福建省龙岩市上杭县第三中学2023-2024学年八年级上学期开学测试数学试题【含答案】

上杭三中2023－2024学年第一学期暑期托管教学质量检查八年级数学试卷（满分：150分考试时间：120分钟）注意：请把所有答案书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！在本试题上答题无效．一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.△ABC的三边分别为a，b，c，若a＝4，b＝2，c的长为偶数，则c＝（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】先根据三角形三边关系得出c的取值范围，然后根据c的长为偶数即可得出答案．【详解】解：∵△ABC的三边分别为a，b，c，a＝4，b＝2，∴，即，∵c的长为偶数，∴，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．2.下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（）A.房屋顶支撑架 B.自行车三脚架C拉闸门 D.木门上钉一根木条【答案】C【解析】【分析】利用三角形的稳定性进行解答．【详解】伸缩的拉闸门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性．故选C．【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高．故选：D4.已知ABC中，若∠A=∠B+∠C，则此三角形是（）A.等边三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形【答案】D【解析】【分析】由三角形内角和定理可求得∠A的度数，可得出答案．【详解】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，且∠A＝∠B+∠C，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴ABC为直角三角形，故选：D．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，求得角的大小是判定三角形形状的关键．5.若一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】D【解析】【分析】根据已知条件和多边形的外角和求出边数即可．【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于，又∵多边形的外角和等于，∴多边形的边数是，故选：D．【点睛】本题考查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和等于是解此题的关键．6.已知图中的两个三角形全等，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形对应角相等可知是、边的夹角，可得对应角，则，从而可得答案．【详解】解：∵如图，两个三角形全等，与的角是、边的夹角，∴的度数是．故选：C．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键．7.如图中，，，则由“”可以判定（）．A. B. C. D.以上答案都不对【答案】B【解析】【分析】由为公共边易得．注意题目的要求，要按要求做题．【详解】解：在和中，，则．故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8.如图，在五边形中，，，，分别是，，的外角，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行同旁内角互补得到以点为顶点的五边形的两个外角度数和为，再根据多边形的外角和定理列式计算即可．【详解】解：延长、，如图，，根据多边形外角和定理得：，，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质、多边形的外角和定理，熟记平行线的性质及多边形的外角和定理是解题关键．9.某中学新科技馆铺设地面，已有正方形地砖，现打算购买另一种正多边形地砖（边长与正方形的相等），与正方形地砖作平面镶嵌，则该学校可以购买的地砖形状是（）A.正五边形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形【答案】C【解析】【分析】分别计算各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．【详解】解：A、正五边形每个内角是108°，108°与90°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；

B、正六边形每个内角是120°，120°与90°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；

C、正八边形每个内角是135°，135°×2＋90°＝360°，能密铺，符合题意．

D、正十二边形每个内角是150°，150°与90°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；

故选：C．【点睛】本题考查平面镶嵌，解题关键是掌握一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°，任意几种多边形能否进行镶嵌，看它们能否组成360°的角．10.如图，，、、分别平分△ABC外角、内角、外角．以下结论：①：②∠DAC=2∠ADB；③；④平分．其中正确的结论有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【详解】解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC=2∠EAD，∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴ADBC，①正确；∵ADBC，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，∴∠ACB=2∠ADB，∴∠DAC=2∠ADB，∴②正确；在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD=∠DCF，∵ADBC，∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，∴∠ADC+∠ABD=90°∴∠ADC=90°-∠ABD，∴③正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-∠ABC，∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；即正确的有3个，故选：B．【点睛】此题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11.如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是________．【答案】【解析】【分析】分两种情况讨论：若以为腰，若以为腰，即可求解．【详解】解：若以为腰，该三角形的三边长为、、，∵，∴不能构成三角形，不合题意，舍去；若以为腰，该三角形的三边长为、、，∴它的周长是；综上所述，该三角形的周长为．故答案为：【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．12.一个十一边形的内角和等于________度．【答案】【解析】【分析】把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．【详解】解：十一边形的内角和等于：．故答案为：．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式．13.如图，，，，cm，则等于_________，DB等于__________．【答案】①.65°②.3cm【解析】【分析】根据全等三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：∵，cm，∴，∵，，∴；故答案为65°，3cm．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．14.如图，已知在中，，分别为边，的中点，且，则等于______．【答案】【解析】【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ADC是阴影部分的面积的2倍，△ABC的面积是△ADC的面积的2倍，依此即可求解．【详解】解：∵分别为边的中点，∴，∴故答案为：．【点睛】考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分．解题关键是掌握三角形的面积和中线的性质．15.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=__________．【答案】140°【解析】【详解】解：∵△A′DE是△ADE翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=70°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣70°=110°，∴∠1+∠2=360°﹣2×110°=140°．故答案为140°．点睛：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．16.如图，是三角形中线，，分别是和延长线上的点，且，下列说法：①和面积相等；②③；④；⑤．其中正确的有__（填序号）．【答案】①③④【解析】【分析】根据三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等可以判断①正确，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形的对应边相等，再根据内错角相等，两直线平行可得．【详解】解：∵，点到、的距离相等，∴和的面积相等，故①正确；∵为的中线，∴，和不一定相等，故②错误；∴在和中，∴，∴，故③正确；∴．∴故④正确；∵．∴，故⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，等底等高三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，这个多边形的边数是多少？【答案】七

【解析】【分析】设这个多边形的边数是n，根据多边形的内角和和外角和公式列出方程，求解即可【详解】解：设这个多边形的边数是n，根据题意可得：，解得：；即这个多边形是七边形.【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角和，属于基础题目，熟知多边形的内角和和外角和公式是解题的关键.18.在中，，，求度数．【答案】【解析】【分析】用表示出，再根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可．【详解】解：，，，，，解得．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出关于的方程是解题的关键．19.如图，，，A、D、B、F共线，且，求证：．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先根据线段的和差得出，再根据三角形全等的判定定理（定理）即可得证．【详解】证明：∵，∴，即，在和中，，∴．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．20.如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．（1）求证：CD是△ABC的高；（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由等量代换得到∠B＋∠BCD＝90°，求出∠BDC＝90°，可得CD是△ABC的高；（2）根据可求得CD的长．【小问1详解】证明：∵∠ACB＝∠1＋∠BCD＝90°，∠1＝∠B，∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；【小问2详解】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∴，∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴CD＝．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高线，三角形的面积计算，关键是利用了面积法求直角三角形斜边上的高．21.在中，，，，求的度数．【答案】【解析】【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，由，，即可求解．详解】解：∵，，，，；故的度数为．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的推论，掌握定理的推论是解题的关键．22.在中，是边上的高，是的平分线，若，，求的度数．【答案】【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，再求解即可．【详解】解：，，，是平分线，，是边上的高，，，．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形的高线，准确识图是解题的关键．23.在四边形中，，，分别平分和．（1）若°，求度数．（2）证明：．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可求的度数，根据四边形内角和为可求的度数，再根据角平分线的定义可求的度数；（2）根据与互补，得出与互余，根据，得出与互余，进而得到，并得出结论．【小问1详解】解：、分别平分和，，，，，，；【小问2详解】，，，平分交于点，平分交于点，，，．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．即同位角相等，两直线平行．根据同角的余角相等进行推导是证明的主要依据．24.在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，判断BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）设∠BAC＝，∠DCE＝．如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；【答案】（1）垂直且相等，理由见解析；（2）α+β=180°，证明见解析【解析】【分析】（1）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，即可解题；（2）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE=∠B，根据∠B+∠ACB=180°-α即可解题；【详解】解：（1）∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，△BAD和△CAE中，,∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B，BD=CE,∵∠B+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°；∴BD⊥CE，故答案为：BD与CE垂直且相等．（2）∵∠BAD+∠DAC=α，∠DAC+∠CAE=α，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B，∵∠B+∠ACB=180°-α，∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β，∴α+β=180°.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键．25.直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数．【答案】（1）不变，135°（2）不变，67.5°（3）60°或72°【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的意义求解；（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB＝90°，进而得出∠OAB+∠OBA＝90°，故∠PAB+∠MBA＝270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F＝45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE＝112.5°，进而得出结论；（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由两个角度数的比是3：2分四种情况进行