浙江省诸暨市牌头中学高中数学《抛物线的几何性质》同步练习

浙江省诸暨市牌头中学高中数学《抛物线的几何性质》同步练习

1、抛物线y=4,的准线方程是()

2、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上抛物线上的点尸(如,一2)到焦点的距离为4,则必的值为()

A.4B.-2C.4或一4D.12或一2

3、抛物线/=8x的焦点到双曲线二一匕=1的渐近线的距离为()

124

A.1B.J3C.—.D.—

36

4、过点(0,1)作直线，使它与抛物线/=4x仅有一个公共点，这样的直线有()

A,.l条B.2条.C.3条D.4条

.5、已知过抛物线/=6x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是()

,兀—p,5%兀3乃7t„27r兀

6644332

6、设斜率为2的直线1过抛物线/=ax(aW0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△如尺。为坐标原点)的面

积为4,则抛物线的方程为()

A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x

7、已知抛物线〃=4x上两个动点反，和点4(1,2),且/54C=90°,则动直线式1必过定点()

A.(2,5)B.(-2,5)C.(5,-2)D.(5,2)

8、在平面直角坐标系中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点。，且过点尸(2,4),则该抛物线的

方程是.

22

9、若抛物线/=2px的焦点与双曲线二一二=1的右焦点重合，则0的值为.

63

10、已知点"是抛物线/=4x上的一点，尸为抛物线的焦点，4在圆G(x—4)旺5—1y=1上，则|始|

+|姐的最小值为________.

11、已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(X|,y)、8(马，为)两点，则

y,y2+xtx2=,y]的最小值是。

12、A、B为抛物线)”=4x上两动点，AB长为8,M(x(),%)为AB中点，则x()的最小值为

13、已知动圆过定点P(l,0),且与定直线/：x=-1相切，点。在/上.

(1)求动圆圆心的轨迹"的方程；

(2)设过点P,且斜率为一百的直线与曲线材相交于4、6两点.

问△/8C能否为正三角形？若能，求出。点的坐标；若不能，说明理由.

14、在平面直角坐标系x。/中，直线/与抛物线/=4x相交于不同的45两点.

(1)如果直线/过抛物线的焦点，求丽•丽的值；

(2)如果加•OB=-4,证明直线/必过一定点，..并求出该定点.

15、如图：直线y与抛物线y=’一一4交于八、B两点，.直线1与直线y=』x和y=-5分别交

282

..,1,—,

于M、Q,且。"•"=(),QM=-(QA+QB).

(1)求点Q的坐标；

(2)当点P为抛物线上且位于线段AB下方(含点A、B)的动点时,

求aop、面枳的最大值.

参考答案

一、选择题

1、D、

2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上一，抛物线上的点尸（0，一2）到焦点的距离为4,则加的值

为（）

A.4B.-2

C.4或一4D.12或一2

解析：设标准方程为f=-20<9>0）,

由定义知产到准线距离为4,

故"2=4,二。=4,

二方程为-87,代入P点坐标得m=±4.

答案：C

22

3.（2011•东北三校）抛物线〃=8x的焦点到双曲线*一9=1的渐近线的距离为（）

1■乙4

A.1B.73

H

3DW6

解析：由题意可知，抛物线4=8%的焦点为（2,0）,双曲线《一?=1的渐近线为y=±芈x,所以焦

1.乙4o

2X土镜

点到双曲线的渐近线的距离为=1.

43+9

答案：A

4.过点（0,1）作直线，使它与抛物线/=4x仅有一个公共点，这样的直线有（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x=0,过点（0,1）且平行于x轴的直线以

及过点（0,1）且与抛物线.相切的直线（非直线x=0）.

答案：C

5.已知过抛物线/=6x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是（）［

.n_户5JinJ3n

山瓦或丁B,7或工

五一2nn

C.—SK-r-D.—

解析：由焦点弦长公式=2fA得.‘2=12,「.sin〃=平，I.或冲■.

sin8sin0244

答案：B

6.(2011•济南第二次诊断)设斜率为2的直线，过抛物线/=ax(a#0)的焦点F,用Uy轴交于点A,

若△如尸(。为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为()

A./=±4x-B.y=±8x

C.y=4xD.y=8x

解析：由题可知抛物线焦点坐标为(；，0),于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y=2(x-；),令x

=0,可得4点坐标为(0,一，，所以S△丽•片-•一2=4,.,.a=±8.

答案：B

7.已知抛物线产=4x上两个动点反。和点4(1,2),且N84C=90°,则动直线比■必过定点()

A.(2,5)B.(-2,5)

C.(5,-2)D.(5,2)

或

22X——_

解析：设占件，yi),。(与，㈤，8。的中点为〃(如㈤，则%+%=2加直线%——~,即：

44上_匕%―必

4%-2%7+弘度=0①；又彳万♦AC=0,度=-4%—20,代入①式得：2(x—5)—%(y+2)=0,则

动直线a1恒过x-5=0与y+2=0的交点(5,-2).

答案：C

二、填空题

8.在平面直角坐标系中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点0,且过点户(2,4),则该抛物

线的方程是.

解析：由题意设抛物线的方程为了=2ax(a>0),由于其过点一(2,4),所以〃=2aX2=a=4,故该抛

物线的方程是「=8*

答案：/=8x

22

9.若抛物线V=2px的焦点与双曲线!一《=1的右焦点重合，则p的值为

63

解析：双曲线总一5=1的右焦点厂(3,0)是抛物线/=2分的焦点，所以§=3,p=6.

632

答案：6

10.(2011•南京调研)已知点"是抛物线/=4x上的一点，尸为抛物线的焦点，1在圆G(x—4尸+

(y—1/=1上,则|物|+|烟的最小值为.

解析：依题意得|场|+|姐)(I第-1)+1炳=(|附+|姐)7,由抛物线的定义知|网等于点M

到抛物线的准线8=-1的距离，结合图形不难得知，11仞+\MF\的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准

线x=-l的距离，即为5,因此所求的最小值为4.

答案：4

11、032

12、3

三、解答题

13.已知动圆过定点P(1,O),且与定直线x=-1相切，点。在/上.

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；

⑵设过点凡且斜率为一W的直线与曲线”相交于小8两点.

问比1能否为正三角形？若能，求出C点的坐标；若不能，说明理由.

解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线/为准畿的抛物

线，所以曲线M的方程为炉=4工如图所示.

(2)由题意得，直线.45的方程为T”/

y=—V3(x-1),

<y=—V3(x—1),

#=4x，

消y得

3x2-10x+3=0.

解得¥),3(3,-273).

若△.45C能为正三角形，

设v)-则=H用=|5Q,即

,竽)2,①

(3+l)2+(R3+y)2=(3-»+(R5+¥)2,②

X.3J

①②如成的方程如无解，因此直线/上不存在点C使ZU3C是正三角形.

.(2010•淄博模拟)在平面直角坐标系皿/中，直线/与抛物线/=4x相交于不同的尔夕两点.

(1)如果直线7过抛物线的焦点，求丽•丽的值；

(2)如果万5•OB=-4,证明直线/必过一定点，并求出该定点.

解：(1)由题意:抛物线焦点为(1,0),

设/：x=ty+1,代入抛物线/=4x,

消去x得了—4。一4=0,

设4(小,%),B(x?,㈤,

则y+%=43%%=—4,

OAOB=X\X2+yiy2=«Vi+1)(仍+l)+jmanZXXK]

=4屯+@+阳+1+yg

=—4足+4浜+1—4=—3.

(2)设/：x=ty+b代入抛物线y=4x,消去x得

V2—4/y—46=0,设幺(为，yi),5(X2，”)，

则＞1+”=4，，)窗2=-4瓦

科•诟=对4+＞设=(仍+5)(8+方)+)。*2

=bt(yi+/+加+y.

——46/2+4df2+&2-4b=於-4b.

令/一4方=-4,・••屈-4万+4=0,:,b=2,

・二直线/过定点(20).