中考数学复习第五章圆5.1圆的性质及与圆有关的位置关系试卷部分市赛课公开课一等奖省名师获奖PP

第五章圆§5.1圆性质及与圆相关位置关系中考数学

(河南专用)1/205A组-年河南中考题组五年中考1.(河南,19,9分)如图,AB是☉O直径,DO⊥AB于点O,连接DA交☉O于点C,过点C作☉O

切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交☉O于点G.填空:①当∠D度数为

时,四边形ECFG为菱形;②当∠D度数为

时,四边形ECOG为正方形.

2/205解析(1)证实:连接OC.∵CE是☉O切线,∴OC⊥CE.∴∠FCO+∠ECF=90°.∵DO⊥AB,∴∠B+∠BFO=90°.∵∠CFE=∠BFO,∴∠B+∠CFE=90°.

(3分)∵OC=OB,∴∠FCO=∠B.∴∠ECF=∠CFE.∴CE=EF.

(5分)(2)①30°.(注:若填为30,不扣分)(7分)②22.5°.(注:若填为22.5,不扣分)(9分)3/2052.(河南,18,9分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径☉O交AC边于点D,过点C作CF∥

AB,与过点B切线交于点F,连接BD.(1)求证:BD=BF;(2)若AB=10,CD=4,求BC长.

4/205解析(1)证实:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵CF∥AB,∴∠ABC=∠FCB.∴∠ACB=∠FCB,即CB平分∠DCF.

(3分)∵AB是☉O直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC.∵BF是☉O切线,∴BF⊥AB.

(5分)∵CF∥AB,∴BF⊥CF.∴BD=BF.

(6分)(2)∵AC=AB=10,CD=4,∴AD=AC-CD=10-4=6.在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=102-62=64.

(8分)在Rt△BDC中,BC=

=

=4

,即BC长为4

.

(9分)5/2053.(河南,18,9分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC中点,以AB为直径作☉O分别

交AC,BM于点D,E.(1)求证:MD=ME;(2)填空:①若AB=6,当AD=2DM时,DE=

;②连接OD,OE,当∠A度数为

时,四边形ODME是菱形.6/205解析(1)证实:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC中点,∴MA=MB.∴∠A=∠MBA.

(2分)∵四边形ABED是圆内接四边形,∴∠ADE+∠ABE=180°.又∵∠ADE+∠MDE=180°,∴∠MDE=∠MBA.同理可证:∠MED=∠A.

(4分)∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME.

(5分)(2)①2.

(7分)②60°(或60).

(9分)解题关键熟记圆内接四边形对角互补,结合直角三角形性质判断角相等是本题关键.7/2054.(河南,17,9分)如图,AB是半圆O直径,点P是半圆上不与点A,B重合一个动点,延长BP

到点C,使PC=PB,D是AC中点,连接PD,PO.(1)求证:△CDP≌△POB;(2)填空:①若AB=4,则四边形AOPD最大面积为

;②连接OD,当∠PBA度数为

时,四边形BPDO是菱形.

8/205解析(1)证实:∵D是AC中点,且PC=PB,∴DP∥AB,DP=

AB.∴∠CPD=∠PBO.

(3分)∵OB=

AB,∴DP=OB.∴△CDP≌△POB.

(5分)(2)①4.

(7分)②60°.

(9分)思绪分析(1)依据三角形中位线定理得出三角形全等一个条件,再由SAS判定全等;(2)①当PO⊥AB时,四边形AOPD面积最大;②当∠PBA=60°时,等腰三角形OBP中BO=BP,四边形

BPDO为菱形.9/2055.(河南,17,9分)如图,CD是☉O直径,且CD=2cm,点P为CD延长线上一点,过点P作☉O

切线PA、PB,切点分别为点A、B.(1)连接AC,若∠APO=30°,试证实△ACP是等腰三角形;(2)填空:①当DP=

cm时,四边形AOBD是菱形;②当DP=

cm时,四边形AOBP是正方形.

10/205解析(1)证实:连接OA.∵PA为☉O切线,∴OA⊥PA.

(1分)在Rt△AOP中,∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°.∴∠ACP=

∠AOP=

×60°=30°.

(4分)∴∠ACP=∠APO.∴AC=AP.∴△ACP是等腰三角形.

(5分)(2)①1;

(7分)②

-1.

(9分)思绪分析(1)依据切线性质和同弧所对圆周角等于圆心角二分之一得角之间关系,由等角

对等边可判定等腰三角形;(2)①当AD=1时,四边形AOBD是菱形,可求得DP长;②当四边形

AOBP是正方形时,OP=

AO=

,DP=OP-OD=

-1.11/205考点一圆相关概念及性质B组-年全国中考题组1.(内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,CD为☉O直径,弦AB⊥CD,垂足为M.若AB=12,OM∶MD

=5∶8,则☉O周长为

()

A.26πB.13π

C.

D.

12/205答案

B连接OA,设OM=5x(x>0),则MD=8x,∴OA=OD=13x,又∵AB=12,AB⊥CD,∴AM=6.在

Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=

(舍负),∴半径OA=

,∴☉O周长为13π.方法规律如图,设圆半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形高为h,则

+d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知其中任意两个量即可求出其余两个量.

13/2052.(陕西,9,3分)如图,☉O半径为4,△ABC是☉O内接三角形,连接OB、OC.若∠BAC与

∠BOC互补,则弦BC长为()

A.3

B.4

C.5

D.6

14/205答案

B∵∠BOC+∠CAB=180°,∠BOC=2∠CAB,∴∠BOC=120°,作OD⊥BC交BC于点D,

∴BC=2BD.∵OB=OC,∴∠OBD=∠OCD=

=30°,∴BD=OBcos30°=2

,∴BC=2BD=4

,故选B.15/2053.(广西南宁,9,3分)如图,点A,B,C,P在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,则∠P度数为

()A.140°

B.70°C.60°

D.40°答案

B∵∠DCE=40°,CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠DOE=180°-40°=140°.∴∠P=

∠AOB=70°.故选B.16/2054.(湖北黄冈,11,3分)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠

CAB,若AD=6,则AC=

.

答案2

解析连接BD,因为AB为☉O直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以

∠BAD=30°,因为

=cos30°,所以AB=

=

=4

.在Rt△ABC中,AC=AB×cos60°=4

×

=2

.17/2055.(吉林,13,3分)如图,四边形ABCD内接于☉O,∠DAB=130°,连接OC.点P是半径OC上任意

一点,连接DP,BP,则∠BPD可能为

度(写出一个即可).18/205答案60(答案不唯一,大于等于50且小于等于100即可)解析连接OB,OD,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠DAB+∠DCB=180°.∴∠DCB=180°-∠DAB=50°.∴∠DOB=2∠DCB=100°.∴50°≤∠BPD≤100°.评析本题考查圆内接四边形性质,圆周角定理,连接OB,OD,利用圆周角定理是关键,属容

易题.19/2056.(新疆乌鲁木齐,13,4分)设I为△ABC外心,若∠BIC=100°,则∠A度数为

.答案50°或130°解析当I在△ABC内部时,如图1,∠A=

∠BIC=50°;当I在△ABC外部时,如图2,∠A+

∠BIC=180°,∴∠A=130°.

图1图220/2057.(江苏南京,15,2分)如图,在☉O内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=

°.

答案215解析连接AO,CO,DO,则∠COD=2∠CAD=70°,又因为∠B=

(∠AOD+∠COD),∠E=

(∠AOC+∠COD),所以∠B+∠E=

(∠AOD+∠COD+∠AOC+∠COD)=

×(360°+70°)=215°.评析本题考查同弧所正确圆周角与圆心角关系.21/2058.(陕西,16,3分)如图,☉O半径是2.直线l与☉O相交于A、B两点,M、N是☉O上两个动

点,且在直线l异侧.若∠AMB=45°,则四边形MANB面积最大值是

.

22/205答案4

解析连接OA,OB.四边形MANB面积最大值取决于三角形ABM和三角形ABN面积最大

值.当点M,N分别位于优弧AB和劣弧AB中点时,四边形MANB面积取最大值.连接MN,此时

MN为☉O直径,故MN=4,∵∠AMB=45°,∴∠AOB=90°,所以AB=

OA=2

.故四边形MANB面积最大值为

AB·MN=

×2

×4=4

.23/2059.(福建,24,12分)已知四边形ABCD是☉O内接四边形,AC是☉O直径,DE⊥AB,垂足为E.(1)延长DE交☉O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB;(2)过点B作BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE左侧,如图2.若AB=

,DH=1,∠OHD=80°,求∠BDE大小.

图1图224/205解析(1)证实:∵AC是☉O直径,∴∠ABC=90°.又∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.∴∠DEA=∠ABC,∴BC∥DF,∴∠F=∠PBC.∵四边形BCDF是圆内接四边形,∴∠F+∠DCB=180°,又∵∠PCB+∠DCB=180°,∴∠F=∠PCB,∴∠PBC=∠PCB,∴PC=PB.(2)连接OD,∵AC是☉O直径,∴∠ADC=90°,

25/205又∵BG⊥AD,∴∠AGB=90°,∴∠ADC=∠AGB,∴BG∥DC.又由(1)知BC∥DE,∴四边形DHBC为平行四边形,∴BC=DH=1.在Rt△ABC中,AB=

,tan∠ACB=

=

,∴∠ACB=60°,∠CAB=30°.从而BC=

AC=OD,∴DH=OD.在等腰三角形DOH中,∠DOH=∠OHD=80°,∴∠ODH=20°.设DE交AC于N.∵BC∥DE,∴∠ONH=∠ACB=60°.∴∠NOH=180°-(∠ONH+∠OHD)=40°,∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°,∴∠CBD=∠OAD=20°.∵BC∥DE,∴∠BDE=∠CBD=20°.26/205一题多解(1)证实:易证DF∥BC,从而CD=BF,且

=

=1,∴PB=PC.(2)连接OD,设∠BDE=x,则∠EBD=90°-x,易证四边形BCDH为平行四边形,∴BC=DH=1,∵AB=

,∴∠CAB=30°,AC=2,∴∠ADB=∠ACB=60°,∵OD=OA=1=DH,∴∠ODH=180°-2∠OHD=180°-2×80°=20°,∴∠OAD=∠ODA=∠ADB-(∠ODH+x)=60°-(20°+x)=40°-x.又∵∠AOD=2∠ABD,∴180°-2(40°-x)=2(90°-x),解得x=20°,即∠BDE=20°.解后反思本题考查圆相关性质、等腰三角形判定与性质、平行线判定与性质、平

行四边形判定与性质、解直角三角形等基础知识,考查运算能力、推理能力、空间观念与

几何直观,考查化归与转化思想.27/20510.(安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD

于BC,过点C作CE∥AD交△ABC外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO,求证:CO平分∠BCE.

28/205证实(1)∵∠B=∠D,∠B=∠E,∴∠D=∠E.∵CE∥AD,∴∠E+∠DAE=180°.∴∠D+∠DAE=180°.∴AE∥DC.∴四边形AECD是平行四边形.

(5分)(2)过点O作OM⊥EC,ON⊥BC,垂足分别为M、N.∵四边形AECD是平行四边形,∴AD=EC.又AD=BC,∴EC=BC,∴OM=ON,∴CO平分∠BCE.

(10分)思绪分析(1)依据“在同一个圆中同一段弧所正确圆周角相等”可推出∠E=∠B,再由∠D=

∠B,CE∥AD可推出AE∥DC,问题得证;(2)作OM⊥CE,ON⊥BC,垂足分别为M、N,由已知及(1)

得出CE=BC,再依据“同一个圆内等弦对应弦心距相等”可得OM=ON,从而由角平分线

判定定理可得结论.解题关键抓住“在同一个圆中同一段弧所正确圆周角相等及同圆内等弦对应弦心距相

等”是处理本题关键.29/2051.(福建,9,4分)如图,AB是☉O直径,BC与☉O相切于点B,AC交☉O于点D.若∠ACB=50°,

则∠BOD等于

()

A.40°

B.50°

C.60°

D.80°考点二与圆相关位置关系30/205答案

D由BC与☉O相切于点B,可得∠ABC=90°,由三角形内角和为180°及∠ACB=50°可得

∠BAC=40°,由OA=OD得∠ODA=∠BAC=40°,由三角形一个外角等于与它不相邻两个内

角和可得∠BOD=∠ODA+∠OAD=80°.31/2052.(吉林,6,2分)如图,直线l是☉O切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交☉O于点C.若

AB=12,OA=5,则BC长为

()

A.5

B.6

C.7

D.8答案

D因为AB是圆O切线,所以OA⊥AB,由勾股定理可得,OB=13,又因为OC=5,所以BC=

OB-OC=13-5=8,故选D.32/2053.(重庆,9,4分)如图,AB是☉O直径,点C在☉O上,AE是☉O切线,A为切点,连接BC并延

长交AE于点D.若∠AOC=80°,则∠ADB度数为

()

A.40°

B.50°

C.60°

D.20°答案

B∵AE是☉O切线,∴∠BAE=90°,∵∠B=

∠AOC=40°,∴∠ADB=90°-∠B=50°,故选B.33/2054.(江苏南京,6,2分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与☉O相切于E、

F、G三点,过点D作☉O切线交BC于点M,切点为N,则DM长为

()

A.

B.

C.

D.2

答案

A在矩形ABCD中,☉O分别与边AD、AB、BC相切,又DM为☉O切线,所以由切线

长定理得AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知BG=2,DN=3,设MN=MG=x,在Rt△DCM中,

DM2=MC2+DC2,即(3+x)2=(3-x)2+42,解得x=

,则DM=3+

=

.故选A.34/2055.(天津,7,3分)如图,AB是☉O弦,AC是☉O切线,A为切点,BC经过圆心,若∠B=25°,则

∠C大小等于

()

A.20°

B.25°

C.40°

D.50°答案

C连接OA,☉O中,OA=OB,所以∠B=∠BAO=25°,因为∠AOC是△OAB外角,所以∠

AOC=∠B+∠BAO=50°,又因为AC是☉O切线,所以OA⊥AC,在Rt△OAC中,∠C=90°-∠AOC

=40°,故选C.

35/2056.(安徽,12,5分)如图,菱形ABOC边AB,AC分别与☉O相切于点D,E.若点D是AB中点,

则∠DOE=

°.

答案60解析∵AB,AC分别与圆O相切于点D,E,∴OD⊥AB,OE⊥AC,在菱形ABOC中,AB=BO,∵点D

是AB中点,∴BD=

AB=

BO,∴∠BOD=30°,∴∠B=60°,又∵OB∥AC,∴∠A=120°,∴在四边形ADOE中,∠DOE=360°-90°-90°-120°=60°.解题关键由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题关键.36/2057.(黑龙江哈尔滨,18,3分)如图,AB为☉O直径,直线l与☉O相切于点C,AD⊥l,垂足为D,

AD交☉O于点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC长为

.

37/205答案4解析设OC与BE相交于点F,∵AB是☉O直径,∴∠AEB=90°,∵AO=5,∴AB=10.在Rt△AEB中,AE=6,∴BE=

=8.∵直线l是☉O切线,∴OC⊥CD,又∵AD⊥CD,AE⊥EB,∴四边形CDEF为矩形,∴DC=EF=

BE=4.

38/2058.(浙江宁波,17,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点☉O与BC边相切于

点E,则☉O半径为

.

39/205答案

解析连接EO,并延长交AD于点H,连接AO.

∵四边形ABCD是矩形,☉O与BC边相切于点E,∴EH⊥BC,∵AD∥BC,∴EH⊥AD.依据垂径定理,得AH=DH.∵AB=8,AD=12,∴AH=6,HE=8.设☉O半径为r,则AO=r,OH=8-r.在Rt△OAH中,由勾股定理得(8-r)2+62=r2,解得r=

.∴☉O半径为

.40/2059.(天津,21,10分)已知AB是☉O直径,弦CD与AB相交,∠BAC=38°.(1)如图①,若D为 中点,求∠ABC和∠ABD大小;(2)如图②,过点D作☉O切线,与AB延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD大小.

41/205解析(1)∵AB是☉O直径,∴∠ACB=90°.∴∠BAC+∠ABC=90°.又∠BAC=38°,∴∠ABC=90°-38°=52°.由D为 中点,得 = .∴∠ACD=∠BCD=

∠ACB=45°.∴∠ABD=∠ACD=45°.(2)如图,连接OD.

42/205∵DP切☉O于点D,∴OD⊥DP,即∠ODP=90°.由DP∥AC,又∠BAC=38°,∴∠P=∠BAC=38°.∵∠AOD是△ODP外角,∴∠AOD=∠ODP+∠P=128°.∴∠ACD=

∠AOD=64°.又OA=OC,得∠ACO=∠BAC=38°.∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=64°-38°=26°.思绪分析(1)依据直径所正确圆周角是直角,等弧所正确圆周角相等能够求解;(2)连接OD,根

据平行线性质,圆切线性质求得∠P,∠AOD度数,即可求得∠OCD大小.43/20510.(内蒙古呼和浩特,24,9分)如图,点A,B,C,D是直径为AB☉O上四个点,C是劣弧 中点,AC与BD交于点E.(1)求证:DC2=CE·AC;(2)若AE=2,EC=1,求证:△AOD是正三角形;(3)在(2)条件下,过点C作☉O切线,交AB延长线于点H,求△ACH面积.

44/205解析(1)证实:∵C是劣弧 中点,∴∠DAC=∠CDB,又∵∠ACD=∠DCE,∴△ACD∽△DCE,∴

=

,∴DC2=CE·AC.(2)证实:∵AE=2,CE=1,∴AC=3,∴DC2=3,∴DC=

,如图,连接OC,

45/205∵C是劣弧 中点,∴OC平分∠DOB,∴BC=DC=

,∵AB是☉O直径,∴AB=

=2

,∴OB=OC=OD=

,∴∠BOD=120°,∴∠DOA=60°,又∵OA=OD,∴△AOD是正三角形.(3)∵CH是☉O切线,∴OC⊥CH,∵∠COH=60°,∴∠H=30°,∠CAB=30°,∴CH=AC=3,∴S△ACH=

×3

×

=

.46/20511.(广西南宁,23,8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆

心,OB为半径圆经过点D,交BC于点E.(1)求证:AC是☉O切线;(2)若OB=10,CD=8,求BE长.

47/205解析(1)证实:连接OD,

(1分)∵BD平分∠ABC,∴∠OBD=∠CBD.∵点B,D在☉O上,∴OB=OD,∴∠ODB=∠OBD,∴∠ODB=∠CBD,∴OD∥BC.

(3分)∴∠ODA=∠C=90°,∴OD⊥AC.

(4分)又∵点D在☉O上,∴AC是☉O切线.

(5分)

(2)过点O作OF⊥BC于点F,∴BF=EF,∠OFC=90°.

(6分)48/205又∵∠C=∠ODC=90°,∴四边形CDOF是矩形.∴OF=CD=8,

(7分)在Rt△BOF中,BF=

=

=6,∴BE=2BF=12.

(8分)49/205考点一圆相关概念及性质C组

教师专用题组1.(湖北武汉,10,3分)如图,在☉O中,点C在优弧

上,将弧 折叠后刚好经过AB中点D.若☉O半径为

,AB=4,则BC长是

()

A.2

B.3

C.

D.

50/205答案

B连接AO,并延长交☉O于点D',则∠ABD'=90°.连接BD',CD',DD',DD'交BC于点E,连接

OD,OB,OC,∵D为AB中点,∴OD⊥AB,∵AB=4,∴BD=

AB=2,∵OB=

,∴OD=

=1,∴BD'=2OD=2,即BD=BD',显然点D与点D'关于直线BC对称.∵∠ABD'=90°,∴∠ABC=∠

CBD'=45°,依据圆周角定理得∠AOC=90°,∴∠D'OC=90°,∴CD'=

OC=

,∵∠CBD'=45°,BD'=2,∴BE=ED'=

,依据勾股定理得CE=

=2

,∴BC=BE+CE=3

,故选B.

方法指导在求解包括圆性质问题时,通常利用垂径定理或圆周角定理得到相等线段

或角或垂直关系,求解过程中常需作适当辅助线结构直角三角形,利用勾股定理等知识进行

求解.51/2052.(陕西,9,3分)如图,△ABC是☉O内接三角形,∠C=30°,☉O半径为5.若点P是☉O上

一点,在△ABP中,PB=AB,则PA长为

()

A.5

B.

C.5

D.5

52/205答案

D连接OB、OA、OP,

∵∠C=30°,∴∠AOB=60°,∵OA=OB,∴△OAB是等边三角形,∴AB=5.∵PB=AB=OA=OP,∴OB

⊥AP,∴AP=2AB·cos30°=2×5×cos30°=2×5×

=5

.故选D.53/2053.(福建,8,4分)如图,AB是☉O直径,C,D是☉O上位于AB异侧两点.以下四个角中,一定

与∠ACD互余角是

()

A.∠ADC

B.∠ABD

C.∠BAC

D.∠BAD答案

D∵AB是☉O直径,∴∠ADB=90°,∴∠BAD+∠B=90°,易知∠ACD=∠B,∴∠BAD+

∠ACD=90°,故选D.54/2054.(山东临沂,8,3分)如图,A,B,C是☉O上三个点,若∠AOC=100°,则∠ABC等于

()

A.50°

B.80°

C.100°

D.130°55/205答案

D如图,在优弧AC上任取一点D,连接AD、CD.∵∠AOC=100°,∴∠ADC=

∠AOC=50°.∵∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ABC=180°-50°=130°.故选D.

56/2055.(浙江绍兴,8,4分)如图,四边形ABCD是☉O内接四边形,☉O半径为2,∠B=135°,则

 长是

()

A.2πB.πC.

D.

57/205答案

B因为四边形ABCD是☉O内接四边形,∠B=135°,所以∠D=45°.连接OA、OC,则∠AOC=2∠D=90°,所以

长是

=π,故选B.

58/2056.(上海,6,4分)如图,已知在☉O中,AB是弦,半径OC⊥AB,垂足为点D,要使四边形OACB为

菱形,还需添加一个条件,这个条件能够是

()

A.AD=BD

B.OD=CDC.∠CAD=∠CBD

D.∠OCA=∠OCB答案

B依据垂径定理知OD垂直平分AB,所以添加OD=CD,即可判定四边形OACB是菱形,

故选B.59/2057.(内蒙古呼和浩特,6,3分)已知☉O面积为2π,则其内接正三角形面积为

()A.3

B.3

C.

D.

60/205答案

C如图所表示,连接OB、OC,过O作OD⊥BC于D,∵☉O面积为2π,∴☉O半径为

.∵△ABC为正三角形,∴∠BOC=2×60°=120°,∴∠BOD=

∠BOC=60°.∵OB=

,∴BD=OB·sin∠BOD=

·sin60°=

,OD=OB·cos∠BOD=

·cos60°=

,∴BC=2BD=

,∴△BOC面积=

·BC·OD=

×

×

=

,∴△ABC面积=3S△BOC=3×

=

.故选C.评析本题考查三角形外接圆与外心,属轻易题.61/2058.(江苏镇江,16,3分)如图,△ABC内接于半径为5☉O,圆心O到弦BC距离等于3,则∠A

正切值等于

()

A.

B.

C.

D.

62/205答案

D连接CO并延长交☉O于点D,则CD为☉O直径,连接BD,作OE⊥BC交BC于点E,依题意可得BD=2OE=6,又CD=2×5=10,

所以BC=

=8,所以tanD=

=

=

.又因为∠A=∠D,所以tanA=

,故选D.评析本题综合考查圆周角定理,垂径定理,解直角三角形等相关知识,属中等难度题.63/2059.(北京,12,2分)如图,点A,B,C,D在☉O上, = ,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=

°.

答案70解析∵ = ,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.64/20510.(内蒙古呼和浩特,12,3分)同一个圆内接正方形和正三角形边心距比为

.答案

∶1解析设圆半径为r,则内接正方形边心距为

r,内接正三角形边心距为

r,故

r∶

r=

∶1.65/20511.(北京,14,3分)如图,AB为☉O直径,C,D为☉O上点,

= .若∠CAB=40°,则∠CAD=

°.

66/205答案25解析连接BC,BD,∵AB为☉O直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°.∵

=

,∴∠ABD=∠CBD=

∠ABC=25°,∴∠CAD=∠CBD=25°.

67/20512.(山东青岛,11,3分)如图,AB是☉O直径,C,D是☉O上两点,若∠BCD=28°,则∠ABD=

°.

答案62解析∵AB是☉O直径,∴∠ACB=90°.∵∠BCD=28°,∴∠ACD=90°-28°=62°,∴∠ABD=∠ACD=62°.68/20513.(湖南长沙,16,3分)如图,在☉O中,弦AB=6,圆心O到AB距离OC=2,则☉O半径长为

.

答案

解析由题意得OC⊥AB,∴AC=BC=

AB=3,在Rt△OCA中,OA=

=

=

.∴☉O半径长为

.评析本题考查了垂径定理、勾股定理,属轻易题.69/20514.(江苏南京,13,2分)如图,扇形AOB圆心角为122°,C是 上一点,则∠ACB=

°.

答案119解析如图,在扇形AOB所在圆优弧AB上取一点D,连接DA,DB.∵∠AOB=122°,∴∠D=61°,∵∠ACB+∠D=180°,∴∠ACB=119°.

70/20515.(重庆,15,4分)如图,OA,OB是☉O半径,点C在☉O上,连接AC,BC.若∠AOB=120°,则∠

ACB=

度.

答案60解析依据圆周角定理,知∠ACB=

∠AOB=

×120°=60°.71/20516.(内蒙古包头,18,3分)如图,☉O是△ABC外接圆,AD是☉O直径,若☉O半径是4,

sinB=

,则线段AC长为

.

答案2解析连接CD,在☉O中,因为AD为直径,所以∠ACD=90°,因为∠B=∠D,所以AC=AD·sinD=8

×

=2.72/20517.(江西南昌,10,3分)如图,点A,B,C在☉O上,CO延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则

∠ADC度数为

.

答案110°解析在☉O中,∠BOC=2∠A=2×50°=100°,所以∠DOB=180°-∠BOC=180°-100°=80°,所以∠ADC=∠B+∠DOB=30°+80°=110°.评析本题考查同弧所正确圆周角与圆心角关系、三角形内角和定理推论,属轻易题.73/20518.(上海,17,4分)在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,点A在☉B上.假如☉D与☉B相交,且点B在

☉D内,那么☉D半径长能够等于

.(只需写出一个符合要求数)答案14(大于13且小于18数)解析由题意可知☉B半径长为5,BD=13,由点B在☉D内,得☉D半径长r>13.又☉B与☉D

相交,所以8<r<18,所以13<r<18,我们取数字在这个范围内就能够了.评析本题重点考查点与圆之间位置关系,圆与圆之间位置关系,题目虽小,但知识点众

多,需要学生有较强综合应用能力,属于中等难度题.74/20519.(湖北黄冈,14,3分)如图,在☉O中,弦CD垂直于直径AB于点E,若∠BAD=30°,且BE=2,则

CD=

.

答案4

解析连接OD,则OA=OD,所以∠ODA=∠OAD=30°,因为∠BOD是△OAD外角,所以∠BOD

=∠ODA+∠OAD=60°,所以∠ODE=30°,在Rt△ODE中,设OE=x,则OD=2OE=2x,因为OB=OD,所

以2x=x+2,所以x=2,所以OE=2,OD=4,依据勾股定理得,DE=2

.因为AB是直径,AB⊥CD,所以依据垂径定理可知,CD=2DE=4

.75/20520.(江苏扬州,15,3分)如图,以△ABC边BC为直径☉O分别交AB、AC于点D、E,连接

OD、OE,若∠A=65°,则∠DOE=

°.

答案50解析因为∠A=65°,所以∠B+∠C=115°,因为BO=OD,CO=EO,所以∠BDO=∠B,∠OEC=∠C,

所以∠BDO+∠OEC=∠B+∠C=115°,所以∠ADO+∠AEO=(180°-∠BDO)+(180°-∠OEC)=360°

-(∠BDO+∠OEC)=245°.在四边形ADOE中,∠DOE=360°-∠A-(∠ADO+∠AEO)=50°.76/20521.(安徽,20,10分)如图,☉O为锐角△ABC外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC平分线,并标出它与劣弧 交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中点E到弦BC距离为3,求弦CE长.

77/205解析(1)尺规作图如图所表示.

(4分)

(2)连接OE交BC于M,连接OC.因为∠BAE=∠CAE,所以

= ,易得OE⊥BC,所以EM=3.Rt△OMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.Rt△EMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30,所以弦CE长为

.

(10分)思绪分析对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由∠BAE=∠CAE可得

= ,可推出OE⊥BC,最终利用勾股定理求出CE.78/20522.(上海,25,14分)如图,已知☉O半径长为1,AB、AC是☉O两条弦,且AB=AC,BO延

长线交AC于点D,连接OA、OC.(1)求证:△OAD∽△ABD;(2)当△OCD是直角三角形时,求B、C两点距离;(3)记△AOB、△AOD、△COD面积分别为S1、S2、S3,假如S2是S1和S3百分比中项,求OD

长.

备用图79/205解析(1)证实:∵AB=AC,OB=OA,OA=OC,∴△OAB≌△OCA.∴∠B=∠OAC,∵∠ADO=∠BDA,∴△OAD∽△ABD.(2)△OCD为直角三角形有两种情况:①如图,当∠ODC=90°时,OD⊥AC,∴BD垂直平分AC,∴AB=CB.∴△ABC为等边三角形,此时BC=AC=2DC=2OCcos30°=

.

②如图,当∠COD=90°时,△BOC是等腰直角三角形,此时BC=

OC=

.80/205

(3)∵AB=AC,∴O到弦AB,AC距离相等,∴S1∶S2∶S3=AB∶AD∶DC.由题意知S1·S3=

,∴AD2=AB·DC.∴AD2=AC·DC,∴AD=

AC,即

=

.又由(1)中相同可知

=

=

.∴OD=

.81/20523.(宁夏,23,8分)已知△ABC,以AB为直径☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2

,求CD长.

82/205解析(1)证实:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C,又∵四边形ABED是☉O内接四边形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.

(4分)(2)连接AE,则AE⊥BC,

∴BE=EC=

BC,在△ABC与△EDC中,∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,

(6分)83/205∴

=

,得DC=

=

,由AB=4,BC=2

,得DC=

=

.

(8分)评析本题考查圆内接四边形性质,三角形相同判定与性质.属中等题.84/20524.(福建福州,24,12分)如图,正方形ABCD内接于☉O,M为 中点,连接BM,CM.(1)求证:BM=CM;(2)当☉O半径为2时,求 长.

解析(1)证实:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,∴

= .∵M为 中点,∴ = ,∴

= ,∴BM=CM.85/205(2)连接OM,OB,OC.∵

= ,∴∠BOM=∠COM.∵正方形ABCD内接于☉O,∴∠BOC=

=90°.∴∠BOM=135°.由弧长公式,得

长l=

=

π.86/20525.(安徽,20,10分)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP

⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ长;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长最大值.

87/205解析(1)∵OP⊥PQ,PQ∥AB,∴OP⊥AB.在Rt△OPB中,OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=

.

(3分)如图,连接OQ,在Rt△OPQ中,

PQ=

=

=

.

(5分)(2)∵PQ2=OQ2-OP2=9-OP2,∴当OP最小时,PQ最大.此时,OP⊥BC.

(7分)OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=

.∴PQ长最大值为

=

.

(10分)88/2051.(辽宁沈阳,11,4分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,以3cm为半径作☉A,

当AB=

cm时,BC与☉A相切.考点二与圆相关位置关系答案6解析作AD⊥BC于点D.当BC与☉A相切时,AD=3cm.在Rt△ABD中,AD=3cm,∠B=30°,∴AB=

=6cm.∴当AB=6cm时,BC与☉A相切.89/2052.(浙江绍兴,14,5分)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,点P在以C为圆心,5为半径圆

上,连接PA,PB.若PB=4,则PA长为

.答案3或

解析由题意可知点P是以C为圆心,5为半径圆和以B为圆心,4为半径圆交点,连接BP1,

CP1,因为B

+BC2=C

,所以CB⊥BP1,同理,CB⊥BP2,所以B,P1,P2三点共线,因为AC⊥BC,BC⊥BP1,AC=BP1=4,所以四边形ACBP1是矩形,所以AP1=3,在Rt△AP1P2中,由勾股定理得AP2=

=

.

90/2053.(浙江温州,16,5分)如图,在矩形ABCD中,AD=8,E是边AB上一点,且AE=

AB.☉O经过点E,与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角),与边AB所在直线相交于另一点F,且EG∶EF

=

∶2.当边AD或BC所在直线与☉O相切时,AB长是

.答案4或1291/205解析如图,连接EO,连接GO并延长,交EF于N点,则GN⊥AB.∴EN=NF.又∵EG∶EF=

∶2,∴EG∶EN=

∶1.又∵GN=AD=8,∴设EN=x,则GE=

x,依据勾股定理得(

x)2-x2=64,解得x=4,∴GE=4

.设☉O半径为r,由OE2=EN2+ON2得r2=16+(8-r)2,∴r=5.设BC所在直线与☉O相切于K点,连接OK.∴OK=NB=5,∴EB=9.又AE=

AB,∴AB=12.当AD与☉O相切时,同理可求出AB=4.评析本题考查了切线性质以及勾股定理和垂径定理综合应用,解答本题关键在于正

确添加辅助线,并进行分类讨论,利用勾股定理求出对应圆半径.92/2054.(陕西,23,8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上中线CD为直径作☉O,分别

与AC、BC相交于点M,N.(1)过点N作☉O切线NE与AB相交于点E,求证:NE⊥AB;(2)连接MD,求证:MD=NB.

93/205解析(1)连接ON,则OC=ON.∴∠DCB=∠ONC.∵在Rt△ABC中,D为斜边AB中点,∴CD=DB,∴∠DCB=∠B,∴∠ONC=∠B,∴ON∥AB.

(2分)∵NE是☉O切线,∴NE⊥ON,∴NE⊥AB.

(4分)(2)连接ND,则∠CND=∠CMD=90°.∵∠ACB=90°,∴四边形CMDN是矩形,

(6分)∴MD=CN.94/205由(1)知,CD=BD,∴CN=NB,∴MD=NB.

(8分)

思绪分析(1)连接ON,由OC=ON可得∠DCB=∠ONC,依据直角三角形斜边上中线等于斜

边二分之一得出CD=DB,进而得出∠DCB=∠B,再推出ON∥AB,然后依据切线性质得出ON⊥

NE,最终得到结论;(2)依据圆周角定理可得∠CND=∠CMD=90°,进而判断四边形CMDN为矩

形,得出MD=CN,然后依据等腰三角形三线合一推出CN=NB,从而得到结论.解题技巧针对含有切线解答题,首先要想到是作“辅助线”,由此取得更多能够证实题

目要求条件.普通作“辅助线”方法为“见切点,连圆心”,从而结构直角(垂直),然后利用

切线性质及其它几何知识进行证实或计算.95/2055.(江西,20,8分)如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切

于点C,过点A作AD⊥BO交BO延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.(1)求证:AB为☉O切线;(2)若BC=6,tan∠ABC=

,求AD长.

96/205解析(1)证实:过点O作OE⊥AB于点E,即∠OEB=90°.∵BC切☉O于点C,∴∠OCB=∠OEB=90°.∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°.∵∠AOD=∠BOC,∴∠CBD=∠OAD.∵∠D=90°,∠AOD=∠BAD,∴∠OAD=∠ABD,∴∠ABD=∠CBO.∴OE=OC.∴AB为☉O切线.(2)∵BC=6,tan∠ABC=

,∠ACB=90°,∴AC=BC·tan∠ABC=8.∴AB=

=10.∵AB与BC均为☉O切线,∴BE=BC=6.∴AE=AB-BE=10-6=4.设OC=OE=x,则在Rt△AEO中,有(8-x)2=42+x2,解得x=3.∴OB=

=

=3

.97/205∵S△BOA=

AB·OE=

BO·AD,∴AB·OE=BO·AD.∴10×3=3

AD,∴AD=2

.

98/205思绪分析(1)过点O作OE⊥AB,先由∠BCO=∠D=90°及∠AOD=∠BOC求得∠CBD=∠OAD,

再由∠AOD=∠BAD推出∠ABD=∠OAD,进而得到∠ABD=∠CBO,继而证实OE=OC,最终得证

AB为☉O切线;(2)先求得AC=8,AB=10,由切线长定理可知BE=BC=6,AE=4,在Rt△AOE中依据勾股定理求得

OE=3,最终利用等面积法求得AD长.方法指导证实圆切线时,能够分以下情况证实:①若已知直线与圆公共点,则采取判定定理法,其基本思绪是:连接该点与圆心,证实这条半

径与直线垂直即可,可简述为有切点,连半径,证垂直.②若直线与圆交点未知,则采取数量关系法,其基本思绪是:过圆心作直线垂线段,证实垂

线段长等于圆半径,可简述为无切点,作垂线,证相等.99/2056.(辽宁沈阳,22,10分)如图,BE是☉O直径,点A和点D是☉O上两点,过点A作☉O切

线交BE延长线于点C.(1)若∠ADE=25°,求∠C度数;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径长.

100/205解析(1)连接OA,

∵AC为☉O切线,OA是☉O半径,∴OA⊥AC,∴∠OAC=90°,∵∠ADE=25°,∴∠AOE=2∠ADE=50°,∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵ = ,101/205∴∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C,∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,∴3∠C=90°,∴∠C=30°,∵∠OAC=90°,∴OA=

OC,设☉O半径为r,∵CE=2,∴r=

(r+2),∴r=2,∴☉O半径为2.102/2057.(北京,22,5分)如图,AB是☉O直径,过☉O外一点P作☉O两条切线PC,PD,切点分别

为C,D,连接OP,CD.(1)求证:OP⊥CD;(2)连接AD,BC,若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求OP长.

103/205解析(1)证实:∵PC,PD是☉O两条切线,∴PD=PC,∠OPD=∠OPC,∴OP⊥CD.(2)设OP与CD交于点Q,连接OD.104/205∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD=50°,∵∠CBA=70°,∴∠ADC=110°,∴∠ODC=60°.又∵OP⊥CD,∴∠OQD=90°,∴OQ=OD·sin60°=2×

=

,DQ=OD·cos60°=1.∵PD是切线,∴∠PDO=90°,∴∠PDC=30°,∴PQ=DQ·tan30°=1×

=

.∴OP=PQ+QO=

.思绪分析本题第(1)问能够经过切线相关定理和等腰三角形“三线合一”来处理.本题第

(2)问需要添加辅助线结构三角形来推导角度数,借助特殊角三角函数处理问题.105/2058.(新疆乌鲁木齐,23,10分)如图,AG是∠HAF平分线,点E在AF上,以AE为直径☉O交

AG于点D,过点D作AH垂线,垂足为点C,交AF于点B.(1)求证:直线BC是☉O切线;(2)若AC=2CD,设☉O半径为r,求BD长度.

106/205解析(1)证实:连接OD,∵AG是∠HAF平分线,∴∠CAD=∠BAD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,∵∠ACD=90°,∴∠ODB=∠ACD=90°,即OD⊥CB,∵D在☉O上,∴直线BC是☉O切线.

(4分)

(2)在Rt△ACD中,设CD=a(a>0),则AC=2a,AD=

a,连接DE,∵AE是☉O直径,∴∠ADE=90°,107/205由∠CAD=∠BAD,∠ACD=∠ADE=90°,得△ACD∽△ADE,∴

=

,即

=

,∴a=

r,由(1)知,OD∥AC,∴

=

,即

=

,∵a=

r,∴BD=

r.

(10分)思绪分析(1)连接OD,利用平行线判定以及等腰三角形性质证实OD∥AC,从而证实直

线BC是圆O切线;(2)连接DE,由AE是圆O直径可推∠ADE=90°,深入可证△ACD∽△ADE,再结合(1)列等式即可求出BD长.108/2059.(云南昆明,21,8分)如图,AB是☉O直径,ED切☉O于点C,AD交☉O于点F,AC平分∠

BAD,连接BF.(1)求证:AD⊥ED;(2)若CD=4,AF=2,求☉O半径.

109/205解析(1)证法一:连接OC.

(1分)∵ED切☉O于点C,∴OC⊥DE,∴∠OCE=90°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠DAC,∴∠OCA=∠DAC,

(3分)∴OC∥AD,∴∠D=∠OCE=90°,∴AD⊥ED.

(4分)证法二:连接OC,

(1分)∵ED切☉O于点C,110/205∴OC⊥DE,∴∠OCD=90°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠DAC,∴∠OCA=∠DAC,

(3分)∵∠OCA+∠ACD=90°,∴∠DAC+∠ACD=90°,∴∠D=90°,∴AD⊥ED.

(4分)

111/205(2)解法一:设线段OC与BF交点为H.∵AB是☉O直径,∴∠AFB=∠HFD=90°,

(5分)∵∠OCD=∠D=90°,∴四边形HFDC是矩形,∴∠CHF=90°,即OC⊥BF,FH=DC=4,

(6分)∴FB=2FH=8.

(7分)在Rt△BFA中,∠AFB=90°,AF=2,由勾股定理可得AB=

=

=2

,∴☉O半径为

.

(8分)解法二:过点O作ON⊥AF于点N.

(5分)∵OC⊥DE,AD⊥ED,∴∠OND=∠D=∠OCD=90°,∴四边形ONDC是矩形,

(6分)112/205∴ON=CD=4,∵ON⊥AF,AF=2,∴AN=

AF=1.

(7分)在Rt△OAN中,∠ONA=90°,由勾股定理可得OA=

=

=

,∴☉O半径为

.

(8分)

思绪分析(1)连接OC,则OC⊥DE,由AC平分∠BAD及OA=OC,得∠OAC=∠DAC=∠OCA,从

而得OC∥AD或∠CAD+∠ACD=90°,进而证得AD⊥ED;(2)设线段OC与BF交点为H,则四边

形HFDC是矩形,从而得到FB=8,进而利用勾股定理求解即可,或过O作ON⊥AF于点N,则AN=1,

在矩形ONDC中,ON=CD=4,由勾股定理求解即可.解题关键本题考查了圆切线性质,勾股定理,矩形性质.第(2)问中解法二关键是过O

作ON⊥AF,结构矩形和直角三角形.113/20510.(北京,24,5分)如图,AB是☉O一条弦,E是AB中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作

☉O切线交CE延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12,BD=5,求☉O半径.

114/205解析(1)证实:∵BD是☉O切线,∴∠OBD=90°.∵CE⊥OA,∴∠ACE=90°.∴∠OBA+∠EBD=∠A+∠AEC=90°.∵OA=OB,∴∠A=∠OBA,∴∠EBD=∠AEC.又∵∠AEC=∠BED,∴∠BED=∠EBD,∴DB=DE.115/205(2