2024年中考数学总复习：函数综合-知识讲解（提高）

2024年中考数学总复习中考总复习：函数综合—知识讲解（提高）【考纲要求】1．平面直角坐标系的有关知识平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等.2．函数的有关概念求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法．3．函数的图象和性质常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置．4．函数的解析式求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移要点诠释：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.考点二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象要点诠释：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、一次函数1.正比例函数的意义2.一次函数的意义3.正比例函数与一次函数的性质4.一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题要点诠释：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.考点四、反比例函数1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题要点诠释：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=.∴.考点五、二次函数1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题要点诠释：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为.2、函数平移规律：左加右减、上加下减.3、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，.4、抛物线的对称变换①关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.②关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.③关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是.④关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．⑤关于点对称关于点对称后，得到的解析式是.根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．考点六、函数的应用1.一次函数的实际应用2.反比例函数的实际应用3.二次函数的实际应用要点诠释：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.【典型例题】类型一、用函数的概念与性质解题 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P是第一象限内的直线y=6－x上的点，O是坐标原点（如图所示）：

（1）P点坐标设为(x,y)，写出ΔOPA的面积S的关系式；

（2）S与y具有怎样的函数关系，写出这函数中自变量y的取值范围；

（3）S与x具有怎样的函数关系？写出自变量x的取值范围；

（4）如果把x看作S的函数时，求这个函数解析式，并写出这函数中自变量取值范围；

（5）当S=10时，求P的坐标；

（6）在直线y=6－x上，求一点P，使ΔPOA是以OA为底的等腰三角形.【思路点拨】本例的第（1）问是“SΔOPA”与“y”的对应关系，呈现正比例函数关系，y是自变量；第（3）问是“S”与“x”的对应关系，呈现一次函数关系，x是自变量；第（4）问是“x”与“S”的对应关系，呈现一次函数关系，S是自变量，不要被是什么字母所迷惑，而是要从“对应关系”这个本质去考虑，分清哪个是函数，哪个是自变量.【答案与解析】解：（1）过P点作x轴的垂线，交于Q，

SΔOPA=|OA|·|PQ|=×4×y=2y.（2）S与y成正比例函数，即S=2y，自变量y的取值范围是0＜y＜6.（3）∵y=6-x,∴S=2y=2(6-x)=12-2x,∴S=-2x+12成为一次函数关系，自变量x的取值范围是0＜x＜6.（4）∵把x看作S的函数，∴将S=-2x+12变形为：x=,即这个函数的解析式为：x=-+6.自变量S的取值范围是：0＜S＜12.（5）当S=10时，代入（3）、（4）得：x=-+6=-+6=1,S=2y,10=2y,∴y=5,∴P点的坐标为（1，5）.（6）以OA为底的等腰ΔOPA中，∵OA=4，∴OA的中点为2，∴x=2,

∵y=6-x,∴y=4.即P点坐标为（2，4）.【总结升华】数学从对运动的研究中引出了基本的函数概念，函数的本质就是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，是一种特殊的对应关系.函数的概念中，有两个变量，要分清对应关系，哪一个字母是函数，哪一个是自变量.比如“把x看作S的函数”时，对应关系为用S表示x,其中S是自变量，x是函数.举一反三：【高清课程名称：函数综合2高清ID号：36911\o"查看资源信息"2关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1】【变式】已知关于x的一元二次方程有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两公共点时，b的取值范围.【答案】解：（1）由题意得，≥0．≤3．为正整数，1，2，3．（2）当时，方程有一个根为零；当时，方程无整数根；当时，方程有两个非零的整数根．综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为．（3）设二次函数的图象与轴交于、两点，则．依题意翻折后的图象如图所示．当直线经过A点时，可得；当直线经过B点时，可得．由图象可知，符合题意的b的取值范围为．2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP=x，AE=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是()

(A)(B)(C)(D)

【思路点拨】本题应利用△APD的面积的不同表示方法求得y与x的函数关系；或由△ADE∽△DPC得到y与x的函数关系．【答案】C；【解析】这是一个动点问题.很容易由△ADE∽△DPC得到，从而得出表达式；也可连结PA，由得到表达式，排除(A)、(B).因为点P在BC边上运动，当点P与点C重合时，DP与边DC重合，此时DP最短，x=3；当点P与点B重合时，DP与对角线BD重合，此时DP最长，x=5，即x的临界值是3和5.又因为当x取3和5时，线段AE的长可具体求出，因此x的取值范围是3≤x≤5.正确答案选(C).【总结升华】解决动点问题的常用策略是“以静制动，动静结合”.找准特殊点，是求出临界值的关键.动态问题也是中考试题中的常见题型，要引起重视.

举一反三：【变式】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车.车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快骑车速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象，那么符合这个同学行驶情况的图象大致是().

【答案】A表示小明一直在停下来修车，而没继续向前走，B表示没有停下来修车，相反速度骑的比原来更慢，D表示修车时又向回走了一段路才修好后又加快速度去学校.选项C符合题意.

类型二、函数的综合题3．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．

ABCOyx【思路点拨】此题涉及运用勾股定理；已知一次函数解析式中的y值，解函数转化的一元一次方程求出x值，利用横坐标之差计算平移的距离；以及平行四边形面积公式.【答案】C；【解析】将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时即当y=4时，解得x=5，所以平移的距离为5-1=4，又知BC扫过的图形为平行四边形，高不变为：，所以平行四边形面积=底×高=4×4=16.【总结升华】运用数形结合、平移变换、动静变化的数学思想方法是解此题的关键，综合性较强.举一反三：【高清课程名称：函数综合2高清ID号：36911\o"查看资源信息"2关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2】【变式】在坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求点A的坐标；（2）当时，求m的值；（3）已知一次函数，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数的图象于N.若只有当时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式.【答案】（1）∵点A、B是二次函数（）的图象与轴交点，∴令，即.解得：，.又∵点A在点B左侧且，∴点A的坐标为（-1，0）.ABABC（2）由（1）可知点B的坐标为（，0）∵二次函数与轴交于点C，∴点C的坐标为（0，-3）.∵∠ABC=45°，∴=3.∴m=1.（3）由（2）得，二次函数解析式为.依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2和2，由此可得交点坐标为（-2，5）和（2，-3）.将交点坐标分别代入一次函数解析式中，得得解得解得∴一次函数的解析式为.AABCPMN4．（2015•湖北模拟）函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（） A．①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②④【思路点拨】由于A、B是反比函数y=上的点，可得出S△OBD=S△OAC=，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．【答案】C.【解析】解：∵A、B是反比函数y=上的点，∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；∵P是y=的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；连接OP，===4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，∴AC=AP；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选C．【总结升华】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B解：根据题意得：当点P在ED上运动时，S=BC•PE=2t；当点P在DA上运动时，此时S=8；当点P在线段AB上运动时，S=BC（AB+AD+DE﹣t）=5﹣t；结合选项所给的函数图象，可得B选项符合．故选B．类型三、函数与几何综合题5．如图，将—矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在y轴正半轴上．点E是边AB上的—个动点(不与点A、B重合)，过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F.（1）若△OAE、△OCF的而积分别为S1、S2．且S1＋S2=2，求的值；（2）若OA=2．0C=4．问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少?【思路点拨】（1）设E（，），F（，），＞0，＞0，根据三角形的面积公式得到S1=S2=，利用S1＋S2=2即可求出.（2）设E(，2)，F(4，)，利用S四边形OAEF=S矩形OABC－S△BEF－S△OCF=，根据二次函数的最值即可得到当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5.【答案与解析】解：（1）∵点E、F在函数的图象上，∴设E（，），F（，），＞0，＞0，∴S1=，S2=.∵S1＋S2=2，∴.∴.

（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，∴设E(，2)，F(4，).∴BE=4－，BF=2－.∴S△BEF=，S△OCF=，S矩形OABC=2×4=8，∴S四边形OAEF=S矩形OABC－S△BEF－S△OCF=8－()－=.∴当=4时，S四边形OAEF=5.∴AE=2.∴当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5.【总结升华】本题属于反比例函数综合题，考查曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值.6．（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．（1）求k的值；（2）求△BMN面积的最大值；（3）若MA⊥AB，求t的值．【思路点拨】（1）把点A坐标代入y=（x＞0），即可求出k的值；（2）先求出直线AB的解析式，设M（t，），N（t，t﹣3），则MN=﹣t+3，由三角形的面积公式得出△BMN的面积是t的二次函数，即可得出面积的最大值；（3）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果．【答案与解析】解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=（x＞0）得：k=1×8=8，y=，∴k=8；（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，根据题意得：，解得：k=，b=﹣3，∴直线AB的解析式为：y=x﹣3；设M（t，），N（t，t﹣3），则MN=﹣t+3，∴△BMN的面积S=（﹣t+3）t=﹣t2+t+4=﹣（t﹣3）2+，∴△BMN的面积S是t的二次函数，∵﹣＜0，∴S有最大值，当t=3时，△BMN的面积的最大值为；（3）∵MA⊥AB，∴设直线MA的解析式为：y=﹣2x+c，把点A（8，1）代入得：c=17，∴直线AM的解析式为：y=﹣2x+17，解方程组得：或（舍去），∴M的坐标为（，16），∴t=．【总结升华】本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、二次函数的最值问题、垂线的性质等知识；本题难度较大，综合性强．7．如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）（1）当x取何值时，该抛物线取最大值？该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．【思路点拨】（1）根据O、E的坐标即可确定抛物线的解析式，进而求出其顶点坐标，即可得出所求的结论；（2）①当t=时，OA=AP=，由此可求出P点的坐标，将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；②此题要分成两种情况讨论：（i）PN=0时，即t=0或t=3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是△PCD，以CD为底AD长为高即可求出其面积；（ii）PN≠0时，即0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是梯形PNCD，根据抛物线的解析式可表示出N点的纵坐标，从而得出PN的长，根据梯形的面积公式即可求出此时S、t的函数关系式，令S=5，可得到关于t的方程，若方程有解，根据求得的t值即可确定N点的坐标，若方程无解，则说明以P、N、C、D为顶点的多边形的面积不可能为5．【答案与解析】解：（1）因抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点O（0，0）和点E（4，0），故可得c=0，b=4，所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，由y=﹣x2+4x，y=﹣（x﹣2）2+4，得当x=2时，该抛物线的最大值是4；（2）①点P不在直线ME上；已知M点的坐标为（2，4），E点的坐标为（4，0），设直线ME的关系式为y=kx+b；于是得，解得所以直线ME的关系式为y=﹣2x+8；由已知条件易得，当t=时，OA=AP=，P（，）∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=﹣2x+8；∴当t=时，点P不在直线ME上；②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴OA=AP=t；∴点P、N的坐标分别为（t，t）、（t，﹣t2+4t）∴AN=﹣t2+4t（0≤t≤3），∴AN﹣AP=（﹣t2+4t）﹣t=﹣t2+3t=t（3﹣t）≥0，∴PN=﹣t2+3t（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴S=DC•AD=×3×2=3；（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形∵PN∥CD，AD⊥CD，∴S=（CD+PN）•AD=[3+（﹣t2+3t）]×2=﹣t2+3t+3当﹣t2+3t+3=5时，解得t=1、2而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，当t=1时，此时N点的坐标（1，3）当t=2时，此时N点的坐标（2，4）．【总结升华】本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线的顶点坐标的求法、图形的面积求法以及二次函数的应用．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合，（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以，不扣分）中考总复习：几何初步及三角形—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是().

A．2.5B．3C．4D．52．如图所示，图中线段和射线的条数为().A.三条，四条B.二条，六条C.三条，六条D.四条，四条

3．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个的是().

4．一个三角形的三个内角中().

A.至少有一个钝角B.至少有一个直角C.至多有一个锐角D.至少有两个锐角5．（2014秋•上蔡县校级期末）如果三角形的三边长分别为a、a﹣1、a+1，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞2 C．a＜2 D．0＜a＜26.如图，某人不小心把一块三角形的玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么正确的方法是().

A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去二、填空题7．（2015秋•迁安市期中）钟表在3点40分时，它的时针和分针所成的角是．8．一个角的余角比它的补角还多，则这个角等于_______°.9．两个角，它们的比是3:2，其差为36°，则这两个角的关系是________.10．直角三角形的两个锐角的平分线所成的锐角为______.11．如图所示，∠A=50°，∠B=40°，∠C=30°，则∠BDC=________.

12．若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.三、解答题13．如图，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.

14．如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有3个点时，线段共有3条；如果上有4个点时，线段共有6条；如果线段上有5个点时，线段共有10条；⑴当线段上有6个点时，线段共有多少条？⑵当线段上有n个点时，线段共有多少条？(用含n的代数式表示)⑶当n=100时，线段共有多少条？

15．如图，AE、OB、OC平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，求证：∠1=∠2.16.（2015•同安区一模）已知△ABC三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当BC为最大边时，求∠A的度数．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A.【解析】点到直线的线段中垂线段最短.2.【答案】C.【解析】每个点为端点的射线有两条.3.【答案】D.4.【答案】D.【解析】三角形内角和180°.5.【答案】B.【解析】根据三角形的三边关系，得a﹣1+a＞a+1，解得a＞2．故选B．6.【答案】D.二、填空题7．【答案】130.【解析】提示：3点40分时，它的时针和分针相距份，×30°=130°．故答案为：130．8．【答案】63°.【解析】设补角为x，则余角为x+1°，因为一个角的补角比余角多90°，所以x-（x+1°）=90°，即x=117°，即该角为63°.9．【答案】互补.【解析】设两个角为3x，2x，即3x-2x=36°，x=36°，则3x+2x=180°.10．【答案】45°.11．【答案】120°.【解析】做射线AD，即∠BDC=∠1+∠2=∠3+∠B+∠4+∠C=∠B+∠A+∠C=120°.12．【答案】5＜c＜9．【解析】三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是│2-7│＜c＜2+7,即

5＜c＜9．三、解答题13.【答案与解析】32.5°.提示：利用角分线和平行线的性质可得.14.【答案与解析】(1)15，提示：n=3,3条；n=4,6条；n=5,10条；可推出n=6，有15条；(2)，提示：通过总结n=3,4,5,6等几种特殊情况，可以归纳推得；(3)4950.提示：代入（2）中的公式可得.15.【答案与解析】∵AE、OB平分∠BAC、∠ABC，∴∠1=（∠ABC+∠CAB）=(180°-∠ACB)=90°-∠ACB，又∵OC平分∠ACB，OD⊥BC，∴∠2=90°-∠OCB=90°-∠ACB.即∠1=∠2.16.【答案与解析】解：根据题意，设BC、AC、AB边的长度分别是a、b、c，则a+b+c=12；∵BC为最大边，∴a最大，又∵b+c＞a，∴a＜6，∵△ABC三边长都是整数，∴a=5，又∵△ABC三边长互不相等，∴其他两边分别为3，4，∵32+42=52，∴△ABC是直角三角形，∴∠A=90°，即∠A的度数是90°．中考总复习：几何初步及三角形—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，下列说法不正确的是().

A．点B到AC的垂线段是线段ABB．点C到AB的垂线段是线段AC

C．线段AD是点D到BC的垂线段D．线段BD是点B到AD的垂线段

2．如图，标有角号的7个角中共有____对内错角，____对同位角，____对同旁内角.()

A.4、2、4B.4、3、4C.3、2、4D.4、2、33．把一张长方形的纸片按下图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，则∠EMF的度数是().

A.85°B.90°C.95°D.100°4．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则阴影面积等于().

A.2cm2B.1cm2C.cm2D.cm25．（2014秋•金昌期末）钟表4点30分时，时针与分针所成的角的度数为（）A．45° B．30° C．60° D．75°6.△ABC中，AB=AC=，BC=6，则腰长的取值范围是（）.

A.B.C.D.

二、填空题7．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=110°，则∠D=________．

8.（2014春•兴业县期末）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠x、∠y、∠z三者之间的关系是．9．已知a、b、c是△ABC的三边，化简|a+b―c|+|b―a―c|―|c+b―a|=____________.10．已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB三等分线分别交于点D、E，若∠A=n°，则∠BDC=___,∠BEC=___.

11．在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则此三角形为_____三角形；若∠A+∠B＜∠C，则此三角形是_____三角形.12．如图所示，∠ABC与∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°，则∠BOC=______，∠D=______，∠E=_______.三、解答题13．（2015春•山亭区期末）如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．14．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

15．已知：如图，D、E是△ABC内的两点.求证：AB+AC＞BD+DE+EC.

16.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

【答案与解析】一、选择题1.【答案】C.【解析】重点考查垂线段的定义.2.【答案】A.3.【答案】B.【解析】因为折叠，所以∠1=∠2，∠3=∠4，又因为∠1=∠2+∠3+∠4=180°，所以∠EMF=∠2+∠3=90°.4.【答案】B.【解析】∵D，E分别为边BC，AD的中点，∴S△ABD=S△ADC=2cm2,S△ABE=S△AEC=1cm2∴S△BEC=2cm2又因为F分别为边CE的中点，所以S△BEF=S△BCF=1cm2.5.【答案】C.【解析】∵4点30分时，时针指向4与5之间，分针指向6，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴4点30分时分针与时针的夹角是2×30°﹣15°=45度．故选A．6.【答案】B.【解析】∵2x>6,∴x>3.二、填空题7．【答案】35°.8．【答案】x=180°+z﹣y.【解析】∵CD∥EF，∴∠CEF=180°﹣y，∵AB∥EF，∴∠x=∠AEF=∠z+∠CEF，即x=180°+z﹣y．故答案为：x=180°+z﹣y．9．【答案】3a―b―c.【解析】∵a、b、c是△ABC的三边,

∴a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a。

即a+b－c＞0，b―a―c＜0，c+b－a＞0,

∴原式=a+b―c+(a+c―b)―(c+b―a)=a+b―c+a+c―b+a―c―b=3a―b―c.10．【答案】60°+n°;120°+n°.【解析】∠BDC=180°―（∠DBC+∠DCB）=180°―（∠ABC+∠ACB）=180°―（180°―∠A）=60°+n°同理∠BEC=120°+n°.11．【答案】直角三角形；钝角三角形.12．【答案】120°；30°，60°.【解析】因为△ABC内角和=180°，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∠A=60°∴∠OBC+∠OCB=(180°-60°)÷2=60°，∴∠BOC=120°,又因CD为∠ACB外角平分线，所以∠OCD=(∠ACB+∠ACF)=90°,∠BOC=∠OCD+∠D，所以∠D=30°,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,所以∠OBE=∠OCE=90°，在四边形OBEC中，∠E+∠OBE+∠OCE+∠BOC=360°,∠E=60°.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）∵DE⊥AC于点E，∠D=20°，∴∠CAD=70°，∵AD∥BC，∴∠C=∠CAD=70°，∵∠BAC=70°，∴∠B=40°，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，∴DB是∠ABC的平分线．14.【答案与解析】（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D.

延长BP交CD于点E,

∵AB∥CD.∴∠B=∠BED.

又∠BPD=∠BED+∠D，

∴∠BPD=∠B+∠D.（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.（3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E.

又∵∠AGB=∠CGF,

∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°,

∴∠A+∠B+∠C+∠D∠E+∠F=360°.15.【答案与解析】延长DE分别交AB、AC于F、G.∵FB+FD>BD，AF+AG>FG，EG+GC>EC，∴FB+FD+FA+AG+EG+GC>BD+FG+EC.即AB+AC+FD+EG>BD+FD+EG+DE+EC,∴AB+AC>BD+DE+EC即BD+DE+EC<AB+AC.16.【答案与解析】如下图，连接AC，则有∠DFA=∠FAC+∠FCA=∠D+∠E，

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠B+∠C+∠FAC+∠FCA=∠BAC+∠B+∠BCA=180°.

中考总复习：几何初步及三角形—知识讲解（基础）【考纲要求】1.了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；2.了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及进行角的度量和计算；3.掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；4.了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题；

5.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线

和高,了解三角形的稳定性.【知识网络】【考点梳理】考点一、直线、射线和线段

1．直线

代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义).

要点诠释：1）．直线的两种表示方法：

(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字母；

(2)用一个小写字母表示直线，如直线a.

2)．直线和点的两种位置关系

(1)点在直线上(或说直线经过某点)；

(2)点在直线外(或说直线不经过某点).

3).直线的性质：

过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).2．射线

直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.

要点诠释：(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A是射线上一点；

(2)用一个小写字母表示射线，如射线a.

3.线段

直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.要点诠释：

1)．线段的表示方法：

(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；

(2)用一个小写字母表示，如线段a.

2)．线段的性质：

所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短).

3)．线段的中点：

线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.

4)．两点的距离：

连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.

考点二、角

1．角的概念：

(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫做角的边.

(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.

要点诠释：1）．角的表示方法：

(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；

(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；

(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠.

2）．角的分类：

(1)按大小分类：

锐角----小于直角的角(0°＜＜90°);

直角----平角的一半或90°的角(=90°);

钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°);

(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，平角等于180°.

(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于

360°.

(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.

(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角.

3）．角的度量：

(1)度量单位：度、分、秒；

(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；

(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.

4）．角的性质：

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.

2．角的平分线：

如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.

考点三、相交线

1．对顶角

(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.

(2)性质：对顶角相等.

2．邻补角

(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.

(2)性质：邻补角互补.

3．垂线

（1）定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示.

要点诠释：

①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.

(2)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

4．同位角、内错角、同旁内角

(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.

(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.

考点四、平行线

1．平行线定义：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.

2．平行公理及推论：

(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：

如果b∥a，c∥a，那么b∥c.

3．性质：

(1)平行线永远不相交；

(2)两直线平行，同位角相等；

(3)两直线平行，内错角相等；

(4)两直线平行，同旁内角互补；

(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：

若b∥c，b⊥a，则c⊥a.

4．判定方法：

(1)定义；

(2)平行公理的的推论；

(3)同位角相等，两直线平行；

(4)内错角相等，两直线平行；

(5)同旁内角互补，两直线平行；

(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.

考点五、命题、定理、证明

1．命题：

(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.

(2)命题的结构：题设+结论=命题；

(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；

(4)命题的分类：真命题和假命题；

(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.

2．公理、定理：

(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.

(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.

3．证明：

用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.

考点六、三角形的概念及其性质

1．三角形的概念

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2．三角形的分类

(1)按边分类：

(2)按角分类：

3．三角形的内角和外角

(1)三角形的内角和等于180°.

(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

4．三角形三边之间的关系

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

5．三角形内角与对边对应关系

在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.

6．三角形具有稳定性.7.三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.

要点诠释：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.

中位线定理：三角形的中位线平