2021-2022学年江苏省淮安市洪泽区、金湖县九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2021-2022学年江苏省淮安市洪泽区、金湖县九年级第一学期期

末数学试卷

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）

1.已知一组数据：49,50,54,50,55,这组数据的众数是（）

A.49B.50C.54D.55

2.一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同.从布袋中任意摸1个

球，摸到红球的概率是（）

3.若方程g2+标-3=2d是关于x的一元二次方程，则相的取值范围是（）

A.m>0B.C.m^2D.-2

4.若a为方程炉+2芯-4=0的解，则层+2。-8的值为（）

A.2B.4C.-4D.-12

5.如图所示，在7X5的网格中，A、B、D、O均在格点上，则点。是△AB。的（）

A.外心B.重心C.中心D.内心

6.如图，是OO的直径，C。是OO的弦.ZCAB=50°,则/。=（）度.

7.已知二次函数y=（a-1）x2,当x<0时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是

（）

A.a>0B.a<lC.aWlD.a>l

8.根据关于x的一元二次方程d+px+qn。，可列表如下：

x0.511.11.21.31.4

j^+px+q-2.75-1-0.59-0.160.290.76

则方程尤2+px+q=0的正数解满足（）

A.解的整数部分是1,十分位是1

B.解的整数部分是1,十分位是2

C.解的整数部分是1,十分位是3

D.解的整数部分是1,十分位是4

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9.若尤1,X2是方程N+2x-3=0的两根，则X1+X2=.

10.如图，在OO内接四边形ABC。中，若NBCO=55°,则°.

2

11.计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：隆=][（X1-3）+（X2-3）2+…+（x8

O

-3）2],则这组数据的平均数是.

12.小丽参加了某电视台的招聘考试，她在采访写作、计算机操作、创意设计这三种测试中

的成绩分别是86分、75分、90分，如果这三种成绩按5：2：3计算，那么小丽的最终

得分为分.

13.将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的函数

表达式是.

14.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的

产量两年内从300千克增加到507千克.设平均每年增产的百分率为x,则可列方程

为.

15.如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽/为6米，则当水

面下降3米时，水面宽度为米.（结果保留根号）

16.如图(1),ZVIBC和△A8C是两个腰长不相等的等腰直角三角形，其中，ZA=ZA'

=90°.点8、C、B、C都在直线/上，ZXABC固定不动，将△A8C在直线/上自左向

右平移，开始时，点C与点2重合，当点8移动到与点C重合时停止.设△AEC移动

的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为》y与龙之间的函数关系如图(2)所示，则

BC的长是.

三、解答题(本题共11小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤)

17.解方程：

(1)x2-4x-45=0；

(2)5x(x+3)=3(x+3).

18.已知x=l时，二次三项式2%2-3〃忒+4的值等于3.

(1)求7"的值；

(2)是否存在x的值，使得这个二次三项式的值为-1?说明理由.

19.九(1)班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟仰卧起坐比赛，在

相同的条件下，分别对两名男生进行了七次一分钟仰卧起坐测试.并对数据进行收集、

整理：

甲乙两人得分表

序号1234567

甲(个分25353638404646

钟)

乙（个分30333740404244

钟）

下面给出两人测试成绩的统计图表.

甲乙两人得分统计表

平均数中位数众数

甲a3846

乙38b40

解答下列问题：

（1）a=,b=；

⑵从方差的角度看，的成绩较稳定（填“甲”或“乙”）；

（3）甲、乙都认为自己的成绩更好些，请直接结合统计图表中的信息分别写出他们的理

由.

甲乙两人得分折线统计图

20.将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子

中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求

下列事件发生的概率.

（1）取出的1张卡片数字恰为2的倍数的概率是；

（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“1”.（请用“画树状图”或“列

表”等方法写出分析过程）

21.张大伯家有一块长8米，宽6米的矩形菜地，现在将这块菜地长和宽都拓宽x米（如图

所示），如果要使拓宽后的矩形菜地的面积是原面积的冷，那么x应该为多少？

X

22.如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2）,制作这种外包装需要用如图

3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC,将扇形E4歹围成圆锥时，AE、AF恰

好重合，已知这种加工材料的顶角/BAC=90°.

（1）求图2中圆锥底面圆直径与母线AD长的比值；

（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积.（结

果保留TT）

23.如图是函数yi=-x?+4的部分图象.

（1）请补全函数图象；

（2）在右图的直角坐标系中直接画出刃=2彳+1的图象，然后根据图象回答下列问题:

①当x满足时，yi=y2,当x满足时，以＞”；

②当x的取值范围为时，两个函数中的函数值都随x的增大而增大？

24.如图，四边形。4EC是平行四边形，以。为圆心，0C为半径的圆交CE于£>,延长

C。交。。于B,连接A。、AB,AB是的切线.

(1)求证：是。。的切线.

(2)若。。的半径为4,AB=8,求平行四边形OAEC的面积.

25.直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行

直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品

售价每降低5元，日销售量增加10件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件.

(1)求y与x的函数表达式；

(2)当x为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

26.苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请

你和他一起完成问题探究.

【问题提出】如图1,点E,尸分别在方形ABC。中的边A。、上，且BE=CF,连接

BE、CF交于点、M,求证：BE±CF.请你先帮小明加以证明.

【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1,在边长为6。"的正方形ABCD中，

点E从点A出发，沿边AD向点D运动，同时，点厂从点2出发，沿边助向点A运动，

它们的运动速度都是2cm/s,当点E运动到点。时，两点同时停止运动，连接CF、BE

交于点设点E,尸运动时间为，秒.

(1)如图1,在点瓦厂的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径

长cm.

(2)如图2,连接CE,在点E、E的运动过程中.

①试说明点D在ACME的外接圆。。上；

②若①中的。。与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t的取值范围.

27.如图，二次函数y=-/+bx+c的图象与x轴交于点A、8,与〉轴交于点C.已知8(3,

0),C(0,4),连接BC.

(1)b=,c=：

(2)点M为直线BC上方抛物线上一动点，当△MBC面积最大时，求点M的坐标；

(3)①点P在抛物线上，若△P4C是以AC为直角边的直角三角形，求点P的横坐标；

②在抛物线上是否存在一点Q,连接AC,使NQBA=2NACO,若存在，直接写出点。

的横坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

参考答案

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）

1.已知一组数据：49,50,54,50,55,这组数据的众数是（）

A.49B.50C.54D.55

【分析】根据众数的定义求解即可.

解：这组数据中50出现2次，次数最多，

所以这组数据的众数是50,

故选：B.

2.一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同.从布袋中任意摸1个

球，摸到红球的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

3355

【分析】根据概率公式，用白球的个数除以球的总个数即可.

解：•••从放有3个红球和2个白球布袋中摸出一个球，共有5种等可能结果，其中摸出

的球是红球的有3种结果，

从布袋中任意摸出1个球，摸到红球的概率是!■.

5

故选：D.

3.若方程m/+4x-3=2/是关于尤的一元二次方程，则根的取值范围是（）

A.m>QB.C.m#2D.mW-2

【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的

整式方程.由定义求解即可.

解：；方程52+4%-3=2d是关于元的一元二次方程，

（m-2）x2+4x-3=0,

.*.m-2W0,

:・m手2,

故选：C.

4.若。为方程/+21-4=0的解，则次+2〃-8的值为（）

A.2B.4C.-4D.-12

【分析】将代入方程好+2%-4=0,求出层+2。=4,再代入所求代入式即可.

解：为方程/+2元-4=0的解，

・\〃2+2Q-4=0,

*+2〃=4,

-8=4-8=-4,

故选：C.

5.如图所示，在7X5的网格中，A、B、D、。均在格点上，则点。是△A3。的()

•:。-

A.外心B.重心C.中心D.内心

【分析】结合勾股定理求得。A,OB,0c的长，从而根据三角形外心的概念分析判断.

解：连接。4,OB,OC,

由题意可得：OA=V12+22=V5-

OB=y]12+2J='后

OD=712+22=''底

：.OA=OB=OD,

...点。是△ABO的外接圆的圆心，即外心，

故选：A.

6.如图，AB是OO的直径，C。是OO的弦.ZCAB=50°,则NO=()度.

【分析】根据圆周角定理得出/ACB=90°,求出NB=90°-ZCAB=4Qa,再根据圆

周角定理得出即可.

解：・・・A3是。。的直径,

ZACB=90°,

VZCAB=50°,

AZB=90°-ZCAB=40°,

・・・NO=N5=40°,

故选：B.

7.已知二次函数y=（4z-1）x2,当xVO时，y随x增大而减小，则实数〃的取值范围是

（）

A.a>0B.a<lC.D.a>\

【分析】根据当尤<0时，y随X增大而减小可得抛物线开口方向，进而求解.

解：’.•当x<0时，y随无增大而减小，

.•・抛物线开口向上，

・二4-1>0,

故选：D.

8.根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0,可列表如下:

X0.511.11.21.31.4

x1+px+q-2.75-1-0.59-0.160.290.76

则方程N+px+q=O的正数解满足（）

A.解的整数部分是1,十分位是1

B.解的整数部分是1,十分位是2

C.解的整数部分是1,十分位是3

D.解的整数部分是1,十分位是4

【分析】通过观察表格可得/+px+q=。时，1.2<x<1.3,即可求解.

解：由表格可知，

当无=1.2时，x2+px+q<0,

当x=1.3时，x~+px+q>Q,

.,.x2+px+4=0时，1.2<x<1.3,

•••解的整数部分是1,十分位是2,

故选：B.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9.若xi,尤2是方程炉+2尤-3=0的两根，则为+尤2=-2.

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系为+无2=直接代入计算即可.

解：•.,制，入2是方程12+21-3=0的两根，

.*.X1+X2--2；

故答案为：-2.

10.如图，在。。内接四边形A8C0中，若NBCD=55°,则N0A3=125

B

【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论.

解：•・•四边形A8CD是。。的内接四边形，

AZBCD+ZDAB=1SO°,

VZBCD=55°,

AZDAB=180°-ZBCD=125°,

故答案为：125.

11.计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：群=][（X1-3）2+（X2-3）2+…+（班

8

-3）2],则这组数据的平均数是3.

【分析】根据方差的计算公式即可得出答案.

22

解：VS=—[（xi-3）2+（尤2-3）2+…+（%8-3）],

8

这组数据的平均数是3,

故答案为：3.

12.小丽参加了某电视台的招聘考试，她在采访写作、计算机操作、创意设计这三种测试中

的成绩分别是86分、75分、90分，如果这三种成绩按5：2：3计算，那么小丽的最终

得分为85分.

【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可.

解：小丽的最终得分为86X5+15j?+90X3=85(分)，

5+2+3

故答案为：85.

13.将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的函数

表达式是y=(x-2)2+1.

【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可.

解：将抛物线y=/向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的函

数表达式是y=(x-2)2+1,

故答案为：尸(x-2)2+1,

14.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的

产量两年内从300千克增加到507千克.设平均每年增产的百分率为x,则可列方程为

300(1+x)2=507.

【分析】根据两年内从300千克增加到507千克，即可得出关于x的一元二次方程，此

题得解.

解：平均每年增产的百分率为X,

根据题意得，300(1+x)2=507,

故答案为：300(1+x)2=507.

15.如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽/为6米，则当水

面下降3米时，水面宽度为」米.(结果保留根号)

【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线的解析式，利用待定系数法求出解

析式，根据题意计算可得结果.

解：建立平面直角坐标系如图所示：

则抛物线顶点的坐标为（0,3）,

设抛物线的解析式为>=加+3,

将A点坐标（-3,0）代入，

可得：0=9a+3,

解得：a=-X

O

故抛物线的解析式为尸-宗+3,

将尸-3代入抛物线解析式得出：-3=-字2+3,

解得：％=±3F，

所以水面宽度为6y米，

故答案为：6近.

16.如图（1）,△ABC和△A8C是两个腰长不相等的等腰直角三角形，其中，ZA=ZA'

=90°.点笈、C\B、C都在直线/上，ZVIBC固定不动，将△ABC1在直线/上自左向

右平移，开始时，点C与点8重合，当点F移动到与点C重合时停止.设△AFC移动

的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,y与％之间的函数关系如图（2）所示，则

BC的长是6.

【分析】在点夕到达B之前，重叠部分的面积在增大，当点9到达B点以后，且点C

到达C以前，重叠部分的面积不变，之后在⑶到达C之前，重叠部分的面积开始变小，

由此可得出B'C的长度为a,BC的长度为4+4.

解：如图，运动过程中，重叠部分的图形均为等腰直角三角形，当aWxWa+4时面积不

变，都是SAAEC'的值，

由题中的函数图象知，SAA'B'C-1.当SAAEE恰为1时(如图2).

设2'C'=a,则S/kA，C，=2'XaX"2"=4^a2=^

.,.a=2,

由题意，BC=B'C+4=6,

.•.2C的长为6.

故答案为：6.

三、解答题(本题共11小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤)

17.解方程：

(1)x2-4x-45=0；

(2)5x(x+3)=3(x+3).

【分析】(1)用十字相乘法解一元二次方程即可；

(2)用提取公因式法，结合整体思想解一元二次方程即可.

解：(1)x2-4x-45=0,

(x-9)(x+5)=0

；.xi=9,xi=-5；

(2)5x(x+3)=3(x+3),

5x(尤+3)-3(x+3)=0,

(5x-3)(x+3)=0,

•3-Q

••xi下，X2=-3.

18.已知x=l时，二次三项式2x2-3»u+4的值等于3.

(1)求机的值；

(2)是否存在尤的值，使得这个二次三项式的值为-1?说明理由.

【分析】(1)由题意列出关于，”的等式，解关于，"的方程即可得出结论；

(2)利用反证法解答即可.

解：(1)：x=l时，二次三顶式2x2-3mx+4的值等于3,

.*.2X1-3根+4=3,

解得：〃z=l.

（2）不存在，理由：

假设这个二次三项式的值为-1,

即2炉-3x+4=-1,

整理得：2/-3x+5=0,

,这里。=2,b=-3,c=4,

：.A=b2-4ac=（-3）2-4X2X5=-31<0,

此方程无解，

不存在x的值，使得这个二次三项式的值为-L

19.九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟仰卧起坐比赛，在

相同的条件下，分别对两名男生进行了七次一分钟仰卧起坐测试.并对数据进行收集、

整理：

甲乙两人得分表

序号1234567

甲（个分25353638404646

钟）

乙（个分30333740404244

钟）

下面给出两人测试成绩的统计图表.

甲乙两人得分统计表

平均数中位数众数

甲a3846

乙38b40

解答下列问题:

（1）a=38,b=40；

（2）从方差的角度看，乙的成绩较稳定（填“甲”或“乙”）；

（3）甲、乙都认为自己的成绩更好些，请直接结合统计图表中的信息分别写出他们的理

由.

甲乙两人得分折线统计图

【分析】(1)根据平均数和中位数的定义即可求解；

(2)答案不唯一，可从平均数，方差，中位数等方面，写出理由；

(2)根据平均数，中位数，众数，方差的意义可得答案.

解：⑴由题意可得，°=25+35+36+；+40+46+46=38,

将乙的成绩按从小到大的顺序排列后，最中间的一个数是40,所以中位数6=40.

故答案为：38,40；

(2)乙.理由如下：

由甲、乙两人得分的大小波动情况，直观可得S甲2>s乙2,

所以乙的成绩较稳定.

故答案为：乙；

(3)甲的成绩更好些，理由为：甲得分的众数比乙的高；

或乙的成绩更好些，理由为：乙得分的中位数比甲的高.

20.将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在盒子

中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求

下列事件发生的概率.

(1)取出的1张卡片数字恰为2的倍数的概率是4；

一2一

(2)取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“1”.(请用“画树状图”或“列

表”等方法写出分析过程)

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)列表得出共有16种等可能的结果，至少有1张卡片的数字为“1”的结果有7种，

再由概率公式求解即可.

解：（1）取出的1张卡片数字恰为2的倍数的概率是3=2,

42

故答案为：

（2）到表如下:

1234

11,11,21,31,4

22,12,22,32,4

33,13,23,33,4

44,14,24,34,4

共有16种等可能的结果，至少有1张卡片的数字为“1”的结果有7种,

:.P（至少有1张卡片的数字为“1"）=£.

16

21.张大伯家有一块长8米，宽6米的矩形菜地，现在将这块菜地长和宽都拓宽x米（如图

所示），如果要使拓宽后的矩形菜地的面积是原面积的"I,那么尤应该为多少？

【分析】根据使拓宽后的矩形菜地的面积是原面积的当列方程即可得到结论.

解:由题意得（8+x）（6+x）=8X6乂下，

整理得：尤2+14X-32=0,

解想：尤1=2,X2=-16（舍去），

答：x应该为2.

22.如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2）,制作这种外包装需要用如图

3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC,将扇形胡尸围成圆锥时，AE、AF恰

好重合，已知这种加工材料的顶角/BAC=90°.

（1）求图2中圆锥底面圆直径EO与母线长的比值；

（2）若圆锥底面圆的直径为5/1,求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积.（结

果保留ir)

【分析】(1)由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到B山£=9°;：；他,从而求出即：

180

AD即可；

(2)先根据等腰直角三角形的性质得到BC=2AD=2Qcm,再利用扇形的面积公式，利

用S阴影部分=SAABC-S扇形创F进彳亍计算.

解：(1)根据题意得TTDE=90'二:皿,

180

：.DE=—AD,

2

ED与母线AD长的比值为去

(2)VZBAC=9Q°,AB=AC,AD±BC,

而AD=2DE=10cm,

BC—2AD—20cm,

・'・S阴影部分=8/\43。-S扇形E4/

=1X1OX2O_90XJT>£1£

2360

=(100-25n)cm2.

答：加工材料剩余部分的面积为(100-25H)cm2.

23.如图是函数力=-x2+4的部分图象.

(1)请补全函数图象；

(2)在右图的直角坐标系中直接画出>2=2x+l的图象，然后根据图象回答下列问题:

①当x满足尤=-3或尤=1时,y\=yi,当x满足-3<x<l时,力>”；

②当x的取值范围为x<0时，两个函数中的函数值都随尤的增大而增大？

【分析】(1)根据抛物线解析式及抛物线的对称性作图.

(2)①求出直线与抛物线的交点坐标，从而求解.②分别求出一次函数与二次函数》随

x增大而增大的x的取值范围，进而求解.

解：(1)：yi=-x2+4,

抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,4),

根据抛物线的对称性作图如下，

(2)①如图,

令2x+l=-x2+4,

解得m=-3,X2=l,

当-3<x<l时，抛物线在直线上方，

故答案为：苫=-3或无=1；-3<%<1.

②'.,>2=2了+1,

随x增大而增大，

*/yi=-N+4,

...x<0时，y随尤增大而增大.

故答案为：x<0.

24.如图，四边形OAEC是平行四边形，以。为圆心，OC为半径的圆交CE于。，延长

CO交于B,连接AD、AB,是。。的切线.

(1)求证：4。是OO的切线.

(2)若。。的半径为4,AB=8,求平行四边形OAEC的面积.

【分析】(1)要证明是。。的切线，只要求出/OZM=90°即可，所以只要证明△

AOB^AAOD即可解答；

(2)根据已知可求出△AB。的面积，从而求出△AOO的面积，最后利用平行四边形OAEC

的面积=2S/\AOD即可解答.

【解答】(1)证明：连接

TAB与。。相切于点3,

・・・NO8A=90°,

・・・四边形OAEC是平行四边形，

J.AO//EC,

：.ZAOD=ZODC,ZAOB=ZOCD,

・「OD^OC,

：.ZODC=ZOCD,

：.ZAOB=ZAOD,

又・・・O4=O4,OD=OB,

：.AAOB^AAOD(SAS),

：.ZOBA=ZODAf

：.ZODA^9Q°,

TO。是。。的半径，

・・・AO为。。的切线；

(2)角军：・・・03=4,AB=Sf

：.S„ABO=—AB-OB=—X4XS=16,

22

,?AAOB^AAOD,

••S/\AOD=16，

，平行四边形OAEC的面积=2SAAOD=32.

25.直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行

直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品

售价每降低5元，日销售量增加10件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件.

(1)求y与x的函数表达式；

(2)当尤为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

【分析】(1)根据日利润=每件利润X日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设

售价应定为x元，则每件的利润为(x-40)元，日销售量为20+辿警1=140-2x；

5

(2)把二次函数关系式整理为顶点式可得答案.

解：(1)y=20+W3Q二」)=140-2x,

5

所以y与x的函数表达式为y=-2x+140；

(2)设每个月的销售利前为w元.

依题意得：w=(x-40)(140-2x),

整理得：w=-2N+220尤-5600,

化成顶点式得w=-2(x-55)2+450,

当尤为55时.每天的销售利润最大，最大利润是450元.

26.苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请

你和他一起完成问题探究.

【问题提出】如图1,点E,尸分别在方形ABCO中的边A。、AB±,且BE=CF,连接

BE、C尸交于点求证：请你先帮小明力口以证明.

【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1,在边长为6c7〃的正方形ABCC中，

点£从点A出发，沿边AD向点。运动，同时，点厂从点2出发，沿边54向点A运动，

它们的运动速度都是2e"/s,当点E运动到点。时，两点同时停止运动，连接CRBE

交于点设点E,尸运动时间为/秒.

(1)如图1,在点E、尸的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径

3

长一ncm.

-2-

(2)如图2,连接CE,在点E、P的运动过程中.

①试说明点D在ACME的外接圆OO上；

②若①中的。。与正方形的各边共有6个交点，请直接写出/的取值范围.

【分析】【问题提出】利用HL证明AABE丝△BCF,得/ABE=/BCF,从而证明结论；

【问题探究】（1）由【问题提出】知，ZCMB=90°,则点M在以CB为直径的圆上，

找到起点和终点时点M的位置，从而解决问题；

（2）①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知OM=OC=OE=OD,则点

C、M,E在同一个圆（。0）上；

②当0。与相切时，。。与正方形的各边共有5个交点，如图5,则有6个交点，所

以“当OO与AB相切时”是临界情况，当OO与AB相切（切点为G）,连接OG,并

延长GO交CD于点H,则CH=3,设。。的半径为R.由题意得：在Rt^CHO中，32+

（6-7?）2=R2,则CE喑，DE=7CE2-DC2=|--可知AE>|，从而解决问题.

【解答】【问题提出】证明：•••4BC。是正方形，

：.AB=BC,ZA=ZABC=90°,

在Rt^ABE与中，AB=BC,BE=CF,

：.（H£）,

ZABE=ZBCF,

VZABE+ZCBM=90°,

ZBCF+ZCBM=90°,

：.ZCMB=90°,

.\BE±CF；

【问题探究】解：（1）由【问题提出】知，/CMB=90。，

.•.点M在以CB为直径的圆上，

当7=0时，点M与点B重合；如图2,

图2

当t=3时，点M为正方形对角线的交点.点M的运动路径为二圆，其路径长

iq

亍义6兀=高兀，

42

故答案为:7T;

图3

由【问题提出】可知：/CME=90°,

/.ACME的外接圆的圆心0是斜边CE的中点，

贝i」OJI=OC=OEqCE，

在RtzXCDE中，ZD=90°,。是CE的中点，

•••OD=yCE）

：.OM=OC=OE=OD,

.•.点。、C、M,E在同一个圆（OO）上，

即点D在ACME的外接圆。。上；

②如图4,当。。与相切时，。。与正方形的各边共有5个交点,

图4

如图5,则有6个交点，所以''当OO与AB相切时”是临界情况,

当。。与AB相切(切点为G),连接OG,并延长GO交C。于点”，

与相切，

Z.OG±AB,

又二AB“CD,

：.OH±CD,

；•CH=1-DC=3>

设。。的半径为R.由题意得：

在RtZXCHO中，32+(6-7?)2=R2,

解得R4，

•'♦CE端•，DE=7cE2-DC2=y>

AE今

即奇

如图5,当0<t<3时，与正方形的各边共有6个交点.

4

27.如图，二次函数y=-T+bx+c的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C.已知8(3,

0),C(0,4),连接BC.

5

(1)b=三，c=4；

-3-

(2)点M为直线2C上方抛物线上一动点，当面积最大时，求点M的坐标；

(3)①点P在抛物线上，若△P4C是以AC为直角边的直角三角形，求点P的横坐标；

②在抛物线上是否存在一点Q,连接AC,使NQBA=2NACO,若存在，直接写出点。

的横坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

【分析】（1）将3（3,0）,C（0,4）代入y=-d+^x+c,即可求解;

-1^-3)2+红,

(2)设M(m,m乙+-m+4)，由SdCBM=SACOM+SABOM-SACOB

o228

即可求解;

（3）①设P（x,-X2+|"X+4），分两种情况讨论：当/CAP=90°时，过点A作DE〃y

0

4.

轴，分别过点C、尸作于点D,PELDE于点、E,由△DCAS^EAP,可求勺二肯

O

（舍去）或Xs，/^；当/ACP=90°时，过点C作。E〃x轴，分别过点A、尸作

OE于点。、PE_LDE于点、E,由△AOCs/^c",可求为=0（舍去）或乃=2；

②作NOEA=2NACO交y轴于点E,分两种情况讨论：I.作NQ8O=2NACO交y轴

于点。，交抛物线于点Q,设0E=x,则A^=CE=4-x,在Rt^AOE中，由勾股定理

求出X喏’再由△皿求出D（。，再求皿的解析式为尸一14,

y

联立方程组4

，可解得为=3（舍去）或*9=-77；II.作点。关于x轴

y=~x2-+^-x+4412

对称的点Di,且作射线BDi交抛物线于点Qi,求得Di（0,-g）,BDi的解析式为y