湘教版八年级数学上册 第5章 二次根式 教学设计（含教学反思）

第5章二次根式

5.1二次根式.................................................................1

第1课时二次根式的概念及性质..........................................1

第2课时二次根式的化简................................................4

5.2二次根式的乘法和除法....................................................8

第1课时二次根式的乘法.................................................8

第2课时二次根式的除法...............................................12

5.3二次根式的加法和减法...................................................15

第1课时二次根式的加减运算............................................15

第2课时二次根式的混合运算...........................................19

章末复习....................................................................23

5.1二次根式

第1课时二次根式的概念及性质

学教学目标

【知识与技能】

1.了解二次根式的概念.

2.掌握二次根式的基本性质.

3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围.

【过程与方法】

经历二次根式的基本性质、运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象的概括能力.

【情感态度】

经历观察、比较、总结和应用数学等活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.体会

发现的快乐，并提高应用的意识.

【教学重点】

二次根式的概念及意义.

【教学难点】

利用(a20)”解决具体问题.

＞教学国而呈

一、情景导入，初步认知

1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？

2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？

3.16的平方根是什么？算术平方根是什么？

4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？

5.-7有没有平方根？有没有算术平方根？

【教学说明】评价学生与本节课相关的旧知识的掌握情况.

二、思考探究，获取新知

1.说一说：

(1)5的平方根是什么？正实数a的平方根是什么？

(2)运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度，才能克服地球引力，

从而将飞船送入环地球运行的轨道，而第一宇宙速度u与地球半径R之间存在如下关系：

u'gR,其中重力加速度常数g%9.5m/s2.如已知地球半径R,则第一宇宙速度v是多少？

我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作称为a的算术平

方根，另一个是

【归纳结论】我们把形如右的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.

2.思考二次根式“右”中被开方数a能取任意实数吗？

【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.

对于非负实数a,由于G是a的一个平方根，因此(&)2=a(a20)

3.做一做：填空.

=，/.尸=，ji.2?=.......

根据上述结果猜想，当a20时，.

【归纳结论】值

4.议一议：

当a<0时，J/=a是否依然成立？为什么？

【归纳结论】二次根式的性质：

'—a(tz<0)

【教学说明】学生小组交流期间师巡回指导，引导学生小结形成新知，理解新知；引导学

生对二次根式的性质做出合理的解释.

三、运用新知，深化理解

1.教材P155例1、P156例2、例3.

2.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是(B)

A.5B.y/5D.以上皆不对

5

3.使式子J—(x-5)2有意义的未知数x有(B)个.

A.0B.1C.2D.无数

4.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

2、瓦工&(>。)、B、E-

xxx+y

\/x+y(.x^O,y、0).

答案:二次根式有：伍、5(%>0)、⑪、-

区、业+y(%N0,yNO).

不是二次根式的有：凌、!、怎、」-.

XX+y

5.当X是多少时，J3尤-1在实数范围内有意义？

【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-l20,&-1

才能有意义.

解：由3%-120,得

当时，历二T在实数范围内有意义.

6.当x是多少时，~2S-3-+x2在实数范围内有意义？

X

n+3NO年一卷

解:依题意得：x二八

lr7^0

%W0

当久，-:且工/0时，&+3+J在实数

2x

范围内有意义.

7.当x是多少时，j2x+3+」一在实数范围内有意义?

X+1

【分析】要使J2X+3+」一在实数范围内有意义,必须同时满足j2x+3中的2x+3

X+1

》0和」一中的X+1W0.

X+1

AF/J2：E+3'0①，，-、’=

解:依题思，得《…由①得:％

(X+1W0(2)

~由②得:力打-1

3,_______1

当％，-彳且“W-1时，&7T3+一—在实

2x+1

数范围内有意义.

8.己知a、b为实数，且/T3+2J10-2a=>+4,求a、b的值.

答案：a=5,b=-4

【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅

导.

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

产课后作业

布置作业:完成教材第159页”习题5.1”中第1、2题.

教学反思

学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本

节知识打下了基础.本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了

承上启下的作用.

通过复习引入新知，注重将新知识与旧知识进行联系与对比.随后从学生熟悉的四个实

际问题出发，用已有的知识写出这四个问题的答案，并分析所得的结果在表达式上的特点，

由此引入二次根式的概念，对于二次根式的一些结论，让学生参与思考、探索、学会分类讨

论的方法，在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联

系紧密，以此充分调动学生学习的兴趣.

第2课时二次根式的化简

教学目标

【知识与技能】

1.了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断.

2.能熟练地把二次根式化为最简二次根式.

3.了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用.

【过程与方法】

进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力.

【情感态度】

通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点.

【教学重点】

会把二次根式化简为最简二次根式.

【教学难点】

准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.

管教与国程

一、情景导入，初步认知

1.什么叫二次根式？使二次根式有意义的条件是什么？

2.当a20时，4a叫什么？当a<0时，&有意义吗？

【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作铺垫.

二、思考探究，获取新知

1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？

(1)<3C9=，再X;

(2)x/9V16=,9x716=；

【归纳结论】小方=7・区(a20,620)

2.化简下列二次根式

(1)V18(2)V20(3)V72

【教学说明】化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移

到根号外.(注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数)

3.化简下列二次根式

4.观察上面几个二次根式化简的结果，它们有什么特点？

【归纳结论】我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数(因式)，被开方数不含分母

的二次根式，叫作最简二次根式.

在二次根式的运算中，一般要把最后的结果化为最简二次根式.

【教学说明】引导学生计算，观察计算结果，总结规律.

三、运用新知，深化理解

1.下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？

V15M

【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条

件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是.

解：最简二次根式有厉，如不是最简二次根式.因为

745=^/5^9=^/5^9=3^/5,

被开方数中含能开得尽方的因数9,所以它不是最简二次根式.

2.化简加/(x>0)

解：',/lAd=,口=4lxI,因为X〉

0,所以I%I=%,所以716x2=4l；xl=4r.

3.化简月/(Q<0)

【分析】根据二次根式的性质，当a<0

时,x/tP-=IaI=-a.

解：(1)(32a1=\/32,\fcr=4j2IaI

=-4拒a

4.化简：(1)x/a^b(a<0)；

⑵婷(Z。).

【分析】根据二次根式的性质，当a<0

时,\[a^=IaI=—a.

解：（1）Wb=贷＞]b=laifb=-a很

laia\/2b

4b24b2

5.化简“22-3尸+11-、区1.

【分析】根据二次根式的性质，有

J(22-3>=|2倒一31.所以要比较2。与

3及1与g的大小以确定23及1-。的符

号，然后再进行化简.

解:因为2yL41,2■=2.82<3,所以

2叵-3<0,1-。<0.

所以7(2]2-3)2+11-^1=12J2-

31+11-^1

=-(2历-3)-(1-①=-2区+3-1+

包=2-2

6.化简：

(1)1(5-9尸；(2)V(3.5-2)2；

(3)V(10-1-10-2)2；

(4)7(3-V10)2-12-x/101；

(5)V(J3-5)2+11-J3I；

(6)6后(6<0).

答案：(1)4；(2)1.5；(3)0.09；

(4)-1；(5)4；(6)-1.

7.一个底面为30cmX30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入-•个底面为正

方形、高为10cm的铁桶中，当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了20cm,铁桶的底面

边长是多少厘米？

【分析】根据倒出的水的体积等于铁桶的体积，列出方程求解即可.

解：设正方形铁桶的底面边长为x,则10x2=30X30X20,

x-1800,

解得x=3O0(厘米).

答：正方形铁桶的底面边长是30底厘米.

【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅

导.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

1课后作业

布置作业:完成教材P160”习题5.1”中第4、5、8题.

教学反思

学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此

互动.正是在这一教育思想的指导下，促进学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地

唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动.互动式教学模式的

目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教

学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振.

5.2二次根式的乘法和除法

第1课时二次根式的乘法

敦与目标

【知识与技能】

1.使学生掌握二次根式乘法法则Gx扬=5/茄(a20,b20).

2.使学生掌握C=a(a20)，并能加以初步应用以化简二次根式.

【过程与方法】

通过猜想，体验探究二次根式的乘法法则，实践应用，巩固法则.

【情感态度】

培养良好的学习习惯，体验成功的喜悦.

【教学重点】

会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式对一些式子进行化简.

【教学难点】

二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.

支教学亘引

一、情景导入，初步认知

一块正方形的木板面积为200cm?,已知a=1.414,你能不用计算器以最快的速度求出

正方形木板的边长吗？

【教学说明】通过实际问题引入新课.

二、思考探究，获取新知

1.积的算术平方根的性质是什么？

\la-b=>/a->Jb(a]0,b20)

2.试一试：并观察结果，你能发现什么规律？

(1)74x79-^74^9;(2)716x725^716-25

【教学说明】让学生计算，由学生总结，(1)(2)两式均相等.

【教学说明】组织学生计算，验证猜想.让学生自主探究，通过类比得到规律，让学生

体验到成功的喜悦，激发学生学习的兴趣.

【归纳结论】二次根式乘法的运算公式：北=，茄(a20,b20),老师应引导

学生关注a20,b20这个条件，若没有这个条件，上述法则不能成立.因为当a<0,b<0

时，虽然J茄有意义，而G，扬在实数范围内却没有意义，乘法法则显然不能成立.

3.计算.

(1)3x6；(2)I^Xx/72.

解：(1)Bx6==V32x2=3J2；

(2)[x阮=jyx72=V22x6=2K

三、运用新知，深化理解

1.教材Pl材例1、例2.

2.下列各式正确的是(D)

A.\/(-4)x(-9)=N/^4x

D.7(4)x(9)=Rx9

3.等式Vx+1•V.r-1=-1成立的条件

是(A)

A.x>1B.%2—1

C.D.久21或%W-1

4.不求值，比较大小：

2832；

-48-35

答案：<<

5.一，个矩形的长和宽分别为6也cm与Bcm,则

这个矩形的面积为cm2.

答案：123

6.计算题

(1)屋5(2)屋反

(3)\/xyx(4)K>

(5)区(6)屈(7)屈(8)相

(9)后(10)底

答案：(1)而;(2)6；(3)万;(4)2；(5)

2。；(6)45；⑺52；(8)27；(9)38;

(10)4区

7.计算题

(1)j回x1■后

(2)J_：)x49x(-144)

(4)以\/18+3夜)

答案：(1号;(2)42；(3)||；(4)30.

8.已知正方形A,矩形B,圆C的面积均为628cm2,其中矩形B的长是宽的2倍，如果n

取3.14,试比较它们的周长L,LB,L解完本题后，你能得到什么启示？

解：略.

【教学说明】训练学生对待计算题也要认真分析，找出合理快捷的方法解决问题.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

；'课后作业

布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第1、4题.

「教学反思

这一堂课的教学对我的启发很大，好像又回到了初一年级，学生对数的认识是一个很难

的问题，很多同学在数的认识中有着很大的欠缺.对根式的认识，特别是对根式的性质的认

识总是转换不过来，没有办法只有花上很大的一段时间进行巩固学习，少数同学对负数中的

符号问题容易出现错误.今后，应充分给学生训练时间，合理利用学案，让学生把知识掌握

好.

第2课时二次根式的除法

敦字目标

【知识与技能】

会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算.

【过程与方法】

经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法.

【情感态度】

培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学的应用价值.

【教学重点】

二次根式除法运算.

【教学难点】

探索二次根式除法法则.

教学亘程

一、情景导入，初步认知

1.积的算术平方根的性质是什么？

2.二次根式乘法法则是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？

【教学说明】复习旧知，为学习新知做准备.

二、思考探究，获取新知

1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？

\/16^

回

2.g与万是什么关系呢?

【归纳结论】1与7互为倒数（。＞0）.

Ja

3.F与更是什么关系呢？

Nb历

=~~（a0,6>0）

ybjb

【归纳结论】二次根式的看法计算公式:

多=佟（。20%〉0）.反过来，上=1-^-（a>

jb、b瓜Va

0,6与0）也成立.

【教学说明】发现规律，归纳出二次根式的除法公式.

三、运用新知，深化理解

1.教材P163例4、P164例5、例6.

2.把柠化简的结果应是（B）

A.—。B.=\12a

aa

2

C.3azD.—

a

3.下列计算中，正确的是（D）

A-5

B

-鸿=3舟泊

-J16254520

D.V482-322=V(48+32)(48-32)=16

4.当‘组有意义时,a的取值范围是(B

)

A.a2B.a>2

C.a7^2D.aW-2

5.把■化简后得(D)

A.46B.2历

C.；/D.*

22。

陌2)3师

6.化简：(1)(3)

85J2Vio

解S个肾5

=y45

7.计算：

.-7450、/0.01x81

Z⑴17^；(VO.25x144；

,骞・|仁23a

答案:⑴-%(2号；(3)1；(4)亨

8.设a〉0,6>0,计算：

a"；⑵主

解:宜亚=厚^=百/?=3a6

反12a

<>=f=BF=^

【教学说明】巩固提高.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

;,课后作业

布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第2、3、4题.

教学反思

这节课原本希望学生能在一节课内就体会到先局部化简再计算起来比较简洁.但这节课

并没有实现这个目的,而且没有想到学生竟然给出多种方法.我想应当把这个问题延伸到下

一节课,可以在下一节课中把学生的课后作业的解法对比,让学生去体会哪种方法更好,更简

洁.不要急于在这一节课中去解决,这一节课只要能用自己的方法解决就可以.

5.3二次根式的加法和减法

第1课时二次根式的加减运算

敦与目标

【知识与技能】

1.知道二次根式加减运算的步骤，

2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算.

【过程与方法】

经历探究二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法.

【情感态度】

通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美.

【教学重点】

二次根式的加减法运算.

【教学难点】

被开方数是分数(式)或含字母的二次根式加减运算.

产,教与亘睚

一、情景导入，初步认知

1.下列根式中，哪些是最简二次根式？

\/15a,VlS-,\/x2-1,\l5x3y,\124abc,［竺，

v3

飞3xy

r

2.计算下列各式：

(1)2x+3x(2)3x-2y+y

【教学说明】复习整式加减法的内容，为下面探究二次根式加减法的解法做铺垫.

二、思考探究，获取新知

1.二次根式的加减运算能否依据整式的加减法运算进行？

(1)25+35;(2)5J2-3仅

【分析】如果把5和N当成》,不就转

化成上面的整式问题了吗？

解：25+35=(2+3)5=55

5折-32=(5-3)屋22

【教学说明】在此过程中，使学生理解掌握二次根式加减法的解法，并体会类比的思想

方法.

2.如图，是由面积分别为8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成，求BE的长.

【分析】：因为两个正方形的面积分别为8和

18,所以它们的边长分[--------G

别为8和718,贝！J：BE——-

=后+V18=2。+3

2BCE

=（2+3）月

=52

3.你能根据上面的计算过程总结二次根式加减法运算的步骤吗？

【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数

相同的二次根式进行合并.

【教学说明】通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望.在二次根式加减法

的整个教学环节中，要及时纠正学生的错误认识.

三、运用新知，深化理解

1.教材P168例1、例2.

2.下列二次根式中，能与合并的二次根式是（B）

A.B.V12

3.下列计算：①「+炉=Vx+）-；②值+2

=2万;③68-28=43④5\f2a-\/Sa

=33；1=q+回=5.其中正

确的是（C）

A.①和③B.②和③

C.③和④D.③和⑤

4.如果最简二次根式\^不石和417-2a是可

以合并的，那么a=5.

5.计算：

(1)72+3区-5V50

(2)3频+Jf-4曾

\15v40

(3)(6+3)(6-2)

(4)(而+闻)4-5

(5)工-V2a2x3(a>0)

(6)\/4.r3-/36.V3

答案：(1)-12。；(2)9场；(3)K;

(4)4行+；屈;⑸(1一磔)工;(6)—4x

a-

6.已知最简二次根式“颁7和\/a+86的被开方

数相同，你能求出使戊工一4就有意义白勺”白勺

取值范围吗？

解:依题意得《+'=20乙

[9Q=a+8b

a=1,6=1

要使应7FF有意义，则有

2x-4ab^O

贝(J2x-4^0,x^2.

所以，-2

7.有一艘船在点。处测得一小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向上，船向西航行20

海里到达B处，测得电视塔在船的西北方向.问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？(结

果保留根号)

答案：10(6+1)

8.已知实数x满足I-xl+-—2006,

求x的值.

解:工一200620,即、22006,

V5005-A-<0,

原方程可化为

x—V2005+Jx-2006=x

Vx-2006='^OOS,

x=4011

【教学说明】独立完成，之后相互交流，纠错.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

.'课后作业

布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第1、2题.

：,教学反思

将法则的教学与整式的加减比较学习.在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则

的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.巩

固本节内容，作业分层布置，使不同层次学生都有发展和提高.

通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美，通过题目

练习，复习同类二次根式的概念，温故而知新.

第2课时二次根式的混合运算

粤教与目标

【知识与技能】

使学生会熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

【过程与方法】

讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、

规律及注意点.

【情感态度】

培养学生进行类比的学习思想和理解运算律的广泛意义.

【教学重点】

二次根式的混合运算.

【教学难点】

由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.

::更与国睚

一、情景导入，初步认知

1.二次根式有哪些性质？

2.已学过的整式的乘法公式和法则有哪些？

3.怎样化简二次根式？

【教学说明】进一步梳理和巩固已学过的知识，为本节课的教学作准备.

二、思考探究，获取新知

L甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横截面设计为上底宽

40m,下底宽6&m,高振m的梯形，这段路基长500m,那么这段路基的土石方大小

为多少立方米呢？

4j2m

6必n

路基的土石方大小等于路基横截面面积乘以路基的长度，所以，这段路基的土石方为:

Y(42+6历)x6x500

=(22+3①x6x500

=5泛x8x500

=5000gn?

即这段路基的土石方为50008m3

【教学说明】从上面的解题过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进

行的.

2,计算:

⑴(6一停)x2

(2)(2+2)(1-2)

【教学说明】引导学生类比实数的运算进行计算.

从上面的运算可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似，我们可以利用多项式

的乘法公式，对某些二次根式的乘法教学简便运算.

三、运用新知，深化理解

1.教材P170例4、P171例5.

2.计算：（1）（6+松）X8

解：（后+后）X8

=6x3+KxB

=V18+囱

=3J2+26

（2）（46-3。）+22

解：（4J6-3m+2J2

=46+2。-32+22

=28V

3.计算：

（1）（36一42）（36+4。）

解：（36-4。）（36+4。）

=（36）2-（42）2

=54-32

-92

（2）（5）2+（万+B）°-v57+I^-21

解：（5）2+（7r+3）。_虎7+13-21

=3+1-38+2-8

=63一年8+4m：2m

号3・23号

（4）瘴-6+2+（8+1）（8-1）

解：VI2-0+（8+i）（D

=2B-B+3-1=8+2

(5)(^)2-4xy-(-2尸+(凌)3

解：(8)2-4X；"-(-2)3+(2)3

=3-2+8+2=11

(6)0V12-2Jy+时+25+[,]

解:原式=[6]3——^3+48)♦2.+,

=§28J53+2rj53+—1=3<

4.下面的三个大三角形中各有三个小三角形，每个大三角形中的四个数都有规律，请按

左、右每个大三角形内填数的规律，在中间的大三角形的中间，填上恰当的数.

答案：V432

【教学说明】学生先做，教师之后挑选部分进行点评.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

:‘课后作业

布置作业：完成教材P172“习题5.3”中第3、4、6题.

,空教学反思

本节课是二次根式加减的第二节课，它是在二次根式加减的基础上的进一步学习，利用

二次根式加减法解决一些实际问题.在设计本课时教案时，着重从以下几点考虑：1.先通过

对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运

算法则.2.四人小组探索、发现、解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力.本

节课秉着以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获

取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法

解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆.

同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.

章末复习

：J教学目标

【知识与技能】

1.了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则.

2.用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算.

3.会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题.

【过程与方法】

经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力.

【情感态度】

通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又应用于实

际的辩证唯物主义思想.

【教学重点】

运用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根

式知识体系.

【教学难点】

运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题，是本节复习课的难点，这就要求学生有严

密的数学思维.

户教学国旌

一、知识结构

最简二次根式

二

次

根

式

加、减、乘、除运算

【教学说明】揭示知识之间的内在联系，将所学的零散的知识连接起来，形成一个完整

的知识结构，有助于学生对知识的理解和运用.

二、释疑解惑，加深理解

1.二次根式的概念：

我们把形如G的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.

2.二次根式的意义：

只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.

3.二次根式的性质：

「如心0）

7a=IaI=\

（-a（a<0）

4.最简二次根式的概念：

我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，

叫作最简二次根式.

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.

5.二次根式乘法的运算公式：

Ja,历=\[ab{a>0；6^0）

6.二次根式的除法运算公式：

.=修（aNO；6>0）

7.二次根式的加减运算方法：

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式

进行合并.

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.

三、典例精析，复习新知

1.下列式子一定是二次根式的是（C）

A.\/-x-2B.Jr

C.+2D.4x-2

2.若53加一1有意义，则m能取的最小整数值是（B）

A.m=0B.m=lC.m=2D.m=3

3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（A）

A.V14B.质

aD.44a+4

C.~b

4.化简：

(1)7(-144)x(-169)

(2)-yX^25

(3)71024x5

(4)'JlSrrTn

解：(1)原式="44x169=V144x

7169=12x13=156；

(2)原式=--1-x15=-5；

(3)原式=J32?x5=一;x325=

-16J5；

(4)原式二V32xm2x2n=3m\/2n.

5.化简W-aR+Q

Va

答案：（3a-l）可

6.已知：.丫=二一,求#-x+l的直

8-1

2(5+1)

一=8+1

解：X=

(J3-1)(B+i)

%27+1

=(8+1)2-(3+i)+i

=3+2B+1-B-l+1

4+8

【教学说明】使学生通过二次根式的化简及化简依据的说明，引导学生回忆二次根式的

性质.进而让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，源自二次根式

的性质.

四、复习训练，巩固提高

1.如果斤•Vx-6=