2022年北京房山区高三一模数学试题和答案

2022北京房山高三一模数学本试卷共6页，分。考试时长分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。第一部分（选择题共一、选择题共小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。2，=−−B=∣x2=（1）已知集合A则AB（）（A）−2−0,1（）2,2（D）（）（2）在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2,，则−zz=（）（A）5（）3（）54i（D）－4i（3ab0，且ab则下列不等式一定成立的是（）11（A）a2b2（）abbaa+b（）+2（D）ab26ax（4x+的展开式中的常数项为−20，则a=（）（A）2（）1（）－2（D）－1（5）已知M为抛物线x2=2py(p0)上一点，到抛物线的焦点的距离为x轴距离为，则M43p=（）1（A）（）1（）2（D）4211109=+=则aa=（6）在等差数列n中，35，（）15159（A）（）9（）10（D）2521Q（7）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为v=log3，2100其中Q表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（（A）2600（）2700（）26（D）27“=+k(kZ)”“f(x)）（8）已知函数f(x)2=2(x+)−1，则是为奇函数的（）4（A）充分而不必要条件（）充分必要条件（）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（9）已知直线l被圆C:x（A）y=x−1=12+y=2所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（）22（）(x−2+y=12=1x2（）+y2（D）x−y222()（10）已知U是非空数集，若非空集合A,A满足以下三个条件，则称A,A为集合U的一种真分拆，并规定1212()()11,2与A,A为集合U的同一种真分拆．2①AA=；12②AA=U；12(=)③Ai1,2的元素个数不是A中的元素．1=则集合U2,3,4,5,6的真分拆的种数是（）（A）5（）6（）10（D）15第二部分（非选择题共二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。x21（11）若双曲线−y2=a的一条渐近线方程为y=x，则a=_______．a22（12）已知a,b是单位向量，c=a+b，且a⊥c，则ab=_______；_______．c=()=()()=()（13）将函数fxsin2x的图象向右平移个单位长度后得到函数gx的图象，则gx_____；若gx在区间6()m上的最小值为g0，则m的最大值为_____．()()()()()()（14）函数fx的图象在区间0,2上连续不断，能说明“若fx在区间0,2上存在零点，则f0:f20”为()()=假命题的一个函数fx的解析式可以为fx______．（15）如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为，点O为底面的中心，点P在侧面BBCC的边界及其内部运111111动．给出下列四个结论：①O；⊥②存在一点P，DO//BP；11③若O，则⊥△DCP面积的最大值为5；11④若P到直线DC的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分．其中11所有正确结论的序号_________．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16如图，在三棱柱ABC−ABC中，⊥平面，===1．11111（I）求证：//平面BAC；11（I）若ABBC，求：⊥①与平面BAC所成角的正弦值；．111②直线与平面BAC的距离、11（17bsinA=acosB△中，，在．（Ⅰ）求B的大小；△△的面积．（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求1条件①：A=−；2条件②：b=2；条件③：边上的高为6．2注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（18良好的生态环境是最普惠的民生福祉，北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降．2021年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破，下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计．月份空气质量优良天数24空气质量污染天数1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合计18101120273238219265292273292237301288777（Ⅰ）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；（Ⅱ20214月、69月中各任选大，设随机变量X表示选出的3天中空气质量优良的天数，求X的分布列；（Ⅲ2021年的13月、5月、7月、8月、月、月中，设空气质量优良天数的方差为12，空气质量污染天数的方差为S2会．试判断1，S2222之的大小关系．（结论不要求证明）（19已知函数f(x)=x−a)ex．（Ⅰ）当a0时，求曲线=y=f(x)在x=1处的切线方程；()(（Ⅱfx在区间0,e存在极小值，求a的取值范围．（203)()已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为A(−2,0,B2,0．2（Ⅰ）求椭圆C的方程：()=（Ⅱ）过点1,0的直线与椭圆CM,N（不与,B重合）两点，直线与直线x4交于点Q．△MBN△MBQBNBQ求证：=．（21若无穷数列a满足如下两个条件，则称n为无界数列：n(=①n0n2,3)；②对任意的正数，都存在正整数N，使得aN．()(=ab（Ⅰ）若n2nb2nn2,3，判断数列=+=+，是否是无界数列；nnn（Ⅱn2n1，是否存在正整数，使得对于一切=+knk，123a都有++n−1成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；2n1（Ⅲ）若数列a是单调递增的无界数列，n123a求证：存在正整数m，使得++m−1．2m1参考答案一、选择题共小题，每小题4分，共12345678910ABACDCBDAC二、填空题共5小题，每小题5分，共12（）13sin(2x−（11）2（）−;336（14）答案不唯一，如(－1)215）①③三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题（Ⅰ）在三棱柱ABCABC中，四边形AACC为平行四边形.11111所以ACAC.....................................................211因为AC平面BACAC平面BAC，111111所以ACC............................................2(4)11（Ⅱ）因为BB1⊥平面ABC，AB,平面ABC，所以BB⊥AB,BC.11又ABBC，所以ABBB1两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系B－，.......................................................................................1(5)则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,1,1),A，10)B(0,0,0).111所以=0)，BC=,AA=0)............................................................6(6)111设平面C的法向量为n＝(x,y,z)11nx+y=0y+z=0.，即n=01令x1y＝－1,＝于是＝(1,－1,1).........................................................................3（9）①设直线与平面C所成的角为θ1110)3sin=AA1,n==.............................................2（）2+12+(23AA1n113所以AA与平面C所成角的正弦值为1113②因为AC平面BAC，11所以直线AC与平面BAC的距离就是点A到平面C的距离.....................................1（）1111设AC的距离为h，则11AA1n0)−3h===................................................................................2（）n33（17）（本小题14分）ab=及bsinA=aB..................................................................2（Ⅰ）由正弦定理sinAsinB得asinB＝acos.所以tanB1............................................................................................................................2因为＜∠B180，所以∠＝45º...........................................................................................................................1（5）（Ⅱ）选择条件①②，∆存在且唯一，解答如下：1由A=−0º＜∠A＜135º，得∠＝120º.............................................................1（6）2ab由正弦定理=及b=2sinAsinBa2得=，解得a=3....................................................................................3（）9sin120sin45方法：由＋＋＝180º，得∠C15º.sinC=sin15=sin(45−30)=sin45cos30−cos45sin30.........................................................................3（）232162=−=−222244116−23−3所以S=absinC=32=............................................2（）22441方法：由余弦定理a2＝b＋c2－2cosA＝＋c2－2c(−)26−22c+2c−1=0，解得c=即2116−223−3所以S=acsinB=3()=22224选择①③，∆存在且唯一，解答如下：1由A=−，及0A135，得A=120.........................................................1（）6266h23==2......................................................2（8）因为边上的高为，所以b=2sinA2ab由正弦定理=及b=2sinAsinBa2=a=3................................................................................3（9）得，解得：sin120sin45（以下与选择条件①②相同）（18）（本小题14分）（Ⅰ）记事件A为从2021年中任选1天，这一天空气质量优良”，288则P()=.........................................................................................................................4365（ⅡX的所有可能取值为0,1,2,3...............................................................................................1方法：记事件B为从4月任选1天，这一天空气质量优良，事件C为“从6月任选1天，这一天空气质量优良”,事件D为“从9月任选1天，这一天空气质量优良”.由题意知，事件B,C,D相互独立，279217且P(B)=P(D)==，PC)==.................................................................2301030101313所以P(X=0)=P(BCD)=P(B)PC)P(D)==...................................11010101000P(X==P(++BCD)=P(B)PC)P(D)+P(B)PC)P(D)+P(B)PC)P(D)61931171139=++=.......................................11010101010101010101000P(X==P(++BCD)=P(B)PC)P(D)+P(B)PC)P(D)+P(B)PC)P(D)971939179369=++=.......................................1.......................................11010101010101010101000979P(X==P(BCD)=P(B)PC)P(D)==3933方法：P(X==P(X===93+3213+39=213+9+3P(X===21P(X===所以X的分布列为:X01233P...................................................................................................................................................1（Ⅲ）s=s2..................................................................................................................................212（19）（本小题（Ⅰ）当a＝0()fx=xe(x0)x1=+)ex...........................................................................................................1则f(x)xx==所以fe，f0.......................................................................................................2所以曲线y=f(x)在x1处的切线方程为y=e(x−...................................................1（4）11=−+xaex−x=x+−x=+x−a)ex............1（5）（Ⅱ）f(x))xa)(e)exae)(xx1令g(x)=+−(.xa,xex11x−1=−=2则g(x).......................................................................................................1（6）xxx2==得g(x)0,x1.解gx)与g(x)的变化情况如下：x(0，1)10(1,e)+g'(x)g(x)-↘极小值↗所以函数g(x在区间(0,e上的最小值为g＝－a...........................................................2（8）方法：①当a1时，g(1)1－a，所以g(x)0恒成立，即f'(x)≥0恒成立，所以函数f(x)在区间e上是增函数，无极值，不符合要求...........................................1（9）11②当＜＜1＋时，因为g(1)＝1a＜g(e)1＋－a＞，eexe)0g(0)=0.所以存在，使得x(1，x0)x00(x0,e)g(x)(f'(x))f(x)-+↘极小值↗所以函数f(x)在区间(1,e上存在极小值f(x0)，符合要求...................................................4（）11③当a1+时，因为g=1−ag(e)=1+−a0ee所以函数f(x)在区间(1,e上无极值.11取x=，则g()=ae−a−1−aae−(a−−1−a=a(e−2)0.aeaeg(0)=0.x0所以存在，使得易知，x0为函数f(x在区间(0，上的极大值点.所以函数f(x)在区间(0,e上有极大值，无极小值，不符合要求........................................1（）1综上，实数a的取值范围是（+）.e方法：“f(x)在区间e]上存在极小值当且仅当“g0g(e)01”，解得1a1+.e证明如下：1当1a1+时，eg0g(e)0因为，所以存在x，使得g(x)＝0.00x1，x0x0(x0,e)+g(x)(fx))f(x)-0↘极小值↗所以函数f(x)在区间(1,e上存在极小值.1所以实数a的取值范围是(+).e（20）（本小题（Ⅰ）由长轴的两个端点分别为A(－2,0),B(2,0),a＝2........................................................13c3=，所以c=3...................................................................1由离心率为，可得2a2又a2＝b＋c2，解得b＝1........................................................................................................1x2+y=1..................................................................................2(5)2所以椭圆C的标准方程为4（Ⅱ）方法1：当直线l斜率不存在时，直线l的方程为＝，33易得MN−)2233所以k求得Q(4,=，直线所在的方程为y=(x+2).663).33k=,k=22S所以，NBQ三点共线，所以=.......................................................................1（6）SBQy=k(x−k...........................................1当直线l斜率存在时，设直线l的方程为（7）y=k(x−由x2得＋4k2)x2－k2x＋4k－4＝0..................................................................1（8）+y=124设M(x,y),N(x,y)，11228k+24k−42则x+x=，xx=................................................................................2（）122121+4k214k1+11+2k=，直线AM的方程为y=(x+2).........................................................1（）12611+2所以Q(4,).....................................................................................................................1（）611+24−2611+22−0y2−0y2311+2所以k==,k===NB−−2222y231k(x−k(x−21kNB−k=−=−2−22+22−21+2k(x−x+2)−k(x−x−==2112(x−2)(x+2)21k[2xx+5x+x−1212(x−2)(x+2)212−2(4k48kk−2+5−821+4k21+4k==0.(x−2)(x+2)21S所以，NBQ三点共线，所以=.......................................................................3（）SBQ方法：设直线l的方程为xmy1,x=+由x2得m2＋4)y＋my－30．+y=124设M(x,y),N(x,y)，11222m3则y+y=−,yy=.12m2+12m2+441+1+2k=−，直线的方程为y=(x+2).121611+2所以Q(4,).611+24−2611+22−0y2−0y2311+2所以k==,k===NB−−2222y231y(my+−3y(my−2112kNB−k=−=2−21+2−+(22)(12)−2y+y+y)=1212=0.(x−2)(x+