1.2.3直线与圆的位置关系第一课时课件高二上学期数学北师大版选择性

2.3

直线与圆的位置关系

（第一课时）北师大版（2019）选择性必修第一册第一章目录一、探究直线与圆的位置关系二、直线与圆的位置关系的判定三、实际应用四、课堂检测五、课堂小结六、布置作业思考：如果把海平面看做一条直线，太阳看做一个圆，你能得出直线与圆的位置关系吗？探究直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系相离相交相切0个2个1个位置关系公共点数思考：如何判断直线与圆的位置关系呢？图形探究直线与圆的位置关系【问题1】在平面几何中，我们已经学习了直线与圆的方程，根据直线与圆的交点个数，如何用直线与圆的方程来判断直线与圆的位置关系呢？设直线l

：

(A、B不全为0)，圆O：思路：根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况来决定它们的位置关系由

，消元得到一个关于x或y的一元二次方程方程组有两组不同的实数解相交方程组只有一组实数解相切方程组没有实数解相离代数法探究直线与圆的位置关系【问题2】我们还学习了点到直线的距离，那么如何用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系呢？思路：由圆心到直线的距离与半径的大小关系来决定它们的位置关系设直线l

：

(A、B不全为0)，圆O：圆心O(a，b)

到直线l的距离为

，则相交相切相离几何法直线与圆的位置关系的判定例1如图，已知直线l：和圆心为C的圆，判断直线与圆的位置关系.【解析】方法一：由

，得：

∵∴直线l与圆C相交

方法二：圆C的方程可化为

，则圆心C的坐标为（0，1），

半径为∴点C到直线l的距离为

∴直线l与圆C相交

【问题3】你能总结一下用直线和圆的方程判定直线与圆的位置关系的步骤吗？方法一（代数法）①联立直线与圆的方程组成方程组；②消元，得到一元二次方程；③计算∆；④判断∆得到直线与圆的位置关系∆=0

相切∆>0

相交∆<0

相离方法二（几何法）①写出圆的圆心坐标和半径r；②计算圆心到直线的距离d；③比较d和半径r的大小，从而得到直线与圆的位置关系d=r

相切d<r

相交d>r

相离直线与圆的位置关系的判定【针对训练1】判断下列直线l与圆C的位置关系：（1）l:，C:；（2）l:，C:；（3）l:，C:.分析：相切分析：相离分析：相交直线与圆的位置关系的判定例2

已知直线l:

,圆M：

.（1）指出圆心M的位置特征；（2）求实数a分别取何值时，直线l与圆M相交、相切、相离.【解析】（1）由圆M的方程可知，圆心M(a，0)为轴上的动点.（2）方法一：几何法圆心M到直线l的距离为

，则①当

，即

时，直线l与圆M相交；②当

，即

或

时，直线l与圆M相切；③当

，即

或

时，直线l与圆M相离.直线与圆的位置关系的判定【解析】（2）方法二：代数法由

，得：因为

，则①当

，即

时，直线l与圆M相交；②当

，即

或

时，直线l与圆M相切；③当

，即

或

时，直线l与圆M相离.【问题4】通过学习例2，你能说明该例中体现出来的数学思想方法吗？数形结合、分类讨论直线与圆的位置关系的判定【针对训练2】

已知直线l：

，圆C：

，求实数b分别为何值时，直线l与圆C相交、相切、相离.【解析】（几何法）圆心C（0，1）

到直线l的距离为

，则①当

，即

时，直线l与圆M相交；②当

，即

或

时，直线l与圆M相切；③当

，即

或

时，直线l与圆M相离.直线与圆的位置关系的判定【解析】方法一：代数法由

，得：∴

恒成立

例3

圆C：

与直线l:

的位置关系是（

）A.相切

B.相离

C.相交

D.不能确定，则直线l与圆C相交.方法二：几何法点C到直线l的距离∴

直线l与圆C相交.C直线与圆的位置关系的判定例3

圆C：

与直线l:

的位置关系是（

）A.相切

B.相离

C.相交

D.不能确定思考：你还能找到其他方法判断直线与圆吗？分析：由直线l的方程

可知，直线l过定点P（1，1）∵

，则定点P在圆C内

∴不论m取何值，直线l都会与圆C相交【思考】这种方法有什么局限性吗？直线与圆的位置关系的判定归纳：这种方法有一定的局限性，用此法的前提是直线所过的定点在圆上或在圆内.

①当该定点在圆内时，直线与圆相交；

②当该定点在圆上时，直线与圆相交或相切；

③当该定点在圆外时，无法确定直线与圆的位置关系.直线系法直线与圆的位置关系的判定实际应用例4

一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心、半径为30km的圆形区域.已知小岛中心位于轮船正西70

km处，港口位于小岛中心正北40km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？解析：以台风中心为原点、东西方向为轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取10km为单位长度，这样受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为.由题可得，港口处坐标为（0，4），轮船处坐标为（7，0）则轮船航线所在直线l的方程为

，∴点O到直线l的距离又圆的半径为3，则3.5>3，∴这艘轮船不会有触礁危险.思路：画出图形建立数学模型，将触礁问题转化为直线与圆的位置关系的判定.课堂检测1.直线与圆的位置关系为（）A.相交且直线过圆心B.相切C.相离D.相交且直线不过圆心2.直线

与圆

的位置关系是（

）A.相交

B.相离

C.相交或相切

D.相切