有关圆的经典练习题及答案

圆的经典练习题及答案一、填空题1.〔2011浙江省舟山，15，4分〕如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②；③△ODE∽△ADO；④．其中正确结论的序号是．〔第〔第16题〕【答案】①④2.〔2011安徽，13，5分〕如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，CE=1，ED=3，那么⊙O的半径是．【答案】3.〔2011江苏扬州，15,3分〕如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，假设∠BAD=50°，那么∠ACD=【答案】40°4.〔2011山东日照，14，4分〕如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，那么以AC和BC的长为两根的一元二次方程是．【答案】如：x2-x+1=0；5.〔2011山东泰安，23，3分〕如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，假设∠ABC==320，那么∠P的度数为。【答案】2606.〔2011山东威海，15，3分〕如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，假设AE=5,BE=1,,那么∠AED=.【答案】30°7.〔2011山东烟台，16,4分〕如图，△ABC的外心坐标是__________.OOxyBCA【答案】〔－2，－1〕8.〔2011浙江杭州，14，4〕如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，那么∠ABD十∠CAO=°．【答案】53°9.〔2011浙江温州，14，5分〕如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连结CA，CB，DC，DB．∠D=30°，BC＝3，那么AB的长是．【答案】610．〔2011浙江省嘉兴，16，5分〕如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①S△AEC=2S△DEO；②AC=2CD；③线段OD是DE与DA的比例中项；④．其中正确结论的序号是．〔第〔第16题〕【答案】①④11.〔2011福建泉州，16，4分〕三角形的三边长分别为3，4，5，那么它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是.〔写出符合的一种情况即可〕【答案】2〔符合答案即可〕12.〔2011甘肃兰州，16，4分〕如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，那么∠OBD=度。OODBC【答案】63°13.〔2011湖南常德，7，3分〕如图2，⊙O是△ABC的外接圆，且∠C=70°，那么∠OAB=__________.【答案】20°14.〔2011江苏连云港，15，3分〕如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO.以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF.假设∠BAC=22º，那么∠EFG=_____.【答案】15.〔2011四川广安，19，3分〕如图3所示，假设⊙O的半径为13cm，点是弦上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，那么弦的长为________cm图3图3【答案】2416.〔2011重庆江津，16，4分〕如图,在圆内接四边形ABCD中,∠B=30º,那么∠D=____________.AABCD第16题图【答案】150°17.(2011重庆綦江，13，4分)如图,AB为⊙O的直径，∠CAB＝30°,那么∠D＝.【答案】：60°18.〔2011江西南昌，13，3分〕如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，那么∠PBC+∠PCA+∠PAB=度.第13题图【答案】9019.(2011江苏南京，13，2分)如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形〔弓形的弧是⊙O的一局部〕区域内，∠AOB=80°，为了防止触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°．AABOP(第13题)【答案】4020．〔2011上海，17，4分〕如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝_________．【答案】621.〔2011江苏无锡，18，2分〕如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，假设∠DAB=20°，那么∠OCD=_____________．yyxOABDC〔第18题〕【答案】6522.〔2011湖北黄石，14，3分〕如图〔5〕，△ABC内接于圆O，假设∠B＝300.AC＝，那么⊙O的直径为。【答案】223.〔2011湖南衡阳，16，3分〕如图，⊙的直径过弦的中点G，∠EOD=40°，那么∠FCD的度数为．【答案】2024.〔2011湖南永州，8，3分〕如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB,CB，⊙O的半径为2，AB=,那么∠BCD=________度．〔第〔第8题〕【答案】3025.(20011江苏镇江,15,2分)如图,DE是⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,假设AB=6,CE=1,那么OC=_____,CD=_____.答案：4，926.〔2011内蒙古乌兰察布，14，4分〕如图，是半径为6的⊙D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD是等边三角形,那么四边形ABCD的周长P的取值范围是【答案】27.〔2011河北，16，3分〕如图7，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC,那么∠D=__°．【答案】2728.〔2011湖北荆州，12，4分〕如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，那么∠ACD的度数是.第12题图【答案】50°二、选择题1.〔2011浙江省舟山，6，3分〕如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，那么这条弦的弦心距为〔〕〔A〕6 〔B〕8 〔C〕10 〔D〕12〔第〔第6题〕【答案】A2.〔2011安徽，7，4分〕如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，那么劣弧的长是〔〕A． B．π C．π D．π【答案】B3.〔2011福建福州，9，4分〕如图2,以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦切小圆于点,假设,那么大圆半径与小圆半径之间满足〔〕A． B． C． D．图图2【答案】C4.〔2011山东泰安，10，3分〕如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，假设AB=，那么⊙O的半径为〔〕A.B.2C.D.【答案】A5.〔2011四川南充市，9，3分〕在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为〔〕〔A〕6分米〔B〕8分米〔C〕10分米〔D〕12分米【答案】C6.〔2011浙江衢州，1,3分〕一个圆形人工湖如下图，弦是湖上的一座桥，桥长100m，测得圆周角，那么这个人工湖的直径为〔〕A.B.C.D.(第(第8题)【答案】B7.〔2011浙江绍兴，4，4分〕如图，的直径，点在上，假设,那么的度数是〔〕A.B.C.D.((第5题图)【答案】C8.〔2011浙江绍兴，6，4分〕一条排水管的截面如下图.排水管的截面圆半径，截面圆圆心到水面的距离是6，那么水面宽是〔〕A.16B.10C(第6题图)(第6题图)【答案】A9.〔2011浙江省，5，3分〕如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，那么圆的直径为〔〕A.12个单位B.10个单位C.4个单位D.15个单位【答案】B10．〔2011四川重庆，6，4分〕如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°那么∠A的度数等于()A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】B11.〔2011浙江省嘉兴，6，4分〕如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，那么这条弦的弦心距为〔〕〔A〕6 〔B〕8 〔C〕10 〔D〕12〔第〔第6题〕【答案】A12.〔2011台湾台北，16〕如图(六)，为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，平分∠BAD且交于F点。假设∠ADE＝，那么∠AFB的度数为何？A．97B．104C．116D．【答案】C13.〔2011台湾全区，24〕如图(六)，△ABC的外接圆上，AB、BC、CA三弧的度数比为12：13：11．自BC上取一点D，过D分别作直线AC、直线AB的并行线，且交于E、F两点，那么∠EDF的度数为何？A．55B．60C．65D．70【答案】Ｃ14.〔2011甘肃兰州，12，4分〕如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6。那么⊙O的半径为A．6 B．13 CAABCO【答案】C15.〔2011四川成都，7,3分〕如图，假设AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，那么∠BCD=〔B〕(A)116°(B)32°(C)58°〔D)64°【答案】B16.〔2011四川内江，9，3分〕如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,假设⊙O的半径OC为2，那么弦BC的长为A．1 B． C．2 D．2【答案】D17.(2011江苏南京，6，2分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是〔2，a〕(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为，那么a的值是A． B． C． D．((第6题)ABOPxyy=x【答案】B18.〔2011江苏南通，8，3分〕如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，那么⊙O的半径等于8 B.2 C.10 D.5【答案】D19.〔2011山东临沂，6，3分〕如图，⊙O的直径CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，那么AB的长是〔〕A．2cm B．3cmC．4cm D．2cm【答案】C20．〔2011上海，6，4分〕矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么以下判断正确的选项是〔〕．(A)点B、C均在圆P外；(B)点B在圆P外、点C在圆P内；(C)点B在圆P内、点C在圆P外；(D)点B、C均在圆P内．【答案】C21.〔2011四川乐山6，3分〕如图〔3〕，CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，假设∠BOC=40°，那么∠ABD=A．40°B．60°C．70°D．80°【答案】C22.〔2011四川凉山州，9，4分〕如图，，点C在上，且点C不与A、B重合，那么的度数为〔〕A．B．或C．D．或【答案】D23.〔2011广东肇庆，7，3分〕如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，假设∠BAD＝105°，那么∠DCE的大小是AABCDEA．115° B．105° C．100° D．95°【答案】B24.〔2011内蒙古乌兰察布，9，3分〕如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70，那么∠A的度数为〔〕A.B.C.D.【答案】B25.〔2011重庆市潼南,3,4分〕如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠A=30°,那么∠B的度数为A．15°B.30°C.45°D.60°【答案】D三、解答题1.〔2011浙江金华，21，8分〕如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE.〔1〕求证：AP＝AO；〔2〕假设弦AB＝12，求tan∠OPB的值；〔3〕假设以图中已标明的点〔即P、A、B、C、D、O〕构造四边形，那么能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为或或.证明：〔1〕∵PG平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO，∵OA//PE，∴∠DPO=∠POA，∴∠BPO=∠POA，∴PA=OA；……2分解：〔2〕过点O作OH⊥AB于点H，那么AH=HB=AB，……1分∵tan∠OPB=，∴PH=2OH，……1分设OH=，那么PH=2，由〔1〕可知PA=OA=10，∴AH=PH－PA=2－10，∵，∴，……1分解得〔不合题意，舍去〕，，∴AH=6，∴AB=2AH=12；……1分〔3〕P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.……2分(写对1个、2个、3个得1分，写对4个得2分)HHPABCODEFG2.〔2011浙江金华，24，12分〕如图，在平面直角坐标系中，点A〔10，0〕，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.〔1〕当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；〔2〕当DE＝8时，求线段EF的长；〔3〕在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，假设存在，请求出此时点E的坐标；假设不存在，请说明理由.解：〔1〕连结BC,∵A〔10，0〕,∴OA=10,CA=5,∵∠AOB=30°,∴∠ACB=2∠AOB=60°,∴弧AB的长=;……4分OOBDECFxyA〔2〕连结OD,∵OA是⊙C直径,∴∠OBA=90°,又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分线,∴OD=OA=10,在Rt△ODE中，OE=,∴AE=AO－OE=10-6=4,由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA,∴,即，∴EF=3；……4分〔3〕设OE=x，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，∴E1〔，0〕；当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x,AE=10-x，∴CF∥AB,有CF=,∵△ECF∽△EAD,∴,即,解得：,∴E2〔，0〕;OBOBDFCEAxyOBDFCEAxy②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，连结BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，∴BE=AB=BD,∴∠BEA=∠BAO,∴∠BEA=∠ECF,∴CF∥BE,∴,∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴,而AD=2BE,∴,即,解得,＜0〔舍去〕，∴E3〔，0〕;OOBDFCEAxy③当交点E在点O的左侧时，∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF.∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO连结BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO∴∠ECF=∠BEA,∴CF∥BE,∴,又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴，而AD=2BE,∴,∴,解得,＜0〔舍去〕,∵点E在x轴负半轴上,∴E4〔，0〕,综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为：〔，0〕、〔，0〕、〔，0〕、〔，0〕．……4分OOBDFCEAxy3.〔2011山东德州22,10分〕●观察计算当，时，与的大小关系是_________________．当，时，与的大小关系是_________________．●探究证明如下图，为圆O的内接三角形，为直径，过C作于D，设，BD=b．〔1〕分别用表示线段OC，CD；〔2〕探求OC与CD表达式之间存在的关系〔用含a，b的式子表示〕．ABCOD●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：_________________________．●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．【答案】●观察计算:>，=.…2分ABCABCOD〔1〕，∴…3分AB为⊙O直径,∴.，，∴∠A=∠BCD.∴△∽△.…4分∴.即,∴.…5分〔2〕当时,,=；时,,>．…6分●结论归纳:．………………7分●实践应用设长方形一边长为米,那么另一边长为米,设镜框周长为l米，那么≥．……………9分当,即〔米〕时,镜框周长最小．此时四边形为正方形时,周长最小为4米.………………10分4.〔2011山东济宁，19，6分〕如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接，.(1)求证：；(2)请判断，，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.(第19题)(第19题)【答案】〔1〕证明：∵为直径，，∴.∴. 3分〔2〕答：，，三点在以为圆心，以为半径的圆上. 4分理由：由〔1〕知：，∴.∵，，，∴.∴. 6分由〔1〕知：.∴.∴，，三点在以为圆心，以为半径的圆上.…7分5.〔2011山东烟台，25,12分〕：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点〔不与点A、B、G重合〕，直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.〔1〕如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2〔2〕当点E在AB〔或BA〕的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，〔1〕中的结论是否成立？请说明理由.ABABCDEFP.OG〔图1〕.ABCDE.OG〔图2〕【答案】〔1〕证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ.∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°.∴∠QFD＋∠Q＝90°.∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.∴.∴OE·OP＝OF2＝r2.〔2〕解：〔1〕中的结论成立.理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.∴，∴OE·OP＝OF2＝r2.6.〔2011宁波市，25，10分〕阅读下面的情境对话，然后解答问题〔1〕根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？〔2〕在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，假设RtABC是奇异三角形，求a：b：c；〔3〕如图，AB是⊙O的直径，C是上一点〔不与点A、B重合〕，D是半圆的中点，CD在直径AB的两侧，假设在⊙O内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．1求证：ACE是奇异三角形；2当ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．【答案】解：〔1〕真命题〔2〕在RtABC中a2＋b2＝c2，∵c＞b＞a＞0∴2c2＞a2＋b2，2a2＜c2＋b2∴假设RtABC是奇异三角形，一定有2b2＝c2＋a2∴2b2＝a2＋〔a2＋b2〕∴b2＝2a2得：b＝a∵c2＝b2＋a2＝3a2∴c＝a∴a：b：c＝1：：(3)1∵AB是⊙O的直径ACBADB＝90°在RtABC中，AC2＋BC2＝AB2在RtADB中，AD2＋BD2＝AB2∵点D是半圆的中点∴＝∴AD＝BD∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2∴AC2＋CB2＝2AD2又∵CB＝CE，AE＝AD∴AC2＝CE2＝2AE2∴ACE是奇异三角形2由1可得ACE是奇异三角形∴AC2＝CE2＝2AE2当ACE是直角三角形时由〔2〕可得AC：AE：CE＝1：：或AC：AE：CE＝：：1〔Ⅰ〕当AC：AE：CE＝1：：时AC：CE＝1：即AC：CB＝1：∵∠ACB＝90°∴∠ABC＝30°∴∠AOC＝2∠ABC＝60°(Ⅱ)当AC：AE：CE＝：：1时AC：CE＝：1即AC：CB＝：1∵∠ACB＝90°∴∠ABC＝60°∴∠AOC＝2∠ABC＝120°∴∠AOC＝2∠ABC＝120°∴∠AOC的度数为60°或120°7.〔2011浙江丽水，21，8分〕如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE.〔1〕求证：AP＝AO；〔2〕假设弦AB＝12，求tan∠OPB的值；〔3〕假设以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，那么能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为或或.【解】〔1〕∵PG平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO，∵OA//PE，∴∠DPO=∠POA，∴∠BPO=∠POA，∴PA=OA；〔2〕过点O作OH⊥AB于点H，那么AH=HB，∵AB=12，∴AH=6，由〔1〕可知PA=OA=10，∴PH=PA+AH=16，OH==8，∴tan∠OPB==；〔3〕P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.8.〔2011广东广州市，25，14分〕如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．〔1〕证明：B、C、E三点共线；〔2〕假设M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；〔3〕将△DCE绕点C逆时针旋转α〔0°＜α＜90°〕后，记为△D1CE1〔图8〕，假设M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？假设是，请证明；假设不是，说明理由．ABABCDEMNO图7ABCD1E1M1ON1图8【答案】〔1〕∵AB为⊙O直径∴∠ACB=90°∵△DCE为等腰直角三角形∴∠ACE=90°∴∠BCE=90°+90°=180°∴B、C、E三点共线．〔2〕连接BD，AE，ON．∵∠ACB=90°，∠ABC=45°∴AB=AC∵DC=DE∠ACB=∠ACE=90°∴△BCD≌△ACE∴AE=BD，∠DBE=∠EAC∴∠DBE+∠BEA=90°∴BD⊥AE∵O，N为中点∴ON∥BD，ON=BD同理OM∥AE，OM=AE∴OM⊥ON，OM=ON∴MN=OM〔3〕成立证明：同〔2〕旋转后∠BCD1=∠BCE1=90°－∠ACD1所以仍有△BCD1≌△ACE1，所以△ACE1是由△BCD1绕点C顺时针旋转90°而得到的，故BD1⊥AE1其余证明过程与〔2〕完全相同．9.〔2011浙江丽水，24，12分〕如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.〔1〕当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；〔2〕当DE＝8时，求线段EF的长；〔3〕在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，假设存在，请求出此时点E的坐标；假设不存在，请说明理由.【解】(1)连结BC，∵A(10，0)，∴OA=10，CA=5，∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°，∴的长==；〔2〕连结OD，∵OA是⊙C的直径，∴∠OBA=90°，又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分线，∴OD=OA=10，在Rt△ODE中，OE===6，∴AE=AO－OE=10－6=4，由∠AOB=∠ADE=90°－∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA，∴=，即=，∴EF=3；(3)设OE=x，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC的中点，即OE=，∴E1(，0)；当∠ECF=∠OAB时，有CE=5－x，AE=10－x，∴CF//AB，有CF=AB，∵△ECF∽△EAD，∴=，即=，解得x=，∴E2(，0)；②当交点E在C的右侧时，∵∠ECF>∠BOA∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，连结BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO，∴∠BEA=∠ECF，∵CF//BE，∴=，∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED，∴=，而AD=2BE，∴=，即=，解得x1=，x2=<0〔舍去〕，∴E3(，0)；③当交点E在O的左侧时，∵∠BOA=∠EOF>∠ECF∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，连结BE，得BE=AD=AB，∠BEA=∠BAO，∴∠ECF=∠BEA，∴CF//BE，∴=，又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED，∴=，而AD=2BE，∴=，∴=，解得x1=，x2=<0〔舍去〕，∵点E在x轴负半轴上，∴E4(，0)，综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为：∴E1(，0)、E2(，0)、E3(，0)、E4(，0).10．〔2011江西，21，8分〕如图，⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点〔B，C两点除外〕。⑴求∠BAC的度数；⑵求△ABC面积的最大值.〔参考数据：sin60°=，cos30°=，tan30°=.〕【答案】〔1〕过点O作OD⊥BC于点D,连接OA.因为BC=，所以CD==.又OC=2，所以=，即=，所以∠DOC=60°.又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.〔2〕因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC面积的最大值,即点A是的中点时，△ABC面积的最大值.因为∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，在Rt△ADC中，AC=，DC=,所以AD===3.所以△ABC面积的最大值为×3×=3.11.〔2011湖南常德，25，10分〕△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆、P是AB的中点.〔1〕如图8，假设△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分别取点E、F，使那么有结论①②四边形是菱形.请给出结论②的证明；〔2〕如图9，假设〔1〕中△ABC是任意三角形，其它条件不变，那么〔1〕中的两个结论还成立吗？假设成立，请给出证明；〔3〕如图10，假设PC是的切线，求证：BDBD【答案】证明：∵BC是⊙O2直径，那么O2是BC的中点又P是AB的中点.∴PO2是△ABC的中位线∴PO2=AC又AC是⊙O1直径∴PO2=O1C=AC同理PO1=O2C=BC∵AC=BC∴PO2=O1C=PO1=O2C∴四边形是菱形结论①成立，结论②不成立证明：在〔1〕中已证PO2=AC，又O1E=AC∴PO2=O1E同理可得PO1=O2F∵PO2是△ABC的中位线∴PO2∥AC∴∠PO2B=∠ACB同理∠PO1A=∠ACB∴∠PO2B=∠PO1A∵∠AO1E=∠BO2F∴∠PO1A+∠AO1E=∠PO2B+∠BO2F即∠PO1E=∠FO2P∴证明：延长AC交⊙O2于点D，连接BD.∵BC是⊙O2的直径，那么∠D=90°，又PC是的切线，那么∠ACP=90°，∴∠ACP=∠D又∠PAC=∠BAD，∴△APC∽△BAD又P是AB的中点∴∴AC=CD∴在Rt△BCD中，在Rt△ABD中，∴∴12.〔2011江苏苏州，26,8分〕如图，AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点〔不与点A、B重合〕，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.〔1〕弦长AB=________〔结果保存根号〕；〔2〕当∠D=20°时，求∠BOD的度数；〔3〕当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.【答案】解：〔1〕2.〔2〕解法一：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，∴∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D.∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，∴∠BOD=2∠A=100°.解法二：如图，连接OA.∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°.〔3〕∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D.∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°.此时，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°.∴△DAC∽△BOC.∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=AB=.13.〔2011江苏苏州，27,8分〕四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点〔不与点A、B重合〕，连接PA、PB、PC、PD.〔1〕如图①，当PA的长度等于______时，∠PAB=60°；当PA的长度等于______时，△PAD是等腰三角形；〔2〕如图②，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如下图的直角坐标系〔点A即为原点O〕，把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为〔a，b〕，试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.【答案】解：〔1〕2；2或.〔2〕如图，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，延长FP交BC于点G，那么PG⊥BC.∵P点坐标为〔a，b〕，∴PE=b，PF=a，PG=4-a.在△PAD、△PAB及△PBC中，S1=2a，S2=2b，S3=8-2a，∵AB是直径，∴∠APB=90°.∴PE2=AE·BE，即b2=a〔4-a〕.∴2S1S3-S22=4a〔8-2a〕-4b2=-4a2+16a=-4〔a-2〕2+16.∴当a=2时，b=2，2S1S3-S22有最大值16.14.〔2011江苏泰州，26，10分〕如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．〔1〕点N是线段BC的中点吗？为什么？〔2〕假设圆环的宽度〔两圆半径之差〕为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．【答案】解：(1)N是BC的中点。原因：∵AD与小圆相切于点M，∴OM⊥AD，又AD∥BC，∴ON⊥BC，∴在大圆O中，由垂径定理可得N是BC的中点．(2)连接OB，设小圆半径为r，那么有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,在Rt△OBN中，由勾股定理得OB2=BN2+ON2，即：〔r+6〕2=(r+5)2+52，解得r=7cm.∴小圆的半径为7cm.15.〔2011四川成都，27,10分〕：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙0，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．(1)求证：AE=CK； (2)如果AB=，AD=(为大于零的常数)，求BK的长；(3)假设F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．【答案】解：〔1〕∵DH∥KB，BK⊥AC，∴DE⊥AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB，∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK.〔2〕在Rt△ABC中，AB=，AD=BC=，∴==，∵S△ABC=AB×BC=AC×BK，∴BK===.〔3〕连线OG，∵AC⊥DG，AC是⊙O的直接，DE=6，∴DE=EG=6，又∵EF=FG，∴EF=3；∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK，在△ABK中，EF=3，BK=6，EF∥BK，∴EF是△ABK的中位线，∴AF=BF，AE=EK=KC；在Rt△OEG中，设OG=，那么OE=，EG=6，，∴，∴.在Rt△ADF≌Rt△BHF中，AF=BF，∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6.16.〔2011四川宜宾,23，10分〕：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧⌒AD上到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．〔1〕求证：AC⊥BH；〔2〕假设∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．〔〔23题图〕【答案】证明：⑴连接AD∵∠DAC=∠DEC∠EBC=∠DEC∴∠DAC=∠EBC又∵AC是⊙O的直径∴∠ADC=90°∴∠DCA+∠DAC=90°∴∠EBC+∠DCA=90°∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°∴AC⊥BH⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°∴∠BAD=45°∴BD=AD∵BD=8∴AD=8又∵∠ADC=90°AC=10〔第〔第23题解答图〕∴由勾股定理，得.∴BC=BD+DC=8+6=14又∵∠BGC=∠ADC=90°∠BCG=∠ACD∴△BCG∽△ACD∴∴∴连接AE，∵AC是直径∴∠AEC=90°又∵EG⊥AC∴△CEG∽△CAE∴∴∴.17.〔2011江西南昌，21，8分〕如图，⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点〔B，C两点除外〕。⑴求∠BAC的度数；⑵求△ABC面积的最大值.〔参考数据：sin60°=，cos30°=，tan30°=.〕【答案】〔1〕过点O作OD⊥BC于点D,连接OA.因为BC=，所以CD==.又OC=2，所以=，即=，所以∠DOC=60°.又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.〔2〕因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC面积的最大值,即点A是的中点时，△ABC面积的最大值.因为∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，在Rt△ADC中，AC=，DC=,所以AD===3.所以△ABC面积的最大值为×3×=3.18.〔2011上海，21，10分〕如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．〔1〕求线段OD的长；〔2〕假设，求弦MN的长．【答案】〔1〕∵CD∥AB，∴∠OAB=∠C，∠OBA=∠D．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∴∠C=∠D．∴OC=OD．∵OA=3，AC=2，∴OC=5．∴OD=5．〔2〕过点O作OE⊥CD，E为垂足，连接OM．在Rt△OCE中，OC=5，，设OE=x，那么CE=2x．由勾股定理得，解得x1=，x2=〔舍去〕．∴OE=．在Rt△OME中，OM=OA=3，ME===2。∴MN=2ME=4．19.〔2011湖北黄冈，22，8分〕在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．⑴求证△ABD为等腰三角形．⑵求证AC•AF=DF•FE

第22题图BAFEDCM【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD为等腰三角形．⑵∵∠DBA=∠DAB∴弧AD=弧BD又∵BC=AF∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA∴弧CD=弧DF∴CD=DF再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE②由①②得△DCA∽△FAE∴AC：FE=CD：AF∴AC•AF=CD•FE而CD=DF，∴AC•AF=DF•FE20．〔2011广东茂名，24，8分〕如图，⊙P与轴相切于坐标原点O(0，0)，与轴相交于点A(5，0)，过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．(1)AC＝3，求点Ｂ的坐标；(4分)(2)假设AC＝,D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为，函数的图象经过点，求的值(用含的代数式表示)．(4分)χ备用图χ备用图χ【答案】解：(1)解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB，在Rt△AOC中，在Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO＝∠OAB∴Rt△AOC∽Rt△ABO，·∴，即，∴，∴解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径，∴∠ACO＝90°在Rt△AOC中，AO＝5，AC＝3，∴OC＝4，过C作CE⊥OA于点E，那么：，即：，∴，∴∴，设经过A、C两点的直线解析式为：．把点A(5，0)、代入上式得：，解得：，∴，∴点．(2)点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点，∴，∴∠3＝∠4，又∵OP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∴PC⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上；由上可知，经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点，圆心，由(1)知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB＝，在Rt△ABO中，，OD＝，∴，点在函数的图象上，∴，∴．21.〔2011广东肇庆，24，10分〕：如图，ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．〔1〕求证：∠DAC＝∠DBA；〔2〕求证：是线段AF的中点；〔3〕假设⊙O的半径为5，AF＝，求tan∠ABF的值．ABCDEOFP【答案】(1〕∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD∴∠DAC＝∠DBA(2〕∵AB为直径，∴∠ADB＝90°又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90°∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP∴PD＝PA又∵∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°且∠ADE＝∠DAC∴∠PDF＝∠PFD∴PD＝PF∴PA＝PF即P是线段AF的中点(3〕∵