专题05 直角三角形的性质与判定综合（四大类型）（解析版）

专题05直角三角形的性质与判定综合（四大类型）【题型1根据直角三角形的性质求角度】【题型2三角形板与平行线综合应用】【题型3直角三角形解答题综合应用】【题型4直角三角形全等的判定】【题型1根据直角三角形的性质求角度】1．（2023春•惠来县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝50°，则∠B等于（）A．55° B．50° C．45° D．40°【答案】D【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，∴∠A+∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠B＝40°．故选：D．2．（2023春•汉寿县期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（）A．145° B．125° C．65° D．55°【答案】D【解答】解：一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是90°﹣35°＝55°，故选：D．3．（2023春•济南期末）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A的度数是（）A．45° B．30° C．90° D．60°【答案】D【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A＝2∠B，∴3∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴∠A＝2∠B＝60°，故选：D．4．（2022秋•岳麓区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B的度数为（）A．5 B．25° C．35° D．45°【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°．故选：B．5．（2023•大连一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝28°，则∠CBD＝（）A．15° B．16° C．18° D．20°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵∠A'BC＝28°，∴∠A'BA＝60°+28°＝88°，由翻折得∠ABD＝∠A′BD＝∠A'BA＝×88°＝44°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣44°＝16°，故选：B．6．（2023春•大兴区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD于点E．若∠CAB＝50°，则∠DBE＝25°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠C＝∠E＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴∠DBE＝∠DAC，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB＝25°，故答案为25°．7．（2023春•菏泽月考）如图，在Rt△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠DCE的度数为35°．【答案】35°．【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，∴EA＝EC，∴∠C＝∠EAC，∵∠B＝90°，∴2∠C+∠BAE＝90°，∵∠BAE＝20°，∴∠C＝35°．故答案为：35°．【题型2三角形板与平行线综合应用】8．（2023•历下区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作EF∥AB，若∠ECA＝55°，则∠B的度数为（）A．55° B．45° C．35° D．25°【答案】C【解答】解：∵EF∥AB，∴∠A＝∠ECA＝55°，∵∠ACB＝90，∴∠B＝90°﹣∠A＝35°．故选：C．9．（2023•中山区一模）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝50°，则∠1的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝50°，则∠CED＝90°﹣50°＝40°，∵l∥AB，∴∠1＝∠CED＝40°，故选：B．10．（2023•和平区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝144°，则∠B的度数为（）A．36° B．46° C．54° D．64°【答案】C【解答】解：∵∠CDE＝144°，∴∠ADE＝180°﹣∠CDE＝36°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝36°，∵∠C＝90°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝54°，故选：C．11．（2023春•龙岗区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点B在直线EF上，点C在直线MN上，且直线EF∥MN，∠ACN＝120°，则∠ABF的度数为（）​A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】C【解答】解：∵∠ACN＝120°，∴∠ACM＝180°﹣∠ACN＝60°，∵EF∥MN，∴∠AHB＝∠ACM＝60°，在Rt△ABC中，∠A＝90°，则∠ABF＝90°﹣∠AHB＝30°，故选：C．12.（2023•惠州校级模拟）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为50°．【答案】50°．【解答】解：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝40°，∵∠3+∠2+90°＝180°，∴∠2＝50°．故答案为：50°．13．（2023春•固始县期末）如图，已知直线a∥b，Rt△ABC的顶点A在直线a上，∠C＝90°，∠BAC＝55°，若∠2＝35°，则∠1的度数是70°．【答案】70°．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝55°，则∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣55°＝35°，∵∠2＝35°，∴∠BDE＝35°，∵∠AED是△BED的外角，∴∠AED＝∠B+∠BDE＝70°，∵a∥b，∴∠1＝∠AED＝70°，故答案为：70°．【题型3直角三角形解答题综合应用】14．（2023春•社旗县期末）如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝33°．求：（1）∠EBC的度数；（2）∠A的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB＝90°．∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．∴∠EBC＝90°+33°＝123°（等量代换）．（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质）．∵∠ACB＝90°（已知），∴∠A＝123°﹣90°＝33°（等量代换）．【答案】（1）90°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，90°，123°；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，123°，33°．【解答】解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB＝90°．∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．∴∠EBC＝90°+33°＝123°（等量代换）；故答案为：90°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，90°，123°；（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质）．∵∠ACB＝90°（已知），∴∠A＝123°﹣90°＝33°（等量代换）．故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，123°，33°．15．（2023春•文山市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，过点C作AB的平行线CD．求∠1的度数．​【答案】50°．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°，∵CD∥AB，∴∠B＝∠1＝50°．16．（2023春•江阴市期中）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）将△ACD沿CD所在直线翻折，点A落在BD边所在直线上，记为点A′．①如图2，若∠B＝32°，求∠A′CB的度数；②若∠B＝α°，则∠A'CB的度数为90°﹣2α°或2α°﹣90°（用含α的代数式表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）①26°；②90°﹣2α°或2α°﹣90°．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠ACD＝∠B，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝180°﹣（∠A+∠ACD）＝90°，∴CD⊥AB；（2）解：①∵CD⊥AB，∴∠B+∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣32°＝58°，由题意得：∠DCA′＝∠DCA＝32°，∴∠BCA′＝∠BCD﹣∠DCA′＝58°﹣32°＝26°；②∵∠ACD＝∠B＝α°，∴∠BCD＝90°﹣∠DCA′＝90°﹣α°，当0＜α≤45时，A′在线段BD上，∠BCA′＝∠BCD﹣∠DCA′＝90°﹣α°﹣α°＝90°﹣2α°；当45＜α＜90时，A′在DB的延长线上，∠BCA′＝∠DCA′﹣∠BCD＝α°﹣（90°﹣α°）＝2α°﹣90°，∴当0＜α≤45时，∠BCA′＝90°﹣2α°，当45＜α＜90时，∠BCA′＝2α°﹣90°．故答案为：90°﹣2α°或2α°﹣90°．17．（2022春•雁峰区校级期末）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图．在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°．（1）求∠EBC的度数；（2）求∠A的度数．解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB＝90°，∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），∴∠EBC＝90°+35°＝125°．（等量代换），（2）∠EBC＝∠A+∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质），∵∠ACB＝90°（已知），∴∠A＝125°﹣90°＝35°（等量代换）．【答案】（1）90；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；∠ACB，125°；35．【解答】解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB＝90°．∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）．∴∠EBC＝90°+35°＝125°（等量代换）．（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质）．∵∠ACB＝90°（已知），∴∠A＝125°﹣90°＝35°（等量代换）．故答案为（1）90；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；∠ACB，125°；35．18．（2022春•镇平县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F．（1）如果∠CFE＝70°，求∠B的度数；（2）试说明：∠CEF＝∠CFE．【答案】（1）50°；（2）证明见解析．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠CFE＝70°，∴∠CAF＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∵AF平分∠CAB交CD于E，∴∠CAB＝2∠CAF＝40°，∴∠B＝90°﹣40°＝50°；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠CFE＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB交CD于E，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠CFE＝∠AED，∵∠AED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠CFE．19．（2022春•南阳月考）如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F．（1）试说明∠CEF＝∠CFE．（2）若∠B＝50°，求∠AEC的度数．【答案】（1）见解答；（2）110°．【解答】解：（1）∵∠CEF＝∠CAF+∠ACE，∠CFE＝∠B+∠BAF，又∴∠ACE+∠ECF＝90°，∠B+∠FCE＝90°，∴∠ACE＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE．（2）∵∠B＝50°，CD⊥AB于D，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝40°，∠ADE＝90°，∵AF平分∠CAB交CD于点E，∴∠BAF＝，∴∠AEC＝∠BAF+∠ADE＝20°+90°＝110°．20．（2022春•巴中期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，顶点B在直线PQ上，顶点A在直线MN上，BC平分∠PBA，AC平分∠MAB．（1）求证：PQ∥MN；（2）求∠QBC+∠NAC的度数．【答案】（1）证明见解答过程；（2）270°．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∴∠CBA+∠CAB＝90°，∵BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，∴∠PBA＝2∠CBA，∠MAB＝2∠CAB，∴∠PBA+∠MAB＝180°，∴PQ∥MN；（2）解：∵∠CBA+∠CAB＝90°，∠PBA+∠MAB＝180°，∴∠QBC+∠NAC＝∠CBA+∠CAB+∠PBA+∠MAB＝90°+180°＝270°．21．（2022春•鄂城区期末）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB，BD平分∠ABC，若∠A＝50°，求∠D的度数．【答案】20°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝20°，∵CD∥AB，∴∠D＝∠ABD＝20°【题型4直角三角形全等的判定】22．（2022春•泾阳县期中）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵DE＝BF，∴DE+EF＝BF+EF；∴DF＝BE；在Rt△ADF和Rt△BCE中，∴Rt△ADF≌Rt△BCE，∴AF＝CE．23．（2022春•横山区期中）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，连接BD，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△ABD和Rt△CBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴AD＝CD，∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，∴∠E＝∠F＝90°，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．24．（2022春•华容县期末）如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，，∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．25．（2020•澜沧县模拟）如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥