辽宁省沈阳市市第一〇四高三数学理联考试题含解析

辽宁省沈阳市市第一〇四高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面向量与的夹角为60°，,则等于

(

)

A． B． C．4 D．12参考答案：B略2.若则的大小关系为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.设的定义域为，若满足下面两个条件则称为闭函数：①是上单调函数；②存在，使在上值域为.现已知为闭函数，则的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A4.已知集合，，则是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.函数的图像大致是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.已知i是虚数单位，复数z=m﹣1+（m+1）i，（其中m∈R）是纯虚数，则m=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．0参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由实部为0且虚部不为0求得m的值．【解答】解：∵数z=m﹣1+（m+1）i，（其中m∈R）是纯虚数，∴，即m=1．故选：B．7.已知正数a，b满足，则的最大值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C8.已知实数x，y满足则的最小值是（

）A. B.2 C.4 D.8参考答案：B【分析】画出可行域，计算原点到直线的距离，进而求得的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，表示原点到可行域内的点的距离的平方，由图可知，原点到可行域内的点的距离是原点到直线的距离，其平方为2.故的最小值为2.故选：B.【点睛】本小题主要考查线性可行域的画法，考查点到直线的距离公式，考查非线性目标函数的最值的求法，属于基础题.9.已知定义在上的奇函数满足，且时，，甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：；乙：函数在上是减函数；丙：函数关于直线对称；丁：若，则关于的方程在上所有根之和为，其中正确的是A．甲、乙、丁

B．乙、丙

C．甲、乙、丙

D．甲、丙参考答案：A由，得，所以周期是8.所以，所以甲正确.当时，函数递增，因为是奇函数，所以在也是增函数，由，所以关于直线对称，所以丙不正确，所以在上函数递减，在上函数递增，所以乙不正确.由于函数关于直线对称，且周期是8，所以函数也关于直线对称.由图象可知的根有四个，两个关于直线对称，另外两个根关于对称，所以所有根之和为，丁正确，所以答案选A.10.设函数，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于

()A.

B．3

C．6

D．9参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知________.参考答案：212.已知变量满足约束条件若取整数，则目标函数的最大值是

.

参考答案：5

略13.在中，若，则的形状一定是

参考答案：略14.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，计算得到

（保留三位小数），所以判定

（填“有”或“没有”）的把握认为主修统计专业与性别有关系.参考答案：，有15.若双曲线－=1的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为

．参考答案：216.已知，则BC=___________参考答案：略17.若向量，满足，，且，的夹角为，则．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择．（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖．）（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列；计数原理的应用．【专题】概率与统计．【分析】（1）若8种口味均不一样，有种，若其中两瓶口味一样，有种，若三瓶口味一样，有8种．由此能求出小王共有多少种选择方式．（2）由已知得，由此能求出小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列、数学期望和方差．【解答】（本题满分12分）解：（1）若8种口味均不一样，有=56种，若其中两瓶口味一样，有=56种，若三瓶口味一样，有8种．所以小王共有56+56+8=120种选择方式．…（5分）（2）ξ的取值为0，1，2，3．由于各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率均为，…（7分）故随机变量ξ服从二项分布，即，，，，，∴ξ的分布列为ξ0123P…（10分）其数学期望，方差．…（12分）【点评】本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，要认真审题，要将题目中的关系读懂，是中档题．19.己知椭圆C：=1，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足（λ＞1，λ是常数）．当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ．（I）求曲线Cλ的轨迹方程；（II）直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线Cλ的交点为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值．若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为（，），由点P在椭圆C上得曲线Cλ的轨迹方程为．（Ⅱ）由△=0，得过点A（x1，y1）的切线方程为，设切点A（x2，y2），B（x3，y3）联立，结合得4x2﹣8x1x+16﹣16=0，可得|AB|=×|x3﹣x4|，原点O到直线AB的距离d=，△OAB的面积s=|AB|×d=×=2（定值）【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为（，）由于点P在椭圆C上，得，即曲线Cλ的轨迹是椭圆，标准方程为．（Ⅱ）①当过点P（x1，y1）切线的斜率存在时，设该切线的方程为y﹣y1=k（x﹣x1），即y=kx+（y1﹣kx1）联立y=kx+（y1﹣kx1）、椭圆C：=1得（）x2+2k（y1﹣kx1）x+=0，由△=0，得1+4k2=[（y1﹣kx1）2，的k=﹣．此时过点A（x1，y1）的切线方程为过点P切线的斜率不存在时，切点为（±2，0），方程为x=±2，符合方程为．∴过点P的切线方程为．设切点A（x2，y2），B（x3，y3）联立，结合得4x2﹣8x1x+16﹣16=0∴|AB|=×|x3﹣x4|=．原点O到直线AB的距离d=∴△OAB的面积s=|AB|×d=×=2（定值）故△OAB的面积是定值220.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为（为参数），设P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)已知直线，点P在曲线C2上，求点P到l的距离的最大值.参考答案：（1）的直角坐标方程为，的普通方程为由，得或又，所以与的交点极坐标为与（2）圆的圆心到直线的距离为，圆半径为2所以点到的距离的最大值为.

21.设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长|EG|是否为定值？为什么？参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由题意知，P的轨迹满足抛物线的定义，故可求出抛物线的焦点，继而求出抛物线方程．（Ⅱ）待定系数法设出圆的方程，设出圆与x轴的两个焦点E，G的坐标，再根据圆心在抛物线上，将圆心坐标代入抛物线，两个式子联立可求出x1﹣x2是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意知，动点P到定点F（0，1）的距离等于P到直线y=﹣1的距离，曲线C是以原点为顶点，F（0，1）为焦点的抛物线∵∴p=2∴曲线C方程是x2=4y（Ⅱ）设圆的圆心为M（a，b），∵圆M过A（0，2），∴圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=a2+（b﹣2）2令y=0得：x2﹣2ax+4b﹣4=0设圆与x轴的两交点分别为（x1，0），（x2，0）不妨设x1＞x2，由求根公式得，∴又∵点M（a，b）在抛物线x2=4y上，∴a2=4b，∴，即|EG|=4∴当M运动时，弦长|EG|为定值4已知函数22.y=