高考文数一轮复习课件第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词总纲目录教材研读1.简单的逻辑联结词2.全称量词与存在量词3.含有一个量词的命题的否定考点突破考点二含有一个量词的命题的否定考点一全称命题与特称命题的真假判断考点三含逻辑联结词的命题的真假判断4.常见的否定形式如下考点四利用复合命题的真假求参数范围1.简单的逻辑联结词(1)命题中的①

且

、②

或

、③

非

叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q、p∨q、¬p的真假判断教材研读2.全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量

词,用“⑨

∀

”表示;含有全称量词的命题叫做全称命题.(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存

在量词,用“⑩

∃

”表示;含有存在量词的命题叫做特称命题.3.含有一个量词的命题的否定4.常见的否定形式如下1.下列四个命题中的真命题为

()A.∃x0∈Z,1<4x0<3

B.∃x0∈Z,5x0+1=0C.∀x∈R,x2-1=0

D.∀x∈R,x2+x+2>0答案

D选项A中,

<x0<

,与x0∈Z矛盾;选项B中,x0=-

,与x0∈Z矛盾;选项C中,x=±1,与∀x∈R矛盾;选项D中,由Δ=1-8=-7<0可知D正确.D2.(2016北京西城一模)设命题p:∃x>0,sinx>2x-1,则¬p为

()A.∀x>0,sinx≤2x-1

B.∃x>0,sinx<2x-1C.∀x>0,sinx<2x-1

D.∃x>0,sinx≤2x-1答案

A

A3.(2018北京海淀期中)命题“∀x≥0,sinx≤1”的否定是

()A.∀x<0,sinx>1

B.∀x≥0,sinx>1C.∃x<0,sinx>1

D.∃x≥0,sinx>1答案

DD4.已知a>0且a≠1,命题“∃x0>1,logax0>0”的否定是

()A.∃x0≤1,logax0>0

B.∃x0>1,logax0≤0C.∀x≤1,logax>0

D.∀x>1,logax≤0答案

D先把量词“∃”改为“∀”,再否定结论.故选D.D5.(2016北京海淀二模)已知命题p和命题q,若p∧q为真命题,则下面结论

正确的是

()A.¬p是真命题B.¬q是真命题C.p∨q为真命题D.(¬p)∨(¬q)为真命题答案

C∵p∧q为真命题,∴p为真且q为真.∴¬p和¬q均为假命题,故A、B错误;p∨q为真命题,(¬p)∨(¬q)为假命题,故C正确,D错误.C6.(2017北京海淀期中)已知命题p:∀x>0,x+

≥2;命题q:若a>b,则ac>bc.下列命题为真命题的是

()A.q

B.¬pC.p∨q

D.p∧q答案

C∵x>0时,x+

≥2,当且仅当x=1时取“=”,∴命题p为真命题,则¬p为假命题.若a>b>0,c<0,则ac<bc,∴命题q为假命题.∴p∨q为真命题,p∧q为假命题.故选C.C典例1(1)下列命题中的假命题是

()A.∀x∈R,2x-1>0

B.∀x∈N*,(x-1)2>0C.∃x∈R,lgx<1

D.∃x∈R,tanx=2(2)下列命题中,真命题是

()A.∀x∈R,x2-x-1>0B.∀α,β∈R,sin(α+β)<sinα+sinβC.∃x∈R,x2-x+1=0D.∃α,β∈R,sin(α+β)=cosα+cosβ考点一全称命题与特称命题的真假判断考点突破答案

(1)B(2)D解析(1)易知A正确;对于B,当x=1时,(x-1)2=0,错误;对于C,当x∈(0,1)时,

lgx<0<1,正确;对于D,∃x∈R,tanx=2,正确.(2)因为x2-x-1=

-

,所以A是假命题.当α=β=0时,有sin(α+β)=sinα+sinβ,所以B是假命题.x2-x+1=

+

≥

,所以C是假命题.当α=β=

时,有sin(α+β)=cosα+cosβ,所以D是真命题,故选D.方法技巧全称命题、特称命题的真假判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验

证p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=

x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,

使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.1-1下列命题:①∀x∈R,x2+2>0;②∀x∈N,x4≥1;③∃x∈Z,x3<1;④∃x∈Q,x2=3;⑤∀x∈R,x2-3x+2=0;⑥∃x∈R,x2+1=0.其中是真命题的序号为

.①③答案①③解析①由于∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2,即x2+2>0,所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题.②由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立,所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命

题.③由于-1∈Z,当x=-1时,x3<1,所以命题“∃x∈Z,x3<1”是真命题.④由于使x2=3成立的数只有±

,而它们都不是有理数,因此,没有任何一个有理数的平方能等于3,所以命题“∃x∈Q,x2=3”是假命题.⑤由于只有当x=2或x=1时,满足x2-3x+2=0,所以命题“∀x∈R,x2-3x+2=

0”是假命题.⑥由于不存在一个实数x使x2+1=0成立,所以命题“∃x∈R,x2+1=0”是

假命题.考点二含有一个量词的命题的否定典例2(1)已知命题p:∀x>0,x+

≥2,则¬p为

()A.∀x>0,x+

<2

B.∀x≤0,x+

<2C.∃x≤0,x+

<2

D.∃x>0,x+

<2(2)(2016北京一〇一中学统考(三))已知f(x)=x-sinx,命题p:∃x∈

,f(x)<0,则

()A.p是假命题,¬p:∀x∈

,f(x)≥0B.p是假命题,¬p:∃x∈

,f(x)≥0C.p是真命题,¬p:∀x∈

,f(x)≥0D.p是真命题,¬p:∃x∈

,f(x)≥0答案(1)D(2)A解析(1)先把量词“∀”改为“∃”,再否定结论.故选D.(2)因为f'(x)=1-cosx>0,x∈

,所以函数f(x)=x-sinx在

上单调递增,则0=f(0)<f(x)<f

=

-1,所以命题p是假命题,其否定为¬p:∀x∈

,f(x)≥0,故选A.易错警示全称命题与特称命题的否定与非全称、非特称命题的否定有一定的区

别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在

量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而非全称、非特称命

题的否定只需直接否定结论即可.另外,对于省略量词的命题,应先挖掘

命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.2-1

(2016北京东城期中)命题“∀x∈R,

>0”的否定是

()A.∃x∈R,

<0

B.∀x∈R,

≤0C.∀x∈R,

<0

D.∃x∈R,

≤0答案

D先改变量词,再否定结论,故选D.D2-2命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为

()A.对任意x∈R,都有x2<0

B.不存在x∈R,使得x2<0C.存在x0∈R,使得

≥0

D.存在x0∈R,使得

<0答案

D原命题的否定为存在x0∈R,使得

<0.D考点三含逻辑联结词的命题的真假判断典例3(1)若命题p:函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:函数y

=x-

的单调递增区间是[1,+∞),则

()A.p∧q是真命题

B.p∨q是假命题C.¬p是真命题

D.¬q是真命题(2)(2016北京西城期末)设命题p:“若ex>1,则x>0”,命题q:“若a>b,则

<

”,则

()A.“p∧q”为真命题

B.“p∨q”为真命题C.“¬p”为真命题

D.以上都不对解析(1)易知p是真命题;因为函数y=x-

的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题,所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,¬p为假命题,

¬q为真命题.(2)由ex>1得x>0,所以p为真命题.当a>0>b时,

>0>

,所以q为假命题,所以“p∨q”为真命题,故选B.答案(1)D(2)B方法技巧(1)含逻辑联结词的命题真假判断的步骤:①确定复合命题的结构形式;②判断其中简单命题的真假;③根据真值表判断复合命题的真假.(2)含逻辑联结词的命题真假判断以真值表为标准.可简记为p∧q,同真

则为真,其余为假;p∨q,有真则为真,其余为假;¬p与p的真假相反.3-1设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥

b,b∥c,a∥c.则下列命题中是真命题的是

()A.p∨q

B.p∧qC.(¬p)∧(¬q)

D.p∨(¬q)答案

A由题意知命题p为假命题,命题q为真命题,所以p∨q为真命

题.故选A.A典例4(1)已知命题p:m∈R,且m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成

立,若p∧q为假命题,则m的取值范围是

.(2)已知命题p:关于x的不等式ax>1(a>0,且a≠1)的解集是{x|x<0},命题q:

函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实

数a的取值范围为

.考点四利用复合命题的真假求参数范围答案(1)m≤-2或m>-1(2)

∪[1,+∞)解析(1)若命题p是真命题,则m≤-1;若命题q是真命题,则m2-4<0,解得-

2<m<2,所以p∧q是真命题时,需满足

即-2<m≤-1,∴p∧q为假命题时,m的取值范围是m≤-2或m>-1.(2)由关于x的不等式ax>1(a>0,且