2023-2024学年浙江省宁波市三锋教研联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省宁波市三锋教研联盟高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a=A.30° B.30°或150° C.60° 2.已知向量a=(1,−1)A.−2 B.2 C.−4 3.已知非零向量a，b，c，那么“a=b”是“a⋅cA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.下列结论正确的是(

)A.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，那么α内存在一条直线与l平行

B.已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l垂直

C.如果两个平面相交，则它们有有限个公共点

5.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若3bsA.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形6.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，侧棱长为25，则其体积为(

)A.842 B.8023 7.已知扇形AOB的半径为13，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，OA=(13,0),A.(313,213)

8.如图，四面体各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，则圆柱的体积是(

)A.469π

B.43二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题是真命题的是(

)A.空间三点可以确定一个平面

B.α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l/​/β”是“α/10.已知e1,e2是夹角为2π3A.|a|=3 B.a⋅b=−12

C.a11.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E、F、A.直线A1G与平面AEF平行

B.VE−A1FG=112.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为A.若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△ABC的重心

B.若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知球O的半径为2cm，则球O的表面积为______cm14.如图，甲乙两人做游戏，甲在A处发现在北偏东45°方向，相距6百米的B处，乙正以每分钟5百米的速度沿南偏东75°方向前进，甲立即以每分钟7百米的速度，沿北偏东(45°+α

15.四棱锥P−ABCD的底面是边长为1的正方形，如图所示，点E是棱PD上一点，PE=35PD，若P

16.已知△ABC中，BC=4,A=π3，若△四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

设a,b是不共线的两个非零向量．

(1)若OA=a+2b,OB=2a−b18.(本小题12分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且S=abc4．

(1)求△ABC的外接圆的半径；19.(本小题12分)

如图，在几何体ABCDFE中，四边形ABCD为直角梯形，DC=2AB，GC=2FG，平面20.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2asinC−3c=0．

(21.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAB是边长为1的正三角形，且∠PBC=∠PAD=π2,E,F分别是棱22.(本小题12分)

在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosA=acosC+ccosA，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由正弦定理得，asinA=bsinB，

即2sin45°=1sinB，

解得sinB=12，2.【答案】C

【解析】解：由a//b，可得2+m=0，解得m=−2，

则a⋅3.【答案】A

【解析】【分析】

“a=b”⇒“a⋅【解答】

解：“a=b”⇒“a⋅c=b⋅c”，反之不成立，

因此“4.【答案】B

【解析】解：对于A，直线l不平行于平面α，且l⊄α，则直线l与平面α相交，

那么α内不存在直线与l平行，故A错误；

对于B，已知平面α和直线l，则α内有无数条直线与l垂直，故B正确；

对于C，如果两个平面相交，则它们有无数个公共点，故C错误；

对于D，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，

各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等，故D错误．

故选：B．

对于A，推导出直线l与平面α相交，从而在α内不存在直线与l平行；对于B，α内有无数条直线与l垂直；对于C，两个平面相交，则它们有无数个公共点；对于D，利用棱台的定义判断．5.【答案】A

【解析】解：3bsinA=acosB，

由正弦定理可知，3sinBsinA=sinAcosB，

A，B∈(0,π)，

则6.【答案】D

【解析】解：根据题意可得正四棱台的高为(25)2−(82−27.【答案】B

【解析】解：根据题意，可得点C在∠AOB的平分线上，

因为OA=(13,0),OB=(12,5)，所以OC=λ(OA+OB)=(25λ,5λ8.【答案】C

【解析】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h，

因为底面圆的内接正三角形的边长为2，所以r=23×2sinπ3=233，

高为h=22−(9.【答案】BD【解析】解：对于A，要求三点不共线才可以唯一确定一个平面，故A错误；

对于B，如图，可知l/​/β不一定有α/​/β，根据由面面平行的性质可知反之成立，

则为必要不充分条件，故B正确；

对于C，显然对于两个相交平面，其中一个平面内有无数条直线与交线平行，

由线面平行的判定定理知该平面内有无数条直线与另一个平面平行，

但这两个平面不平行，故C错误；

对于D，由直平行六面体的定义可知长方体是直平行六面体．

10.【答案】AC【解析】解：由题意，可得e1⋅e1=1×1×cos2π3=−12，

则|a|=(e1+2e2)2=e12+4e1⋅e2+4e211.【答案】AB【解析】解：对A选项如图，取B1C1的中点H，

易知GH//EF，A1H//AE，从而可得平面A1GH//平面AEF，

从而可得直线A1G与平面AEF平行，∴A选项正确；

对B选项，VE−A1FG=VA1−EFG=13×12×1×12×1=112，∴B选项正确；

对C选项，过A1C的平面截此正方体所得的截面可以为四边形ACC1A12.【答案】AB【解析】解：对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，

由SA：SB：SC=1：1：1，则MA+MB+MC=0，

所以2MD=MB+MC=−MA，

所以A，M，D三点共线，且AM=23AD，

设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得CM=23CE，BM=23BF，

所以M为△ABC的重心，故A正确；

对于B，由M为△ABC的内心，则可设内切圆半径为r，

则有SA=12BC⋅r，SB=12AC⋅r，SC=12AB⋅r，

所以12BC⋅r⋅MA+12AC⋅r⋅MB+12AB⋅r⋅MC=0，

即BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0，故B正确；

对于C，由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R，

因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，

则有∠BMC=2∠BAC=90°，∠AMC=2∠ABC=120°，∠AMB=2∠ACB=150°，

所以SA13.【答案】16π【解析】解：∵球O的半径R=2cm，

故球的表面积S=4πR14.【答案】2

【解析】解：设甲追赶上乙最少需要的时间为x分钟，如图所示：

则AC=7x，AB=6，BC=5x，∠BAC=α，∠ABC=45°+75°=120°，

15.【答案】13【解析】解：如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，由ABCD是正方形，得BO=OD，

在线段PE取点G，使得GE=ED，由PE=35PD，得PGPE=13，

连接BG，FG，则BG//OE，由OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，

得BG/​/平面ACE，而BF/​/平面ACE，BG∩BF=B16.【答案】−184【解析】解：如图，设BC的中点为E，

∵3DB+3DC+DA=0，

∴DA=−3(DB+DC)=−6DE，

∴D为BC边上的中线AE的靠近E的7等分点，

∴DB⋅DC=(DE+EB)⋅(D17.【答案】解：(1)证明：AB=OB−OA=2a−b−(a+2b)=a−3b，

BC=OC−OB=5a−10b−(2a−b)=【解析】(1)结合向量共线的性质，即可求解；

(218.【答案】解：(1)在△ABC中，12bcsinA=S=abc4，

解得a=2sinA，

由正弦定理得△ABC的外接圆的半径R=12⋅asinA=1【解析】(1)由已知利用三角形的面积公式以及正弦定理即可求解；

(2)由题意利用三角形的面积公式先求出b，19.【答案】证明：(1)连接AC交BD于O，连接OG．

∵四边形ABCD为直角梯形，DC=2AB，∴BOOD=ABDC=12=AOOC，

又∵GC=2FG,CGGF=COOA，∴A【解析】(1)连接AC交BD于O，可得AF/​/O20.【答案】解：(1)∵2asinC−3c=0，

∴2sinAsinC−3sinC=0，

∴sinA=32，

又【解析】(1)由题意利用正弦定理可求sinA=32，结合A为三角形内角，可求A的值；

(21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AH//CD，且AH=12CD，

取PC中点G，连接HG，EG，因为点E、G分别为PD、PC的中点，

∴EG/​/CD，且EG=12CD，

∴AH//EG，AH=EG，∴四边形AHGE为平行四边形，

∴AE//HG，∵AE⊄平面【解析】(1)可利用中位线的性质判定线面平行；(2)将平面展开，利用余弦定理即可得22.【答案】解：(1)由正弦定理化简2bcosA=acosC+ccosA，得2sinBcosA=sinAc