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文档简介
第2课时正弦定理的应用学习目标1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能.2.理解三角形面积公式及解斜三角形.3.能用正弦定理解决简单的实际问题.知识点一正弦定理的变形公式设△ABC的外接圆的半径为R,有eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2R.(1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(2)eq\f(a,b)=eq\f(sinA,sinB),eq\f(a,c)=eq\f(sinA,sinC),eq\f(b,c)=eq\f(sinB,sinC);(3)eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=eq\f(a+b+c,sinA+sinB+sinC);(4)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.知识点二边角互化思考在△ABC中,已知acosB=bcosA.你能把其中的边a,b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?答案可借助正弦定理把边化成角:2RsinAcosB=2RsinBcosA(R为△ABC外接圆半径),移项后就是一个三角恒等变换公式sinAcosB-cosAsinB=0.梳理一个公式就是一座桥梁,可以连接等号两端.正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来,简称边角互化.知识点三三角形面积公式思考在△ABC中,已知a=1,b=2,C=30°.BC边上的高AD是多少?△ABC的面积是多少?答案AD=bsinC=2·sin30°=1.S△ABC=eq\f(1,2)a·AD=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)×1×1=eq\f(1,2).梳理在△ABC中,内角A,B,C的对边为a,b,c,则△ABC的面积S△ABC=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)bcsinA=eq\f(1,2)casinB.知识点四仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角,如图所示.1.仰角和俯角都是视线与铅垂线所成的角.(×)2.在△ABC中,若b2=2acosB,则sin2B=2sinAcosB.(×)3.平行四边形ABCD的面积等于AB·ADsinA.(√)类型一边角互化例1在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.考点判断三角形的形状题点利用正弦定理和三角变换判断三角形的形状解方法一由正弦定理,得eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2R(R为△ABC外接圆半径),∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴A是直角,B+C=90°,∴2sinBcosC=2sinBcos(90°-B)=2sin2B=sinA=1,∴sinB=eq\f(\r(2),2).∵0°<B<90°,∴B=45°,C=45°,∴△ABC是等腰直角三角形.方法二由正弦定理,得eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2R(R为△ABC外接圆半径),∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴A是直角.∵A=180°-(B+C),sinA=2sinBcosC,∴sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,∴sin(B-C)=0.又-90°<B-C<90°,∴B-C=0,∴B=C,∴△ABC是等腰直角三角形.反思与感悟利用正弦定理判定三角形的形状,主要有两条途径(1)化边为角:将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.转化公式为a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC外接圆半径).(2)化角为边:将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系,如a=b,a2+b2=c2等,进而确定三角形的形状.转化公式为sinA=eq\f(a,2R),sinB=eq\f(b,2R),sinC=eq\f(c,2R)(R为△ABC外接圆半径).跟踪训练1若将题设中的“sinA=2sinBcosC”改为“bsinB=csinC”,其余不变,试解答本题.考点判断三角形的形状题点利用正弦定理和三角变换判断三角形的形状解由正弦定理,设eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2R(R为△ABC外接圆半径),从而得sinA=eq\f(a,2R),sinB=eq\f(b,2R),sinC=eq\f(c,2R).∵bsinB=csinC,sin2A=sin2B+sin2C,∴b·eq\f(b,2R)=c·eq\f(c,2R),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2R)))2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2R)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2R)))2,∴b2=c2,a2=b2+c2,∴b=c,A=90°.∴△ABC为等腰直角三角形.类型二三角形面积公式及其应用命题角度1已知边角求面积例2在△ABC中,已知B=30°,AB=2eq\r(3),AC=2.求△ABC的面积.考点用正弦定理解三角形题点用正弦定理求面积解由正弦定理,得sinC=eq\f(AB·sinB,AC)=eq\f(\r(3),2),又AB·sinB<AC<AB,故该三角形有两解:C=60°或120°,所以当C=60°时,A=90°,S△ABC=eq\f(1,2)AB·AC=2eq\r(3);当C=120°时,A=30°,S△ABC=eq\f(1,2)AB·AC·sinA=eq\r(3).所以△ABC的面积为2eq\r(3)或eq\r(3).反思与感悟对于面积公式S=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)acsinB=eq\f(1,2)bcsinA,总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半.一般是已知哪一个角就使用哪一个公式,但也要结合具体条件,如已知AB,AC,就以选S=eq\f(1,2)AB·ACsinA为宜.跟踪训练2在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若tanA=3,cosC=eq\f(\r(5),5),(1)求角B的大小;(2)若c=4,求△ABC的面积.考点用正弦定理解三角形题点用正弦定理求面积解(1)∵cosC=eq\f(\r(5),5),∴C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),∴sinC=eq\f(2\r(5),5),tanC=2.又∵tanB=-tan(A+C)=-eq\f(tanA+tanC,1-tanAtanC)=-eq\f(3+2,1-3×2)=1,且0<B<π,∴B=eq\f(π,4).(2)由正弦定理eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC),得b=eq\f(csinB,sinC)=eq\f(4×\f(\r(2),2),\f(2\r(5),5))=eq\r(10),由sinA=sin(B+C)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+C))得sinA=eq\f(3\r(10),10),∴△ABC的面积S△ABC=eq\f(1,2)bcsinA=6.命题角度2已知面积求边角例3在△ABC中,角A=60°,b=1,S△ABC=eq\r(3),则sinB∶sinC=.考点用正弦定理解三角形题点已知面积求边或角答案1∶4解析因为S△ABC=eq\f(1,2)bcsinA,所以c=eq\f(2S△ABC,bsinA)=eq\f(2\r(3),1×\f(\r(3),2))=4,由正弦定理eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC),得sinB∶sinC=b∶c=1∶4.反思与感悟条件中涉及面积,要根据解题目标和其它条件eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如已知条件中角的大小))选取对解题有利的面积公式.跟踪训练3在△ABC中,B=60°,a=1,b=eq\r(3),S△ABC=eq\f(\r(3),2),则C=.考点用正弦定理解三角形题点已知面积求边或角答案90°解析S△ABC=eq\f(1,2)acsinB=eq\f(1,2)·1·c·eq\f(\r(3),2)=eq\f(\r(3),2),∴c=2,∵B=60°,b=eq\r(3),∴eq\f(c,sinC)=eq\f(b,sinB)=eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))=2.∴sinC=1,∴C=90°.类型三用正弦定理解决简单实际问题例4如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB为m.考点解三角形求高度题点测量俯角(仰角)求高度答案5(eq\r(3)+1)解析方法一设AB=xm,则BC=xm.∴BD=(10+x)m.∴tan∠ADB=eq\f(AB,DB)=eq\f(x,10+x)=eq\f(\r(3),3).解得x=5(eq\r(3)+1)m.∴A点离地面的高AB等于5(eq\r(3)+1)m.方法二∵∠ACB=45°,∴∠ACD=135°,∴∠CAD=180°-135°-30°=15°.由正弦定理,得AC=eq\f(CD,sin∠CAD)·sin∠ADC=eq\f(10,sin15°)·sin30°=eq\f(20,\r(6)-\r(2)).∴AB=ACsin45°=5(eq\r(3)+1)m.反思与感悟在运用正弦定理解决实际问题时,通常都根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.跟踪训练4为了求底部不能到达的水塔AB的高,如图,在地面上引一条基线CD=a,这条基线延长后不过塔底,若测得∠ACB=α,∠BCD=β,∠BDC=γ,求水塔AB的高.考点解三角形求高度题点测量俯角(仰角)求高度解在△BCD中,eq\f(BC,sinγ)=eq\f(a,sin∠CBD)=eq\f(a,sinβ+γ),∴BC=eq\f(asinγ,sinβ+γ),在Rt△ABC中,AB=BC·tanα=eq\f(asinγ·tanα,sinβ+γ).1.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者与A在河的同侧,在所在的河岸边先确定一点C,测出A,C的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为m.考点解三角形求距离题点测量可到达点与不可到达点间的距离答案50eq\r(2)解析∠B=180°-45°-105°=30°,在△ABC中,由eq\f(AB,sin45°)=eq\f(50,sin30°),得AB=100×eq\f(\r(2),2)=50eq\r(2).2.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是.考点解三角形求高度题点测量俯角(仰角)求高度答案20eq\r(3)米,eq\f(40\r(3),3)米解析甲楼的高为20tan60°=20×eq\r(3)=20eq\r(3)(米),乙楼的高为20eq\r(3)-20tan30°=20eq\r(3)-20×eq\f(\r(3),3)=eq\f(40\r(3),3)(米).3.在△ABC中,若c=2acosB,则AB.(填>,=,<)考点判断三角形形状题点利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状答案=解析∵c=2acosB,由正弦定理得,2cosBsinA=sinC=sin(A+B),∴sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,又∵-π<A-B<π,∴A-B=0,∴A=B.4.在锐角△ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asinB=eq\r(3)b,则A=.考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理进行边角互化解三角形答案eq\f(π,3)解析在△ABC中,利用正弦定理,得2sinAsinB=eq\r(3)sinB,∵B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),sinB≠0,∴sinA=eq\f(\r(3),2).又∵A为锐角,∴A=eq\f(π,3).5.在△ABC中,已知BC=6,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为.考点解三角形求面积题点先用正弦定理求边或角再求面积答案9eq\r(3)解析由正弦定理得eq\f(AC,sinB)=eq\f(BC,sinA),∴AC=eq\f(BC·sinB,sinA)=eq\f(6×sin120°,sin30°)=6eq\r(3).又∵C=180°-120°-30°=30°,∴S△ABC=eq\f(1,2)AC·BC·sinC=eq\f(1,2)×6eq\r(3)×6×eq\f(1,2)=9eq\r(3).1.用正弦定理解决实际问题时,首先根据条件画出示意图,并特别注意诸如“仰角”、“俯角”之类术语的准确理解.然后分析解三角形已有哪些条件,要求什么,还缺什么,如何利用正弦定理及三角知识达到目标.2.当条件等式中边的次数、角的正弦次数相同时,或已知三角形外接圆半径时,可以用正弦定理进行边角互化.3.三角形面积公式要根据条件灵活选择.一、填空题1.在△ABC中,若a=3,cosA=eq\f(1,2),则△ABC外接圆的半径为.考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的理解答案eq\r(3)解析∵cosA=eq\f(1,2),A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,π)),∴sinA=eq\f(\r(3),2),由eq\f(a,sinA)=2R,得R=eq\r(3).2.在△ABC中,若a∶b∶c=1∶3∶5,则eq\f(2sinA-sinB,sinC)的值为.考点用正弦定理解三角形题点用正弦定理进行边角互化解三角形答案-eq\f(1,5)解析由条件得eq\f(a,c)=eq\f(sinA,sinC)=eq\f(1,5),∴sinA=eq\f(1,5)sinC.同理可得sinB=eq\f(3,5)sinC.∴eq\f(2sinA-sinB,sinC)=eq\f(2×\f(1,5)sinC-\f(3,5)sinC,sinC)=-eq\f(1,5).3.埃及有许多金字塔,经过几千年的风化蚀食,有不少已经损坏了.考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶端已经坍塌了),A=50°,B=55°,AB=120m,则此金字塔的高约为米.(sin50°≈0.766,sin55°≈0.819)(精确到1米)考点正弦定理的简单实际应用题点求高度问题答案78解析先分别从A,B出发延长断边,确定交点C,则C=180°-A-B=75°,AC=eq\f(AB,sinC)·sinB=eq\f(120,sin75°)×sin55°≈101.7.设高为h,则h=AC·sinA=101.7×sin50°≈78(米).4.在△ABC中,已知a=3eq\r(2),cosC=eq\f(1,3),S△ABC=4eq\r(3),则b=.考点用正弦定理解三角形题点已知面积求边或角答案2eq\r(3)解析∵cosC=eq\f(1,3),C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),∴sinC=eq\r(1-cos2C)=eq\f(2\r(2),3),∵eq\f(1,2)absinC=4eq\r(3),a=3eq\r(2),∴b=2eq\r(3).5.在△ABC中,eq\f(a,cosB)=eq\f(b,cosA),则△ABC的形状是.考点判断三角形形状题点利用正弦定理和三角变换判断三角形形状答案等腰三角形或直角三角形解析在△ABC中,∵eq\f(a,cosB)=eq\f(b,cosA),∴acosA=bcosB,由正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B.又∵A,B∈(0°,180°),∴2A=2B或2A+2B=180°,∴A=B或A+B=90°.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.6.如图,小山的电视发射塔AB高为50米,在山下地面C点,测得塔底B的仰角为40°,测得塔顶A的仰角为70°,则小山BD的高约为米.(sin20°≈0.342,sin40°≈0.643,精确到0.01米)考点解三角形求高度题点由仰角问题求高度答案21.99解析在△ACD中,∠CAD=20°,在△ACB中,∠ACB=30°,由正弦定理,得BC=eq\f(50sin20°,sin30°)=eq\f(50×0.342,0.5)=34.20.在△BCD中,BD=BCsin40°≈21.99(米).7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若1+eq\f(tanA,tanB)=eq\f(2c,b),则角A的大小为.考点用正弦定理解三角形题点用正弦定理、三角变换解三角形答案eq\f(π,3)解析由1+eq\f(tanA,tanB)=eq\f(2c,b)及正弦定理,得1+eq\f(sinAcosB,cosAsinB)=eq\f(2sinC,sinB),即eq\f(sinA+B,cosAsinB)=eq\f(2sinC,sinB),又∵sin(A+B)=sinC>0,sinB>0,∴cosA=eq\f(1,2).又∵0<A<π,∴A=eq\f(π,3).8.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=eq\r(2)a,则eq\f(b,a)=.考点用正弦定理解三角形题点用正弦定理进行边角互化解三角形答案eq\r(2)解析由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=eq\r(2)sinA,即sinB·(sin2A+cos2A)=eq\r(2)sinA.所以sinB=eq\r(2)sinA,所以eq\f(b,a)=eq\f(sinB,sinA)=eq\r(2).9.在△ABC中,A=eq\f(π,3),BC=3,则△ABC的周长为.(用B表示)考点用正弦定理解三角形题点用正弦定理进行边角互化解三角形答案6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B+\f(π,6)))+3解析在△ABC中,由正弦定理得eq\f(AC,sinB)=eq\f(3,\f(\r(3),2)),化简得AC=2eq\r(3)sinB,eq\f(AB,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B+\f(π,3))))))=eq\f(3,\f(\r(3),2)),化简得AB=2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)-B)),所以三角形的周长为BC+AC+AB=3+2eq\r(3)sinB+2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)-B))=3+3eq\r(3)sinB+3cosB=6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B+\f(π,6)))+3.10.已知圆的半径为4.a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16eq\r(2),则三角形的面积为.考点用正弦定理解三角形题点用正弦定理求面积答案eq\r(2)解析由正弦定理得,c=2RsinC=8sinC,∴sinC=eq\f(c,8).∴三角形面积=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)ab·eq\f(c,8)=eq\f(1,16)abc=eq\f(1,16)×16eq\r(2)=eq\r(2).二、解答题11.在△ABC中,求证:eq\f(a-ccosB,b-ccosA)=eq\f(sinB,sinA).考点用正弦定理解三角形题点用正弦定理进行边角互化解三角形证明因为eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2R,A+B+C=π,所以左边=eq\f(2RsinA-2RsinCcosB,2RsinB-2RsinCcosA)=eq\f(sinB+C-sinCcosB,sinA+C-sinCcosA)=eq\f(sinBcosC,sinAcosC)=eq\f(sinB,sinA)=右边.所以等式成立.12.在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C求:(1)B的范围;(2)eq\f(a,b)的范围.考点用正弦定理解三角形题点用正弦定理、三角变换解三角形解(1)在锐角三角形ABC中,0°<A<90°,0°<B<90°,0°<C<90°,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0°<B<90°,,0°<2B<90°,,0°<180°-3B<90°,))得30°<B<45°.(2)由正弦定理知eq\f(a,b)=eq\f(sinA,sinB)=eq\f(sin2B,sinB)=2cosB∈(eq\r(2),eq\r(3)),故所求eq\f(a,b)的范围是(eq\r(2),eq\r(3)).13.我炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面点C和D处,已知CD=6000米,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面点B处时,测得∠BCD=30°,∠BDC=15°(如图),求炮兵阵地到目标的距离.(结果保留根号)考点运用正弦定理求距离题点在不同三角形中给出角度求距离解在△ACD中,∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°,CD=6000,∠ACD=45°,根据正弦定理有AD=eq\f(CDsin45°,sin60°)=eq\r(\f(2,3))CD,同理,在△BCD中,∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°,CD=6000,∠BCD=30°,根据正弦定理有BD=eq\f(CDsin30°,sin135°)=eq\f(\r(2),2)CD.又在△ABD中,∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°,根据勾股定理有AB=eq
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