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5.4实对称矩阵的对角化一、对称矩阵的性质(4个Th)二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法1

定理1实对称矩阵的特征值为实数.证明一、对称矩阵性质于是有两式相减，得2定理1的意义：说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．3证明于是4一、对称矩阵性质定理1:实对称矩阵的特征值为实数.定理1的意义：5证明它们的重数依次为由定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理3得：设的互不相等的特征值为6由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得个.故这个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵，则7

根据上述结论，利用正交矩阵P将对称矩阵A化为对角矩阵，其步骤为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化;3.单位化.2.1.即得正交可逆阵P和对角阵.4.8具体详细过程如上：9解例

1实对称阵A，求正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值解之得基础解系

10解之得基础解系解之得基础解系第三步将特征向量正交单位化1112解由例2设131415例3解16171.对称矩阵的性质：三、小结(1)特征值为实数；

(2)属于不同特征值的特征向量正交；

(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；

(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：

(1)求特征值；(2)找

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