高中数学函数模型及其应用

高中数学函数模型及其应用1．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性_______________________________________增长速度越来越快越来越慢相对平稳大小比较存在一个x0，当x＞x0时，有______________单调递增单调递增单调递增logax＜xn＜ax第2页,共49页，2024年2月25日，星期天第3页,共49页，2024年2月25日，星期天1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上函数值是如何变化的？【提示】

当x∈(0，2)时，2x＞x2，当x∈(2，4)时，x2＞2x，当x∈(4，＋∞)时，2x＞x2.2．直线上升、指数增长、对数增长各有什么特点？【提示】

直线上升，匀速增长；指数增长，先慢后快，其增长量成倍增加，可用“指数爆炸”形容；对数增长；先快后慢，其增长速度缓慢．第4页,共49页，2024年2月25日，星期天1．(人教A版教材习题改编)一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的(

)第5页,共49页，2024年2月25日，星期天【解析】

由题意知h＝20－5t，故选B.【答案】

B第6页,共49页，2024年2月25日，星期天2．拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝0.5×[m]＋1(单位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整数(如[3.62]＝3，[4]＝4)，当m∈[0.5，3.2]时，函数f(m)的值域是(

)A．{1，2，3，4}

B．{1，1.5，2，2.5}C．{1，1.5，2.5，3} D．{1.5，2，2.5}【解析】当m∈[0.5，3.2]时，[m]所有可能值为0，1，2，3共四个，故f(m)的值域为{1，1.5，2，2.5}．【答案】

B第7页,共49页，2024年2月25日，星期天【答案】

B第8页,共49页，2024年2月25日，星期天4．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．【解析】

已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N.【答案】

y＝a(1＋r)x，x∈N第9页,共49页，2024年2月25日，星期天5．(2013·武汉模拟)里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中．测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．第10页,共49页，2024年2月25日，星期天【答案】

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10000第11页,共49页，2024年2月25日，星期天第12页,共49页，2024年2月25日，星期天第13页,共49页，2024年2月25日，星期天【审题视点】

计算实施规划前后10年总利润，通过比较可知该规划方案是否具有实施价值．第14页,共49页，2024年2月25日，星期天第15页,共49页，2024年2月25日，星期天第16页,共49页，2024年2月25日，星期天1．本题在求规划实施前最大利润时，易忽视二次函数的特性，直接把x＝60代入求解，造成错误答案．2．(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．第17页,共49页，2024年2月25日，星期天某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图2－9－1(1)；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2－9－1(2)(注：利润和投资单位：万元)．第18页,共49页，2024年2月25日，星期天(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？第19页,共49页，2024年2月25日，星期天第20页,共49页，2024年2月25日，星期天第21页,共49页，2024年2月25日，星期天 已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m＞0)．(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．【思路点拨】

(1)解关于2t的一元二次方程求解．(2)转化为恒成立问题求解．第22页,共49页，2024年2月25日，星期天第23页,共49页，2024年2月25日，星期天第24页,共49页，2024年2月25日，星期天1．解答本题的关键是把所求解问题转化为一元二次方程或二次函数问题求解．2．(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．(2)应用指数函数模型时，先设定模型将有关已知数据代入计算验证，确定参数．第25页,共49页，2024年2月25日，星期天第26页,共49页，2024年2月25日，星期天第27页,共49页，2024年2月25日，星期天 (2013·杭州模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．第28页,共49页，2024年2月25日，星期天(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【思路点拨】

(1)当20≤x≤200时，运用待定系数法求v(x)的解析式，进而确定当0≤x≤200时，分段函数v(x)．(2)根据(1)求出f(x)，根据函数的单调性与基本不等式求最值．第29页,共49页，2024年2月25日，星期天第30页,共49页，2024年2月25日，星期天第31页,共49页，2024年2月25日，星期天第32页,共49页，2024年2月25日，星期天1．理解题意，由待定系数法，准确求出v(x)，是求解本题的关键．要注意分段函数各段变量的取值范围，特别是端点值．2．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．第33页,共49页，2024年2月25日，星期天第34页,共49页，2024年2月25日，星期天(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少个小时后，学生才能回到教室？第35页,共49页，2024年2月25日，星期天第36页,共49页，2024年2月25日，星期天第37页,共49页，2024年2月25日，星期天特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．第38页,共49页，2024年2月25日，星期天解决实际应用题的一般步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．第39页,共49页，2024年2月25日，星期天从近两年高考试题看，对函数的实际应用问题的考查，更多地以社会实际生活为背景，设问新颖，灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上，常与基本不等式、导数等知识交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力．第40页,共49页，2024年2月25日，星期天规范解答之二函数建模在实际问题中的应用) (14分)(2012·江苏高考)如图2－9－3，建第41页,共49页，2024年2月25日，星期天(1)求炮的最大射程．(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．第42页,共49页，2024年2月25日，星期天第43页,共49页，2024年2月25日，星期天【解题程序】第一步：根据题意建立方程，确定x、k的范围；第二步：建立炮的射程的函数模型，并求最大值；第三步：把所求问题转化为方程有解问题；第四步：把方程有解问题转化为一元二次方程有正根问题；第五步：列不等式求解，用数学结果回答实际问题．

第44页,共49页，2024年2月25日，星期天易错提示：(1)未读懂题意，不能建立x与k的函数关系．(2)不能把炮弹击中目标转化为关于k的一元二次方程有正根问题．(3)不能正确列不等式求解．防范措施：(1)求解函数实际问题，审题是关键，要弄清相关“名词”准确寻求各量之间的关系．(2)在求解过程中应分清变量之间的辨证关系，结合所求，合理转化．第45页,共49页，2024年2月25日，星期天(3)根据一元二次方程列不等式(组)时，首先判断两根之和与两根之积的正负，根据它们的正负确定如何列不等式(组)．第46页,共49页，2024年2月25日，星期天1．(2013·宜春模拟)某市原来居民用电价为0.52元/kw·h，换装分时电表后，峰时段(早上8点到晚上9点)