,F,G,〃四点共面；

(2)8。〃平面EFGH.

证明：如图，连接EG,BG.

(1)因为武=Ed+~BG=EB+^(BC+BD)=EB+BF+~EH+

EH,由向量共面的充要条件知：E,F,G,”四点共面.

(2)因为前=AH-AE=^AD=1BZ),所以EH//BD.又EHU平面

EFGH,B"平面EFGH,所以8。〃平面EFGH.

［随堂检测］

1.下列说法正确的是()

A.若|a|<|b|,则a<b

B.若a,b为相反向量，则a+b=O

C.空间内两平行向量相等

D.四边形ABCO中，AB~AD=~DB

解析：选D向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向

量的和为0,不是0,B错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向

量不一定具备，C错；D正确.

2.已知正方体则下列各式运算结果不是记的为()

A.~AB+AD+'AA\B.向+府;+再方1

C.AB4--BC+CGD.Afi+^4C+CG

解析：选D选项A中，~AB+~AD+A4?=~AC+AZ=AG:选项B中，

高+乐5+与笈=罚+(刀后+与方i)=高+再苕=记；选项C中，至+

靖+泊=京+%耳=4西；选项D中，瓦+/+&；=AN+(7C+CG)

=~AB+AGW箱.故选D.

3.已知非零向量e”e2不共线，如果布=ei+e2,AC=2ei+8e2,AD=

3ei—3e2,求证：A,B,C,D四点共面.

证明：令AE=XAC?+y,则ei+e2=x(2ei+8e2)+y(3ei—3e2)=(2x+3y)ei

+(8x-3y)e2.

"=1

[2x+3y=l,x=5,

•.•ei和e2不共线，.y解得〈，

[8x—3y=l,1

l>-5-

力，.,.A,B,C,。四点共面.

忽奥图稳素养提升

[A级基础巩固]

1.下列命题中正确的是()

A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线

B.向量a,b,c共面，即它们所在的直线共面

C.若两个非零空间向量常与黄满足至+司=0,则演〃游

D.若2〃13,则存在唯一的实数九使a=2b

解析：选CA中，若人=0,则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义

是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C

中，VTB+CD=O,AAB=-CD,二区与司共线，故常〃苟正确；

D中，若。=0,aWO,则不存在九使。=彷.

2.满足下列条件，能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是（）

A.~AB+~BC=~AC

B.AB-BC=AC

C.Tfi=^BC

D.\AB\=\~BC\

解析：选C对于空间中的任意向量，都有加+就=京，选项A错误；

AB-BC=7C,则/+方（^=府，而无？+函=盘，据此可知力=

言,即8,C两点重合，选项B错误；AB=BC,则A,B,C三点共线，选

项C正确；|/由=|铤则线段A3的长度与线段8C的长度相等，不一定有

A,B,C三点共线，选项D错误.

3.设有四边形A8CD,。为空间任意一点，且加+”后=万3+碇，则

四边形ABC。是（）

A.平行四边形B.空间四边形

C.等腰梯形D.矩形

解析：选A•而+为存=历+比，AAB=DC.

：,~AB//~DCSL\AB\=\DC\.

，四边形ABCD为平行四边形.

4.（多选）如图，在正方体ABCD-AIBGOI中，下列各式中运算

的结果为向量就的是（）

A.（ATDI-JJA）-^45

B.(BC+BBO-OlCi

C.{AD-AB)+DD\

解析：选ABC对于选项A,(A?Di-AJA)-AB=AD\~~AB=BD\;对于

选项B,（同+B豆;）一方河=前十五亦=瓦兀对于选项C,（AD~^B）+DDi

=血+而=丽；对于选项D,（瓦方|一/）一而=（瓦瓦一瓦^）一而=血

+O=BD,故选A、B、C.

5.已知正方体ABCD-AIBCIDI中，/=齿苕，若左=》新+y（益1+

75）,则（）

A.x=l,y=gB.x=；，y=l

C.x=l9y=gD.x=l,y=；

AA.>,>I>>I,>>

解析：选D因为AE=AAi+AiE=AAi+W4G=AAI+]（AB+A£>）,所

以x=l,y=1.

6.如图所示，在三棱柱ABC-A'B'C中，/与A'C，是向量，

常与产R是向量.（用相等、相反填空）

CC

AAf

解析：由相等向量与相反向量的定义知：就与A7"可是相等向量，至与

B'A’是相反向量.

答案：相等相反

7.设ei,e2是空间两个不共线的向量，已知又m=2ei+Ae2,3=ei+3e2,

CD=2ei-e2,且A,B,。三点共线，则k=.

解析：由已知得B。=CO—CB=（2e]-62）—3+3e2）=ei—4及，VA,B,

。三点共线，■■与8方共线，即存在4WR,使得7君=人协.，2ei+履2="ei

4=2,

—4e2)—Aei—4Ae2.".'ei,e2不共线，)解得人=—8.

LZ:=-4z,

答案：一8

8.在空间四边形A8C。中，连接AC,BD.若ABCD是正三角形,且E为其

中心，则又方+^BC-^DE~~AD的化简结果为

_Q___

解析：如图，取8C的中点F,连接DF,则/=^DE.：.^\B+

]>3__>__»__»〉_____»_____>>_____»>

^BC~^DE~AD=AB+BF-DF+DA=AF+FD+DA=0.

答案：0

9.如图所示，在三棱柱ABC-481cl中，M是BBi

的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量:

---->---->1---->

(2)AC+CB+^AAi；

(3)AAi-AC-ZB.

解：(1),+8第=㈤.

⑵因为M是BBi的中点,

所以

又=所以而+,+4"；=潮+就=A必.

(3)A4i-AC-CB=CA\~~CB=BA\.

向量CA；,AM,反4；如图所示.

10.如图，在四面体A-BCO中，M是A。的中点，P是的

中点，点。在线段AC上，且AQ=3QC证明：PQ〃平面BCD

证明：法一：过尸，。分别作PS//AD交BD于点S,QT//

AD交CD于点T,连接ST（图略），

则同=；而5,^QT=^AD.

因为而所以■=至亍,

所以四边形PQTS是平行四边形，则电=芋\

又P。。平面8C0,STU平面BCD,所以P0〃平面BCD

法二：由图形易得了。=不于+岳E+友

=^MB+liC+^CA

=^(MA+AB)+^BC+^CA+|AC

1>,_A,_A,1-->,1-A,1-->

=2(AB+BC+CA)+]MA+/BCAC

1-A,-->.1—A

=4(DA+AC)+1BC

1—>,1—>

=WOC+]BC.

根据空间向量共面的定义，~PQ,~DC,碇共面,

又因为PQ6平面BCD,所以PQ〃平面BCD.

[B级综合运用]

11.若空间中任意四点。，A,B,P满足/=〃?加+〃而，其中加+〃=

1，则（）

A.PGABB.HAB

C.点P可能在直线A8上D.以上都不对

解析：选A因为〃z+〃=l,所以/"=1一”，

所以存=（1-n1OA+ITOB,

即一加一一加一就），

即一赤=nAB,所以左与NN共线.

又常，加有公共起点A,

所以P,A,8三点在同一直线上，

即PGAB.

12.在下列条件中，使M与A,B,C一定共面的是（）

A.7）M=,37）A-20B~~OC

B.1)M+^A+^0B+~0C=0

C.~MA+~MB+~MC=0

D.7)M=^OB-~OA+^OC

解析：选CVM44-MB+MC=0,

.•.M与A,B,。必共面.

13.已知空间四边形ABC。中，Tfi=b,7c=c,AD=d,^~MD=2CM,

且BA/=xb+yc+zdCr,y,zGR),则y=.

解析：如图所示，

=­匕+于+利

•;BM=xb+yc+zd,

.2

•,>3,

2

答案：f

14.已知A,B,M三点不共线，对于平面外的任意一点0,判断在下

列各条件下的点P与点A,B,M是否共面.

⑴而+而=3/一市；

(2)OP=4~0A~~OB-W.

解：法一：⑴原式可变形为/=/法+(存一百产)+(就一/)=加十

PA+~PB.

由共面向量定理的推论知，点P与点A,B,M共面.

(2)原式可变形为宿'=2市+(市一道>)+(•一而)=2市+/+

~MA.

由共面向量定理的推论，可知点P位于平面A8M内的充要条件是市=市

+^BA+yMA.

而商刁X+亩+两，

.,.点P与点A,B,M不共面.

法二：⑴原式可变形为加=3/一市一0面

•••3+(—1)+(—1)=1,

.,.点8与点P,A,M共面，

即点P与点A,B,M共面.

(2)由力产=4市一避一而，得

4+(—1)+(—1)=2/1,

...点P与点A,B,M不共面.

[C级拓展探究]

15.对于空间任一点。和不共线的三点A,B,C,若有一加=》市+）「加

+zOC,贝ij“x+y+z=l”是“P,A,B,。四点共面”的（）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选B若x+y+z=l,则/=（l—y—z）•市+y京+z比，即左

=yAB+zAC,由共面向量定理可知向量/A,盘，就共面，所以P,A,B,

C四点共面；反之，若P,A,B,C四点共面，当点。与点A重合时，市=0,

x可取任意值，不一定有x+y+z=l,故“x+y+z=l”是"P,A,B,C四点共

面”的充分不必要条件.

16.有下列命题：①若AN〃济，则A,B,C,。四点共线；②若布〃

AC,则A,B,C三点共线；③若ei,e2为不共线的非零向量，a=4ei—|e2,b

=—ei+京e2,则a〃b；④若向量ei,Qi,e3是三个不共面的向量，且满足等式

Z:iei+foe2+fee3=0,则依=%2=抬=0.其中是真命题的序号是（把所有真

命题的序号都填上）.

解析：根据共线向量的定义，若潮〃黄，则或A,B,C,D四

点共线，故①错；^AB//~ACSLAB,公有公共点A,所以②正确；由于a=4ei

一■|e2=-4（—ei+，je2）=—46所以a〃Z?,故③正确；易知④正确.

答案：②③④

1.2空间向量的数量积运算

核心素

课程标准

养

数学抽

1.掌握空间向量的数量积.

象

2.能运用向量的数量积判断两向量的垂直及

数学运

平行.

算

廖酸骨知以梳理

［问题导入］

1.空间中两个非零向量a和b的夹角定义与平面向量夹角定义相同吗？

2.空间向量的数量积的定义是什么？

3.空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？

预习课本P6〜8,思考并完成以下问题

［新知初探］

1.2.1知识点一空间向量的夹角

1.如图，已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作。4=J

a,OB=b,则乙4B8叫做向量a,b的夹角，记作(a,b).

b1

TT

2.向量a,b的夹角〈a,b)的范围是［0,何，如果〈a,b)=］,那么向量

a,b互相垂直,记作a，b.

［想一想］

1.当两个非零向量同向时，它们的夹角为多少度？反向时，它们的夹角为

多少度？

答案：0。180°

2.(a,b)，〈一a,b〉，(a,—b),〈一a,一b〉，它们有什么关系?

答案：〈—a,b)=<a,—b)=n—(a,b),(—a,—b)=(a,b>.

［做一做］

如图，在正方体ABCD-A'B'CO'中，求下列各对向量的夹角：

(1)CAB,)；

(2)CAB,)；

(3)CAB,A'Df>.

解：⑴:A，=~AC,CAB,A'cf>={AB,7c>.

又NC4B=45。，；.CAB,A'C?>=45°.

(2)CAB,>=180°-<AB,A'cr>=180°-45°=135°.

(3)CAB,TN>=(AB,AD)=90°.

1.2.2知识点二空间向量的数量积

1.数量积的定义

已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos(a,b)叫做a,b的数量积,记作a.b.

B|Ja-b=|a||b|cos(a,b〉,

2.数量积的性质

(1)若a,b为非零向量，则a_Lb㈡a・b=0；

(2)a-a=|a||a|cos〈a,a)=|a|2=|a2|；

(3)a-e=|a|cos<a,e)(其中e为单位向量)；

n-h

(4)若a,b为非零向量，则cos<a,b)=j^而.

3.数量积的运算律

(l)(2a)-b=A(a-b)；

(2)交换律:a-b=b-a；

(3)分配律:a-(b+c)=a-b+a-c.

［做一做］

1.判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

⑴零向量与任意向量的数量积为0.()

(2)对于任意向量a,b,c,都有(a.b)c=a(b.c).()

(3)若a,b=b,c,且bWO,则a=c.()

答案：(1)V(2)X(3)X

2.已知空间向量a,b,|a|=2,\b\=y[2,a-b=—2,则〈a,b)=.

解析：cos〈a,b〉=j^[=―乎，〈a，b〉=竽.

答案：T

3.已知正方体ABCO-AIBCIQI的棱长为a,则常•再苕=,A^B-^C

解析：如图，加.痴苕=彳商仄7苕=瓦存H.苕I,cos〈彳商，

AiCi〉=a•巾acos45°=〃.

AlBB7C=A^BA[D=|ATB|-|A7D|-COS<JTB,ATD>=y/2aX啦

aXcos60°=层.

答案：a2a2

1.2.3知识点三投影向量及直线与平面所成的角

1.投影向量

(1)向量a在向量b上的投影

先将向量a与向量b平移到同一平面a内，如图①向量c

称为向量a在向量b上的投影向量.

(2)向量a在直线/上的投影

如图②向量c称为向量a在直线I上的投影.

(3)向量a在平面夕上的投影

如图③分别由向量a的起点A和终点B作平面夕的垂线，

垂足分别为A',B',

则向量A'B,(a')称为向量a在平面用上的投影向量.

2.直线与平面所成的角

如图③向量a与向量a'的夹角就是向量a所在直线与平面尸所成的角.

［做一做］

1.判断正误(正确的打“，错误的打“X”)

b

(1)向量a在向量b上的投影向量c=|a|cos<a,b〉.而.()

(2)向量a在直线/上的投影是一个数量.()

(3)向量a在平面夕上的投影是一个向量.()

答案：⑴J(2)X(3)V

2.如图所示，直线/，平面a,若机，〃Ua且向量i,j,［:

k分别是直线