医科高等数学 第四节 定积分的应用

一、微元法二、平面图形的面积三、旋转体的体积四、定积分在医学上的应用第四节

定积分的应用1Ox

yy=f(x)

ab回忆:曲边梯形面积的求法一、微元法(1)分割(2)近似(3)求和(4)求极限2分析:面积元素Ox

yy=f(x)

ab3一般的解决实际问题的一般步骤：(1)

确定所求量和自变量,以及的变化范围;(2)任取,给一个增量,则区间可视为上的任一小区间,且将该区间上的局部量记为,并求出的近似值.其中为区间上的连续函数.称为所求量的微元,记为(3)将的微元从无限累加到,便得到所求的量,即以上用定积分解决实际问题的方法称为微元法.4二、平面图形的面积1.由曲线与直线、、轴所围成的图形的面积.由定积分的几何意义可知,所求图形的面积

例3-55求抛物线与直线、所围成的平面图形的面积.解：先画出草图，定出所求的平面图形.在区间上,;在区间上,5所求面积为6

2.由曲线、与直线、

所围成的图形的面积.7

例3-56求由抛物线和所围成的图形的面积.解:解方程组得两曲线的交点、所求面积为83.由曲线与直线、、轴所围成的图形的面积.

4.由曲线、与直线、

所围成的图形的面积.9解:解方程组得两曲线的交点

例3-57求由曲线和直线所围成的图形的面积.

、选为积分变量解法一:1011选为积分变量解法二:12

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积13旋转体的体积为

下面用微元法来求由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而形成的旋转体体积.

任取,给一个增量,得一微小小区间,它所对应的小旋转体体积可近似看作是以为底半径、以为高的圆柱体体积.即xyo14

同理,由连续曲线与直线、及轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而形成的旋转体体积.15

例3-58求由椭圆绕轴旋转而成的椭球体的体积.解：将椭圆方程化为由公式得出所求的体积为b-ba-aOx

y16

例3-59求由曲线与直线、围成的图形绕轴旋转而成的旋转体体积.解：由公式得出所求的体积为17

例3-60求由曲线、与直线、围成的图形绕轴旋转而成的旋转体体积.

解：所求的旋转体体积等于曲边梯形OACD

、曲边三角形OAB分别绕轴旋转而成的旋转体体积之差.所求的体积18四、定积分在医学上的应用例3-61

血药浓度时间曲线下的面积

假设口服一定剂量的某种药物之后,血药浓度与时间的关系为试求总面积AUC.解:19例3-62药物有效度测定

药物从病人的以尿液中排出,一种典型的排泄速率函数为,其中为消除速率常数.求排出药物的总量.解:在时间间隔[0,T]内,排出药物的总量20所以,药物排出的总量21例3-63血液中胰岛素的平均浓度的测定

由实验测定患者的胰岛素浓度，先让病人禁食，以降低体内血糖水平，然后通过注射给病人大量的糖。假定由实验测得患者的血液中的胰岛素的浓度C(t)(单位/ml)为

其中,时间t的单位是分钟.求1小时内,该患者体内胰岛素的平均浓度C(t).22解：由积分中值定理可知:23例3-64单位时间内血管稳定流动时血流量取血管的一个横截面来讨论单位时间内的血流量Q.

设有一段长为L,截面半径为R的血管,其左端动脉端的血压为,右端相对静脉的血压为,血液黏滞系数为.假设血管中的血液流动是稳定的,由实验可知,在血管的横截面上离血管中心处的血液流速为L24rr+dr

解:血液量等于血流流速截面积的,由于血液流速随流层而变化,故在横截面上任取一个内半径为,外半径为的小圆环.

在该小圆环上血液流速可近似认为是相等的,所以单位时间内通过该小圆环的血流量即小圆环面积25于是因此,单位时间内血管稳定流动的血流量为26例3-65实验研究发现,某重金属毒物(如镉、汞、铅等)在t时刻在体内的残留量

其中为开始时体内最初数量(浓度),即每日吸收量;为该物质由体内排出体外的速率常数(排泄率).且已知为该毒物由体内排出一半的时间,即生物半衰期.求体内重金属最大的蓄积量.解:先求出时间段内,体内重金属的蓄积量.27体内重金属最大的蓄积量将,代入上式,故最大的的蓄积量=1.44每是吸收量生物半衰期.28例3-66染料稀释法确定心输出量

心输出量是指每分钟心脏泵出的血量,在生理学实验中常用染料稀释法来测定.把一定量的染料注入静脉,染料将随血液循环通过心脏到达肺部,再返回心脏而进入动脉系统.

假定在时刻t=0时注入5mg的染料，自染料注入后便开始在外周动脉中连续30秒监测血液中染料的浓度,它是时间的函数C(t):29

注入染料的量M与在30秒之内