黑龙江省哈尔滨市香坊区第三十九中学2023-2024学年九年级上学期开学测试数学(五四制)试题【含答案】

哈39中学2023—2024学年度上学期九年级开学学情调研数学试卷考生须知：1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内．3.请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效．4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷选择题（共30分）（涂卡）一、选择题（每小题3分，共计30分）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程解答．【详解】解：A、是一元二次方程，故符合题意；B、不是整式方程，故不符合题意；C、是二元二次方程，故不符合题意；D、，化简得，是一元一次方程，故不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（）A.6、8、10 B.5、12、13 C.12、18、22 D.9、12、15【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理即可求解．【详解】A.∵，∴此三角形为直角三角形，故选项错误；B.∵，∴此三角形为直角三角形，故选项错误；C.∵，∴此三角形不是直角三角形，故选项正确；D.∵，∴此三角形为直角三角形，故选项错误.故选C.【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于运用勾股定理的逆定理即可.3.下列命题中正确的是（）A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线相等且互相垂直的四边形是矩形【答案】C【解析】【分析】根据矩形、菱形的判定定理进行选择即可．【详解】解：A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误；B.对角线相等互相平分的四边形是矩形，故B错误；C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C正确；D.对角线相等互相平分的四边形是矩形，故D错误．

故选：C．【点睛】本题考查矩形、菱形的判定，熟练掌握矩形、菱形的判定定理是解答此题的关键．4.已知一次函数的函数图象如图所示，则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由一次函数图象过第一、二、四象限，即可得出k＜0，b＞0．【详解】解：∵一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系以及一次函数的性质，解题的关键是：根据函数图象所在的象限找出一次函数系数的符号．5.如图，在长为，宽为矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，依题意得：解得：，（不合题意，舍去），∴小路宽为．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.如果关于一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A. B. C.且 D.【答案】C【解析】【分析】方程有两个不相等的实数根，则，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．【详解】解：由题意知：，，∴且．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，记住根的判别式是解题关键．7.阅读以下作图步骤：①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）A.且 B.且C.且 D.且【答案】A【解析】【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．【详解】解：由作图过程可得：，∵，∴．∴．∴A选项符合题意；不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；不能确定,故C选项不符合题意，不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．8.如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形，∴，与互相平分，∴四边形是菱形，∵，，∴菱形的面积为．故选：B【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．9.如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】证明，，，则当P与A，B重合时，最长，此时，而运动路程为0或4，从而可得答案．【详解】解：∵正方形的边长为4，为边的中点，∴，，，当P与A，B重合时，最长，此时，运动路程为0或4，结合函数图象可得，故选C【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中：①ac＞0；②a+b+c＜0；③4a﹣2b+c＜0；④2a+b＜0；⑤4ac﹣b2＜4a；⑥a+b＞0中，其中正确的个数为（

）A.2

B.3

C.4

D.5【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线的顶点坐标情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴y轴右侧，能得到：a＜0，c＜0，∴ac＞0，故①正确；②当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，故②错误；③当x=-2时，y＜0，∴4a-2b+c＜0，故③正确；④∵对称轴x=-＜1，∴2a+b＜0，故④正确；⑤∵抛物线的顶点在x轴的上方，∴＜1，∵4a＜0，∴4ac-b2＞4a，故⑤错误；⑥∵2a+b＞0，∴2a+b-a＞-a，∴a+b＞-a，∵a＜0，∴-c＞0，∴a+b＞0，故⑥正确；综上所述正确的个数为4个，故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共计24分）11.函数中，自变量x的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0，由此可得2x﹣3≠0，解得．故答案为：．【点睛】考点：分式有意义的条件.12.若3是关于x的方程x2－x＋c＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．【答案】-2【解析】【详解】已知3是关于x2－x＋c＝0的一个根，代入可得9-3+c=0，解得，c=-6；所以由原方程为x2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得，x=-2或x=3，即可得方程的另一个根是x=-2．13.一个周长为的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________．【答案】8【解析】【分析】根据三角形中位线定理、三角形的周长公式即可得．【详解】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半，则三角形的三条中位线构成的三角形的周长等于这个三角形周长的一半，即故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形中位线定理等知识点，解题的关键是熟记三角形中位线定理．14.如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______°．【答案】【解析】【详解】∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，∴AD＝DE，∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°．∴．15.已知抛物线y=x2－8x＋c的顶点在x轴上，则c=_______.【答案】16【解析】【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答．【详解】根据题意，该抛物线与x轴只有一个交点，得Δ=64-4c=0，解得c=16.【点睛】待定系数法求二次函数解析式,熟练掌握待定系数法是解题的关键.16.已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解．【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17.矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______．【答案】2或【解析】【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当时，∵四边形矩形，∴，则，由平行线分线段成比例可得：，又∵M为对角线的中点，∴，∴，即：，∴，当时，∵M为对角线的中点，∴为的垂直平分线，∴，∵四边形矩形，∴，则，∴∴，综上，的长为2或，故答案为：2或．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．18.二次函数的图像如图所示，点位于坐标原点，点、、……在轴的正半轴上，点、、……在二次函数位于第一象限的图像上，若、……都是等边三角形，则点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】根据题意分别过点，，作轴的垂线，再设，，，根据等边三角形的性质，根据题意可得出，，的坐标表达式，代入抛物线中即可求出坐标，根据规律即可求出答案．【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足为分别为、、，设，，，则，，，在等边三角形中，，代入中，得，解得，即，在等边三角形中，，代入中，得，解得，即，在等边三角形中，，代入中，得，解得，即，依此类推由此可得，故故答案为：．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意列出等式计算图象上点的坐标，根据坐标类推是解决本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根据因式分解法可进行求解方程；（2）根据公式法可进行求解方程．【小问1详解】解：解得：，；【小问2详解】解：∴，∴，∴，∴，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．20.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和，点、、、均在小正方形的顶点上．（1）画出一个以为一边的，点在小正方形的顶点上，且，的面积为；（2）画出以为一腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为12；（3）在（1）、（2）的条件下，连接，请直接写出线段的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）线段的长为【解析】【分析】（1）以为斜边，然后作出直角边为的等腰直角三角形，即可求解；（2）以为腰，底为6，高为4的等腰三角形，即可求解；（3）利用勾股定理求解即可．【小问1详解】解：如图所示：理由：，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，；【小问2详解】解：如图所示；【小问3详解】解：．【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，等腰三角形的判定，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．21.大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项系数化为1，再进行配方.现请你先阅读如下方程（1）的解答过程，并按照此方法解方程（2）．方程（1）．解：，，，，，．方程（2）．【答案】，【解析】【分析】根据配方法可进行求解方程．详解】解：，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用配方法求解方程是解题的关键．22.如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点．（1）求证：；（2）当时，求证：四边形是矩形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证；（2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形．【小问1详解】证明：在与中，∴，∴，又∵、分别是、的中点，∴；【小问2详解】∵，

∴四边形是平行四边形，，∵为的中点，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴四边形是矩形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．23.已知抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若，，且，求证：，，三点共线．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法，构建方程组求解；（2）求出直线都是解析式，再判断出点的坐标，可得结论．【小问1详解】解：因为抛物线经过点，，所以，解得：，所以抛物线的函数表达式为；【小问2详解】证明：设直线对应的函数表达式为，因为为中点，所以．又因为，所以，解得，所以直线对应的函数表达式为．因为点在抛物线上，所以．解得，或．又因为，所以，所以．因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即，，三点共线．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数和二次函数图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，24.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数．（1）试求与之间的关系式（直接写出自变量取值范围）（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？【答案】（1）（2）销售价格定为元时，才能使每月获得最大利润，最大利润是元．【解析】【分析】（1）设，利用待定系数法即可求解；（2）由：总利润总收入总成本，设获得利润为元，可得，进行配方即可求解．【小问1详解】解：设，由题意得，解得：，∴；【小问2详解】解：设获得利润为元，由题意得，∴当时，取最大值，（元）．答：销售价格定为元时，才能使每月获得最大利润，最大利润是元．【点睛】本题考查了二次函数应用中的利润问题，理解利润中的等量关系式是解题的关键．25.一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A，B两地之间的距离是______千米，______；（2）求线段所在直线的函数解析式；（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）【答案】（1）60，1（2）（3）小时或小时或小时【解析】【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值；（2）利用待定系数法求解即可；（3）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可．【小问1详解】解：千米，∴A，B两地之间的距离是60千米，∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，∴，故答案为：60，1【小问2详解】解：设线段所在直线的解析式为将，代入，得解得，∴线段所在直线的函数解析式为【小问3详解】解：设货车出发x小时两车相距15千米，由题意得，巡逻车的速度为千米/小时当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则，解得（所去）；当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则，解得；∵，∴货车装货过程中两车不可能相距15千米，当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则