福建省泉州市南安国光第二中学高三数学理期末试卷含解析

福建省泉州市南安国光第二中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a=（）A．﹣2 B． C．1 D．2参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率，利用向量相等，有公共点解方程即可求出a的值．【解答】解：曲线y=的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．曲线y=alnx的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，可得，并且t=，t=alns，即，解得lns=，解得s2=e．可得a=1．故选：C．2.函数在处连续，则a的值为（

）.

A.5

B.3

C.2

D.1参考答案：答案：A3.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如.执行该程序框图，则输出的i等于（

）A．23

B．38

C．44

D．58参考答案：A本题框图计算过程要求找出一个数除以3余数为2；除以5余数为3；除以7余数为2，那么这个数首先是23，故选A.

4.已知，，若，则实数的值为(

)A.－2

B.

C.

D.2参考答案：D5.已知集合，，则（

）A．(1,2]

B．(0,1]

C．[－1,1]

D．(0,2]参考答案：B6.在边长为6的正中，点满足则等于____________.

参考答案：24略7.设圆锥曲线的两个焦点分别为、，若曲线上存在点满足：：=4：3：2，则曲线的离心率等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.已知f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞，x∈R），若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），则ω的取值范围是（）A．[，]∪[，] B．（，]∪[，]C．[，]∪[，] D．（，]∪[，]参考答案：C【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意可得，=≥3π﹣2π=π，求得＜ω≤1，故排除A、D．检验当ω=时，f（x）=sin（x﹣）满足条件，故排除B，从而得出结论．【解答】解：f（x）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣）（ω＞，x∈R），若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），则=≥3π﹣2π=π，ω≤1，即＜ω≤1，故排除A、D．当ω=时，f（x）=sin（x﹣），令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，可得函数f（x）的图象的对称轴为

x=kπ+，k∈Z．当k=1时，对称轴为x=＜2π，当k=2时，对称轴为x==3π，满足条件：任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），故排除B，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题．9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A.4 B. C. D.2参考答案：B【分析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱．【详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面．根据图形可得四棱锥中的最长棱为和，结合所给数据可得，所以该四棱锥的最长棱为．故选B．【点睛】在由三视图还原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考查空间想象能力和计算能力．10.阅读如图所示的框图，运行相应的程序，则输出S的值为(

) A．﹣1008 B．﹣1007 C．1007 D．1008参考答案：B考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣…（﹣1）n﹣1?n，根据当n=2015时，程序运行终止，得S=1﹣2+3+…﹣2014．解答： 解：由程序框图知：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣…+（﹣1）n﹣1?n，∵当n=2015时，不满足条件k＜2015，程序运行终止，∴S=1﹣2+3﹣…﹣2014=﹣1007．故答案为：﹣1007．点评：本题考查了循环结构的程序框图，判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时得到，此商品的销售单价x与日销售量y之间的一组数据满足：，，，

，则当销售单价x定为（取整数）

元时，日利润最大．参考答案：712.方程的实数解的个数为

参考答案：213.己知函数，为的等差数列，则_____________.参考答案：100略14.若存在b∈[1，2]，使得2b（b+a）≥4，则实数a的取值范围是．参考答案：[﹣1，+∞）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】由b∈[1，2]，知2b∈[2，4]，，由2b（b+a）≥4，能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵b∈[1，2]，∴2b∈[2，4]，∴，∵2b（b+a）≥4，∴a≥≥﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题考查实数a的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意指数的性质的灵活运用．15.已知函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，，

则

▲

.参考答案：16.若二项式的展开式中的第5项是常数项，

则n=___________．参考答案：617.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D﹣AE﹣B为60°，则直线AD与面ABCE所成角的正弦值为．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求EDF的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，得，又当y=1时，，得，所以，.因此椭圆方程为.(II)设,.联立方程得，（Ⅱ）设，联立方程得，由

得

（*）且，因此，所以，又，所以整理得：，因为所以令故所以令

当从而在上单调递增，因此等号当且仅当时成立，此时所以

由（*）得且，故，设，则，所以得最小值为.从而的最小值为，此时直线的斜率时.综上所述：当，时，取得最小值为. 19.（2015?鹰潭一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．参考答案：考点： 简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．

专题： 直线与圆．分析： （Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cosφ，=|OA|，命题得证．（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．解答： 解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），…（2分）则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ，=|OA|．…（5分）（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣）．…（7分）C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），故直线的斜率为﹣，…（9分）所以m=2，α=．…（10分）点评： 本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于基础题．20.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：学生编号12345跳绳个数179181168177183踢毽个数8578797280（1）求高一、高二两个年级各有多少人？（2）设某学生跳绳m个/分钟，踢毽n个/分钟.当，且时，称该学生为“运动达人”.①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数的分布列和数学期望.参考答案：（1）196人，140人；（2）①；②分布列见解析，【分析】(1)按照比例求解即可；(2)①根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解；②找出可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到的期望.【详解】（1）设高一年级有人，高二年级有人.采用分层抽样，有.所以高一年级有人，高二年级有人.（2）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”.故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为.（3）的所有可能取值为.,,.所以分布列为

故的期望.【点睛】本题主要考查了分层抽样各层个数的求法以及求离散型随机变量的均值，属于中档题.21.（本小题满分12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，侧面是正方形，，是棱的延长线上一点，经过点、、的平面交棱于点，．

（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．参考答案：（1）证明见解析；（2）.试题解析：（1）设四棱柱的棱长为∵，∽，∴

1分由，，得，

2分∵，∴，

3分是直四棱柱，，又，∴，∵，∴平面

4分∵平面，∴平面平面

5分（2）（方法一）过作于，于，连接

6分由平面平面，平面平面，平面

7分∴，又，，∴平面，，是二面角的平面角

9分在中，，，，，在中，，，，（、

，

12分（方法二）以为原点，、所在直线为轴、轴，平行于的直线为轴建立空间直角坐标系

6分，则，