湖北省荆州市松滋职工高级中学高三数学理知识点试题含解析

湖北省荆州市松滋职工高级中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，则下列结论错误的是()A．D(x)的值域为{0,1}

B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数参考答案：C2.已知函数f（x）=x﹣存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=ex相切，符合情况的切线l（）A．有3条 B．有2条 C．有1条 D．不存在参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，讨论a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切线l的方程，再假设l与曲线y=ex相切，设切点为（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得x0﹣﹣1=0，设h（x）=exx﹣ex﹣1，求出导数和单调区间，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判断不存在．【解答】解：函数f（x）=x﹣的导数为f′（x）=1﹣e，依题意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，①a＜0时，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）无解，不符合题意；②a＞0时，f′（x）＞0即a＞e，lna＞，x＜alna符合题意，则a＞0．易知，曲线y=f（x）在x=0处的切线l的方程为y=（1﹣）x﹣1．假设l与曲线y=ex相切，设切点为（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得，设h（x）=exx﹣ex﹣1，则h′（x）=exx，令h′（x）＞0，则x＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，当x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则，而a＞0时，，与矛盾，所以不存在．故选：D．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查直线方程的运用和构造函数法，以及函数方程的转化思想的运用，属于中档题．3.设，，则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.【详解】若，，则，可得；若，可得，无法得到，所以“”是“”的充分而不必要条件.所以本题答案为A.【点睛】本题考查充要条件定义，判断充要条件的方法是：①

若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②

若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③

若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④

若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤

判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系.

4.已知f（x）=，若函数f（x）有5个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣∞，﹣e） C．（e，+∞） D．（，+∞）参考答案：B【考点】分段函数的应用．【分析】先判断函数为偶函数，则要求函数f（x）有5个零点，只要求出当x＞0时，f（x）有2个零点即可，分别y=ex与y=﹣ax的图象，利用导数的几何意义即可求出．【解答】解：∵f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数，∵当x=0，f（x）=0时，∴要求函数f（x）有5个零点，只要求出当x＞0时，f（x）有2个零点即可，分别y=ex与y=﹣ax的图象，如图所示，设直线y=﹣ax与y=ex相切，切点为（x0，y0），∴y′=ex，∴k==，∴x0=1∴﹣a=e，∵当x＞0时，f（x）有2个零点即可．∴﹣a＞e，∴a＜﹣e，故选：B5.某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是

（

）

A．6

B．8

C．10

D．12参考答案：C6.已知是函数的零点，若，则的值满足（A）

（B）

（C）

（D）的符号不确定参考答案：B略7.设底面为正三角形的直棱柱体积为V,那么表面积最小时,底面边长为(

)Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.2参考答案：C8.已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，M是双曲线上的一点，|MF1|=，|MF2|=1，∠F1MF2=30°，则双曲线的离心率是

A．2

B．

C．

D．3参考答案：B略9.复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C略10.在复平面内，复数对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某饮料店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间有下列数据：x－2－1012y54221

甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：①；②；③，④，其中正确方程的序号是_______．参考答案：②12.已知数列n∈N*，n≥2的前n项和Sn=n2+2n﹣1（n∈N*），则a1=

；数列{an}的通项公式为an=

．参考答案：2，.【考点】数列的函数特性．【分析】本题直接利用数列前n项和与数列通项的关系，可得到本题结论．【解答】解：∵Sn=n2+2n﹣1，当n=1时，a1=1+2﹣1=2，当n≥2时，∴an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣1﹣=2n+1，∵当n=1时，a1=﹣2+1=3≠2，∴an=，故答案为：2，，【点评】本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）进行解答，此题难度不大，很容易进行解答．13.已知首项为正数的等差数列中，,则当取最大值时，数列的公差=

．参考答案：-314.采用系统抽样从含有8000个个体的总体（编号为0000，0001，…，，7999）中抽取一个容量为50的样本，已知最后一个入样编号是7900，则最前面2个入样编号是

参考答案：0060，0220

15.函数的单调递增区间是

；参考答案：16.在△ABC中，点A（1，1），点B（3，3），点C在x轴上，当cos∠ACB取得最小值时，点C的坐标为．参考答案：（，0）【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】设C（x，0），则当cos∠ACB取得最小值时，tan∠ACB取得最大值．利用夹角公式，结合基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设C（x，0），则当cos∠ACB取得最小值时，tan∠ACB取得最大值．∵点A（1，1），点B（3，3），∴tan∠ACB==，由题意，x＞0，x+≥2，即x=时，tan∠ACB取得最大值．∴C（，0）．故答案为（，0）．17.已知函数满足，，则的取值范围是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分8分）等差数列{}的前n项和为，已知，.（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{}的前项和．参考答案：（Ⅰ）设等差数列{}的公差为d，由已知条件得

可得数列{}的通项公式为=n.

（Ⅱ）=-=

=

19.如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．

参考答案：（1）如右图，过S作SH⊥RT于H，S△RST=．

……2分由题意，△RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离；

………4分RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT≤4，SH≤2，当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S△RST==4（km2）．

…………6分

（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=，则有．

………………8分令，则．

…………11分若，，又时，，时，，

…………14分函数在处取到极大值也是最大值，故时，场地面积取得最大值为（km2）．

…………16分略20.设函数（1）若求的极小值；（2）在（1）的条件下，是否存在实常数和使得和若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由；（3）设有两个零点且成等差数列，试探究的符号。参考答案：⑴由，得解得，则，因为，所以（0，1）1（1，+∞）－0+极小值所以的极小值为．⑵因为与有一个公共点（1，1），而函数在点（1，1）处的切线方程为，下面验证都成立即可，由≥，得≥，知≥恒成立，设，即，知其在（0，1）上单调递增，在（1，++∞）上单调递减，所以的最大值为，所以≤恒成立．故存在这样的和，且．⑶的符号为正，理由如下：因为有两个零点，则有．两式相减得，即，于是①当时，令，则，且，设，则，故在上为增函数，又，所以，即，又因为，，所以．②当