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文档简介

湖北省荆州市松滋职工高级中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设函数,则下列结论错误的是()A.D(x)的值域为{0,1}

B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数参考答案:C2.已知函数f(x)=x﹣存在单调递减区间,且y=f(x)的图象在x=0处的切线l与曲线y=ex相切,符合情况的切线l()A.有3条 B.有2条 C.有1条 D.不存在参考答案:D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求出f(x)的导数,由题意可得f′(x)<0在(﹣∞,+∞)有解,讨论a<0,a>0可得a>0成立,求得切线l的方程,再假设l与曲线y=ex相切,设切点为(x0,y0),即有e=1﹣=(1﹣)x0﹣1,消去a得x0﹣﹣1=0,设h(x)=exx﹣ex﹣1,求出导数和单调区间,可得h(x)在(0,+∞)有唯一解,由a>0,即可判断不存在.【解答】解:函数f(x)=x﹣的导数为f′(x)=1﹣e,依题意可知,f′(x)<0在(﹣∞,+∞)有解,①a<0时,f′(x)<0在(﹣∞,+∞)无解,不符合题意;②a>0时,f′(x)>0即a>e,lna>,x<alna符合题意,则a>0.易知,曲线y=f(x)在x=0处的切线l的方程为y=(1﹣)x﹣1.假设l与曲线y=ex相切,设切点为(x0,y0),即有e=1﹣=(1﹣)x0﹣1,消去a得,设h(x)=exx﹣ex﹣1,则h′(x)=exx,令h′(x)>0,则x>0,所以h(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,当x→﹣∞,h(x)→﹣1,x→+∞,h(x)→+∞,所以h(x)在(0,+∞)有唯一解,则,而a>0时,,与矛盾,所以不存在.故选:D.【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间,考查直线方程的运用和构造函数法,以及函数方程的转化思想的运用,属于中档题.3.设,,则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:A【分析】根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.【详解】若,,则,可得;若,可得,无法得到,所以“”是“”的充分而不必要条件.所以本题答案为A.【点睛】本题考查充要条件定义,判断充要条件的方法是:①

若为真命题且为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②

若为假命题且为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③

若为真命题且为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④

若为假命题且为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤

判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.

4.已知f(x)=,若函数f(x)有5个零点,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣) B.(﹣∞,﹣e) C.(e,+∞) D.(,+∞)参考答案:B【考点】分段函数的应用.【分析】先判断函数为偶函数,则要求函数f(x)有5个零点,只要求出当x>0时,f(x)有2个零点即可,分别y=ex与y=﹣ax的图象,利用导数的几何意义即可求出.【解答】解:∵f(﹣x)=f(x),∴函数f(x)为偶函数,∵当x=0,f(x)=0时,∴要求函数f(x)有5个零点,只要求出当x>0时,f(x)有2个零点即可,分别y=ex与y=﹣ax的图象,如图所示,设直线y=﹣ax与y=ex相切,切点为(x0,y0),∴y′=ex,∴k==,∴x0=1∴﹣a=e,∵当x>0时,f(x)有2个零点即可.∴﹣a>e,∴a<﹣e,故选:B5.某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名,x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是

A.6

B.8

C.10

D.12参考答案:C6.已知是函数的零点,若,则的值满足(A)

(B)

(C)

(D)的符号不确定参考答案:B略7.设底面为正三角形的直棱柱体积为V,那么表面积最小时,底面边长为(

)A.

B.

C.

D.2参考答案:C8.已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2,M是双曲线上的一点,|MF1|=,|MF2|=1,∠F1MF2=30°,则双曲线的离心率是

A.2

B.

C.

D.3参考答案:B略9.复数在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案:C略10.在复平面内,复数对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案:B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某饮料店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:℃)之间有下列数据:x-2-1012y54221

甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究,分别得到了x与y之间的三个线性回归方程:①;②;③,④,其中正确方程的序号是_______.参考答案:②12.已知数列n∈N*,n≥2的前n项和Sn=n2+2n﹣1(n∈N*),则a1=

;数列{an}的通项公式为an=

.参考答案:2,.【考点】数列的函数特性.【分析】本题直接利用数列前n项和与数列通项的关系,可得到本题结论.【解答】解:∵Sn=n2+2n﹣1,当n=1时,a1=1+2﹣1=2,当n≥2时,∴an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣1﹣=2n+1,∵当n=1时,a1=﹣2+1=3≠2,∴an=,故答案为:2,,【点评】本题主要考查数列递推式的知识点,解答本题的关键是利用an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)进行解答,此题难度不大,很容易进行解答.13.已知首项为正数的等差数列中,,则当取最大值时,数列的公差=

.参考答案:-314.采用系统抽样从含有8000个个体的总体(编号为0000,0001,…,,7999)中抽取一个容量为50的样本,已知最后一个入样编号是7900,则最前面2个入样编号是

参考答案:0060,0220

15.函数的单调递增区间是

;参考答案:16.在△ABC中,点A(1,1),点B(3,3),点C在x轴上,当cos∠ACB取得最小值时,点C的坐标为.参考答案:(,0)【考点】两直线的夹角与到角问题.【分析】设C(x,0),则当cos∠ACB取得最小值时,tan∠ACB取得最大值.利用夹角公式,结合基本不等式,即可得出结论.【解答】解:设C(x,0),则当cos∠ACB取得最小值时,tan∠ACB取得最大值.∵点A(1,1),点B(3,3),∴tan∠ACB==,由题意,x>0,x+≥2,即x=时,tan∠ACB取得最大值.∴C(,0).故答案为(,0).17.已知函数满足,,则的取值范围是

参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本题满分8分)等差数列{}的前n项和为,已知,.(Ⅰ)求数列{}的通项公式;(Ⅱ)令,求数列{}的前项和.参考答案:(Ⅰ)设等差数列{}的公差为d,由已知条件得

可得数列{}的通项公式为=n.

(Ⅱ)=-=

=

19.如图,实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成,圆P和圆Q的半径都是2km,点P在圆Q上,现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地.(1)如图甲,要建的活动场地为△RST,求场地的最大面积;(2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形ABCD,求场地的最大面积.

参考答案:(1)如右图,过S作SH⊥RT于H,S△RST=.

……2分由题意,△RST在月牙形公园里,RT与圆Q只能相切或相离;

………4分RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,则有RT≤4,SH≤2,当且仅当RT切圆Q于P时(如下左图),上面两个不等式中等号同时成立.此时,场地面积的最大值为S△RST==4(km2).

…………6分

(2)同(1)的分析,要使得场地面积最大,AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,AD必须切圆Q于P,再设∠BPA=,则有.

………………8分令,则.

…………11分若,,又时,,时,,

…………14分函数在处取到极大值也是最大值,故时,场地面积取得最大值为(km2).

…………16分略20.设函数(1)若求的极小值;(2)在(1)的条件下,是否存在实常数和使得和若存在,求出和的值;若不存在,请说明理由;(3)设有两个零点且成等差数列,试探究的符号。参考答案:⑴由,得解得,则,因为,所以(0,1)1(1,+∞)-0+极小值所以的极小值为.⑵因为与有一个公共点(1,1),而函数在点(1,1)处的切线方程为,下面验证都成立即可,由≥,得≥,知≥恒成立,设,即,知其在(0,1)上单调递增,在(1,++∞)上单调递减,所以的最大值为,所以≤恒成立.故存在这样的和,且.⑶的符号为正,理由如下:因为有两个零点,则有.两式相减得,即,于是①当时,令,则,且,设,则,故在上为增函数,又,所以,即,又因为,,所以.②当

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