北师大版年八年级数学下册《同步考点解读专题训练》(培优特训)专项1.1等腰三角形综合应用(原卷版+解析)

（培优特训）专项1.1等腰三角形综合应用1.（2022秋•门头沟区期末）一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（）A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能确定2.（2022秋•苏州期中）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（）A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.53.（2022秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70°4.（2022秋•白云区校级期末）等腰三角形的一个内角等于70°，则它的底角是（）A．70° B．55° C．60° D．70°或55°5.（2022秋•九龙坡区期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数是（）A．65° B．65°或25° C．70° D．70°或20°6.（2021春•埇桥区期末）如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上．则这样的P点有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个7.（2022秋•高安市期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE．（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度数；（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度数；（3）设∠BAD＝α，∠EDC＝β，请你判断α、β是否存在数量关系，写出你的结论并证明．8.（2022秋•泰州月考）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝2时，BP＝cm；（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形？9．（2022秋•南开区校级期中）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成27和18两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长；（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，求这个等腰三角形底角的度数．10．（2020秋•雄县期中）如图，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B＝∠C＝60°，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．11．（2022秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）BP＝（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？12．（2022秋•青山区期末）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．（1）如图1，求∠BAC的度数；（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．13．（2022秋•莲池区校级期末）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．14．（2022秋•江津区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．（1）试问△ADE是否是等腰三角形，并说明理由．（2）若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC＝8．求△ABC的周长．15．（2019秋•庆云县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．（培优特训）专项1.1等腰三角形综合应用1.（2022秋•门头沟区期末）一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（）A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能确定【答案】B【解答】解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，∵2+2＝4＜5，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，∴等腰三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm，综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5cm，故选：B．2.（2022秋•苏州期中）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（）A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5【答案】A【解答】解：分两种情况：当腰长为5时，等腰三角形的底边长＝20﹣5×2＝20﹣10＝10，∵5+5＝10，∴不能组成三角形，当底边长为5时，等腰三角形的腰长＝×（20﹣5）＝7.5，综上所述：此等腰三角形的底边长为5，故选：A．3.（2022秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70°【答案】C【解答】解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，故选：C．4.（2022秋•白云区校级期末）等腰三角形的一个内角等于70°，则它的底角是（）A．70° B．55° C．60° D．70°或55°【答案】D【解答】解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；②当这个角是底角时，底角＝70°．故选：D．（2022秋•临高县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，求这个三角形的边BC的长．【解答】解法1：设AB＝AC＝2xcm，BC＝ycm，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝xcm，∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，∴①，解得，∴BC＝22cm，②，解得，∴BC＝14cm，解法2、∵BD是△ABC的中线，∴AC＝CD＝2AD，设AD＝CD＝acm，∴AB＝AC＝2acm，∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，∴BC＝24+30﹣4a＝54﹣4a，①当AB+AD＝24cm时，∴2a+a＝24，∴a＝8，∴BC＝54﹣4a＝54﹣32＝22cm，②当AB+AD＝30cm时，∴2a+a＝30，∴a＝10，∴BC＝54﹣4a＝54﹣40＝14cm5.（2022秋•九龙坡区期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数是（）A．65° B．65°或25° C．70° D．70°或20°【答案】B【解答】解：①如图，三角形是锐角三角形时，∠A＝90°﹣40°＝50°底角为：×（180°﹣50°）＝65°，②如图2，三角形是钝角三角形时，∵∠BAC＝90°+40°＝130°，底角为：×（180°﹣130°）＝25°，综上所述，底角为65°或25°．故选：B6.（2021春•埇桥区期末）如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上．则这样的P点有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】D【解答】解：如图，以A为圆心，AB长为半径，画圆，与x轴有一个交点，以B为圆心，AB长为半径，画圆，与x轴有两个交点，与y轴有两个交点，作AB的垂直平分线，与x轴，y轴各有一个交点，∴这样的P点有7个，故选：D．7.（2022秋•高安市期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，且AB＝AC，AD＝AE．（1）若∠BAD＝20°，求∠EDC的度数；（2）若∠EDC＝20°，求∠BAD的度数；（3）设∠BAD＝α，∠EDC＝β，请你判断α、β是否存在数量关系，写出你的结论并证明．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，又∵∠ADC＝∠B+20°，∠AED＝∠C+∠CDE，∴∠ADE+∠CDE＝∠B+20°，即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+20°，∴2∠CDE＝20°，∴∠CDE＝10°；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CDE，∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴2∠CDE＝∠BAD，∴∠BAD＝40°；故答案为：40°．（3）2β＝α，理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，又∵∠ADC＝∠B+α，∠AED＝∠C+β，∴∠ADE+∠CDE＝∠B+α，即∠C+β+β＝∠B+α，∴2β＝α．8.（2022秋•泰州月考）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝2时，BP＝cm；（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形？【解答】解：（1）当t＝2时，点P走过的路程为：2×2＝4（cm），∵AB＝6cm，∴BP＝AB﹣AP＝6﹣4＝2（cm），故答案为：2；（2）①当点P在AB上时，△CDP是等腰三角形，∴PD＝CP，在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，∴△DAP≌△CBP（HL），∴AP＝BP，∴AP＝AB＝3（cm），∴t＝3÷2＝1.5（秒），②当点P在BC上时，△CDP是等腰三角形，∵∠C＝90°，∴CD＝CP＝6cm，∴BP＝CB﹣CD＝2（cm），∴t＝（AB+BP）÷2＝（6+2）÷2＝4（秒），③当点P在AD上时，△CDP是等腰三角形，∵∠D＝90°，∴DP＝CD＝6cm，∴t＝（AB+BC+CD+DP）÷2＝（6+8+6+6）÷2＝13（秒），综上所述，t＝1.5秒或4秒或13秒时，△CDP是等腰三角形．9．（2022秋•南开区校级期中）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成27和18两部分．求这个等腰三角形的腰长及底边长；（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，求这个等腰三角形底角的度数．【解答】解：（1）∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD＝AC，∵AB＝AC，∴设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，分两种情况：①，解得：，∴AB＝AC＝18，∴这个等腰三角形的腰长为18，底边长为9，②，解得：，∴AB＝AC＝12，∴这个等腰三角形的腰长为12，底边长为21，综上所述：这个等腰三角形的腰长为8，底边长为9或腰长为12，底边长为21，（2）分两种情况：当∠A＜90°时，如图：∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD＝42°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝48°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，∴这个等腰三角形的底角的度数为66°；当∠A＞90°时，如图：∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD＝42°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝48°，∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝132°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣132°）＝24°，∴这个等腰三角形的底角的度数为24°；综上所述：这个等腰三角形的底角的度数为66°或24°．10．（2020秋•雄县期中）如图，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，∠B＝∠C＝60°，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，由题意，t×1+12＝2t，解得：t＝12．∴当t＝12时，M，N两点重合，此时两点在点C处重合．（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，∴y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．11．（2022秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）BP＝（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）cm；（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．故答案为：11秒或12．12．（2022秋•青山区期末）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．（1）如图1，求∠BAC的度数；（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．【解答】（1）解：设∠ABD＝x°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝x°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x°，又∵BD＝AD，∴∠A＝x°，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，∴∠BDC＝∠C＝2x°，∴BD＝BC，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得x＝36，∴∠A＝36°，∴∠BAC的度数为36°；（2）∵E是AB的中点，BD＝AD，∴EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠FBA＝∠FAB＝72°，∴∠AFB＝∠FAC＝36°，∴CA＝CF，∴AB＝AC＝CF，∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．13．（2022秋•莲池区校级期末）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；（2）设∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°﹣x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°+，∴∠CDE＝x；（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，∵AB＝AC，