重庆市二0三中学校2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

二〇三中学2023年秋季开学质量检测高2022级数学试题考试时间：120分钟总分：150分班级：姓名：考号：一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应坐标为（）A B. C. D.2.体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（）A.98 B.99 C.99.5 D.1003.如图，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（）A. B.C. D.4.将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（）A. B. C. D.5.已知两个平面，，两条直线l，m，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，，则D.若l，m是异面直线，，，，，则6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P在边长为2的正方形ABCD内部及其边界上运动，已知点，，，则的最大值是A.2 B.4 C.6 D.7.在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.8.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若的面积为，则该圆锥的侧面积为（）.A. B. C. D.二、多选题（每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分）9.下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（）A. B.z的虚部为1 C.z的共轭复数为 D.10.设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A.若，则点M是BC的中点B.若，则点M是的重心C.若，则点M，B，C三点共线D.若，则11.设A，B为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则A，B相互独立C.若A与B相互独立，则 D.若A与B相互独立，则12.如图，在正方体中，P为线段上的一个动点，下列结论中正确的是（）AB.平面平面C.存在唯一的点P，使得为90°D.当点P为中点时，取得最小值三、填空题（每小题5分，共20分）13.过圆锥的轴的截面是顶角为120°的等腰三角形，若圆锥的体积为π，则圆锥的母线长为__________．14.在平面四边形中，，，，若，则的面积为_________.15.三棱锥，平面，，，，（单位：cm）则三棱锥外接球的体积等于_____________．16.设样本数据，，，的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是_____________．四、解答题（每小题12分，共70分）17.已知.（1）若，求与的夹角（2）若与的夹角为45°，求的值18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角C的大小．（2）若，的面积为，求边长c的值．19.如图，在四棱锥S−ABCD中，，，，.（1）求证：直线平面SBC；（2）求证：直线平面SAB；20.某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.21.如图，在直三棱柱中，平面平面，侧面是边长为2的正方形，，分别是与的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若，求直线与平面所成角正弦值.22.在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足），灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD是固定的，路宽．设灯柱高，．（1）经测量当，时，路灯C发出锥形灯罩刚好覆盖AD，求∠ACD；（2