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文档简介

圆的经典练习题及答案一、填空题1.〔2011浙江省舟山,15,4分〕如图,AB是半圆直径,半径OC⊥AB于点O,AD平分∠CAB交弧BC于点D,连结CD、OD,给出以下四个结论:①AC∥OD;②;③△ODE∽△ADO;④.其中正确结论的序号是.〔第〔第16题〕【答案】①④2.〔2011安徽,13,5分〕如图,⊙O的两条弦AB、CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,CE=1,ED=3,那么⊙O的半径是.【答案】3.〔2011江苏扬州,15,3分〕如图,⊙O的弦CD与直径AB相交,假设∠BAD=50°,那么∠ACD=【答案】40°4.〔2011山东日照,14,4分〕如图,在以AB为直径的半圆中,有一个边长为1的内接正方形CDEF,那么以AC和BC的长为两根的一元二次方程是.【答案】如:x2-x+1=0;5.〔2011山东泰安,23,3分〕如图,PA与⊙O相切,切点为A,PO交⊙O于点C,点B是优弧CBA上一点,假设∠ABC==320,那么∠P的度数为。【答案】2606.〔2011山东威海,15,3分〕如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,假设AE=5,BE=1,,那么∠AED=.【答案】30°7.〔2011山东烟台,16,4分〕如图,△ABC的外心坐标是__________.OOxyBCA【答案】〔-2,-1〕8.〔2011浙江杭州,14,4〕如图,点A,B,C,D都在⊙O上,的度数等于84°,CA是∠OCD的平分线,那么∠ABD十∠CAO=°.【答案】53°9.〔2011浙江温州,14,5分〕如图,AB是⊙O的直径,点C,D都在⊙O上,连结CA,CB,DC,DB.∠D=30°,BC=3,那么AB的长是.【答案】610.〔2011浙江省嘉兴,16,5分〕如图,AB是半圆直径,半径OC⊥AB于点O,AD平分∠CAB分别交OC于点E,交弧BC于点D,连结CD、OD,给出以下四个结论:①S△AEC=2S△DEO;②AC=2CD;③线段OD是DE与DA的比例中项;④.其中正确结论的序号是.〔第〔第16题〕【答案】①④11.〔2011福建泉州,16,4分〕三角形的三边长分别为3,4,5,那么它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是.〔写出符合的一种情况即可〕【答案】2〔符合答案即可〕12.〔2011甘肃兰州,16,4分〕如图,OB是⊙O的半径,点C、D在⊙O上,∠DCB=27°,那么∠OBD=度。OODBC【答案】63°13.〔2011湖南常德,7,3分〕如图2,⊙O是△ABC的外接圆,且∠C=70°,那么∠OAB=__________.【答案】20°14.〔2011江苏连云港,15,3分〕如图,点D为边AC上一点,点O为边AB上一点,AD=DO.以O为圆心,OD长为半径作半圆,交AC于另一点E,交AB于点F,G,连接EF.假设∠BAC=22º,那么∠EFG=_____.【答案】15.〔2011四川广安,19,3分〕如图3所示,假设⊙O的半径为13cm,点是弦上一动点,且到圆心的最短距离为5cm,那么弦的长为________cm图3图3【答案】2416.〔2011重庆江津,16,4分〕如图,在圆内接四边形ABCD中,∠B=30º,那么∠D=____________.AABCD第16题图【答案】150°17.(2011重庆綦江,13,4分)如图,AB为⊙O的直径,∠CAB=30°,那么∠D=.【答案】:60°18.〔2011江西南昌,13,3分〕如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,那么∠PBC+∠PCA+∠PAB=度.第13题图【答案】9019.(2011江苏南京,13,2分)如图,海边有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、B两点的弓形〔弓形的弧是⊙O的一局部〕区域内,∠AOB=80°,为了防止触礁,轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°.AABOP(第13题)【答案】4020.〔2011上海,17,4分〕如图,AB、AC都是圆O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N,如果MN=3,那么BC=_________.【答案】621.〔2011江苏无锡,18,2分〕如图,以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点,交y轴的正半轴于点C,D为第一象限内⊙O上的一点,假设∠DAB=20°,那么∠OCD=_____________.yyxOABDC〔第18题〕【答案】6522.〔2011湖北黄石,14,3分〕如图〔5〕,△ABC内接于圆O,假设∠B=300.AC=,那么⊙O的直径为。【答案】223.〔2011湖南衡阳,16,3分〕如图,⊙的直径过弦的中点G,∠EOD=40°,那么∠FCD的度数为.【答案】2024.〔2011湖南永州,8,3分〕如图,在⊙O中,直径CD垂直弦AB于点E,连接OB,CB,⊙O的半径为2,AB=,那么∠BCD=________度.〔第〔第8题〕【答案】3025.(20011江苏镇江,15,2分)如图,DE是⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,假设AB=6,CE=1,那么OC=_____,CD=_____.答案:4,926.〔2011内蒙古乌兰察布,14,4分〕如图,是半径为6的⊙D的圆周,C点是上的任意一点,△ABD是等边三角形,那么四边形ABCD的周长P的取值范围是【答案】27.〔2011河北,16,3分〕如图7,点O为优弧ACB所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB的延长线上,BD=BC,那么∠D=__°.【答案】2728.〔2011湖北荆州,12,4分〕如图,⊙O是△ABC的外接圆,CD是直径,∠B=40°,那么∠ACD的度数是.第12题图【答案】50°二、选择题1.〔2011浙江省舟山,6,3分〕如图,半径为10的⊙O中,弦AB的长为16,那么这条弦的弦心距为〔〕〔A〕6 〔B〕8 〔C〕10 〔D〕12〔第〔第6题〕【答案】A2.〔2011安徽,7,4分〕如图,⊙O的半径是1,A、B、C是圆周上的三点,∠BAC=36°,那么劣弧的长是〔〕A. B.π C.π D.π【答案】B3.〔2011福建福州,9,4分〕如图2,以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦切小圆于点,假设,那么大圆半径与小圆半径之间满足〔〕A. B. C. D.图图2【答案】C4.〔2011山东泰安,10,3分〕如图,⊙O的弦AB垂直平分半径OC,假设AB=,那么⊙O的半径为〔〕A.B.2C.D.【答案】A5.〔2011四川南充市,9,3分〕在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图,油面宽AB为6分米,如果再注入一些油后,油面AB上升1分米,油面宽变为8分米,圆柱形油槽直径MN为〔〕〔A〕6分米〔B〕8分米〔C〕10分米〔D〕12分米【答案】C6.〔2011浙江衢州,1,3分〕一个圆形人工湖如下图,弦是湖上的一座桥,桥长100m,测得圆周角,那么这个人工湖的直径为〔〕A.B.C.D.(第(第8题)【答案】B7.〔2011浙江绍兴,4,4分〕如图,的直径,点在上,假设,那么的度数是〔〕A.B.C.D.((第5题图)【答案】C8.〔2011浙江绍兴,6,4分〕一条排水管的截面如下图.排水管的截面圆半径,截面圆圆心到水面的距离是6,那么水面宽是〔〕A.16B.10C(第6题图)(第6题图)【答案】A9.〔2011浙江省,5,3分〕如图,小华同学设计了一个圆直径的测量器,标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,那么圆的直径为〔〕A.12个单位B.10个单位C.4个单位D.15个单位【答案】B10.〔2011四川重庆,6,4分〕如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB=40°那么∠A的度数等于()A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】B11.〔2011浙江省嘉兴,6,4分〕如图,半径为10的⊙O中,弦AB的长为16,那么这条弦的弦心距为〔〕〔A〕6 〔B〕8 〔C〕10 〔D〕12〔第〔第6题〕【答案】A12.〔2011台湾台北,16〕如图(六),为圆O的直径,直线ED为圆O的切线,A、C两点在圆上,平分∠BAD且交于F点。假设∠ADE=,那么∠AFB的度数为何?A.97B.104C.116D.【答案】C13.〔2011台湾全区,24〕如图(六),△ABC的外接圆上,AB、BC、CA三弧的度数比为12:13:11.自BC上取一点D,过D分别作直线AC、直线AB的并行线,且交于E、F两点,那么∠EDF的度数为何?A.55B.60C.65D.70【答案】C14.〔2011甘肃兰州,12,4分〕如图,⊙O过点B、C,圆心O在等腰Rt△ABC的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6。那么⊙O的半径为A.6 B.13 CAABCO【答案】C15.〔2011四川成都,7,3分〕如图,假设AB是⊙0的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,那么∠BCD=〔B〕(A)116°(B)32°(C)58°〔D)64°【答案】B16.〔2011四川内江,9,3分〕如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC=60°,假设⊙O的半径OC为2,那么弦BC的长为A.1 B. C.2 D.2【答案】D17.(2011江苏南京,6,2分)如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是〔2,a〕(a>2),半径为2,函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为,那么a的值是A. B. C. D.((第6题)ABOPxyy=x【答案】B18.〔2011江苏南通,8,3分〕如图,⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,那么⊙O的半径等于8 B.2 C.10 D.5【答案】D19.〔2011山东临沂,6,3分〕如图,⊙O的直径CD=5cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM:OD=3:5,那么AB的长是〔〕A.2cm B.3cmC.4cm D.2cm【答案】C20.〔2011上海,6,4分〕矩形ABCD中,AB=8,,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么以下判断正确的选项是〔〕.(A)点B、C均在圆P外;(B)点B在圆P外、点C在圆P内;(C)点B在圆P内、点C在圆P外;(D)点B、C均在圆P内.【答案】C21.〔2011四川乐山6,3分〕如图〔3〕,CD是⊙O的弦,直径AB过CD的中点M,假设∠BOC=40°,那么∠ABD=A.40°B.60°C.70°D.80°【答案】C22.〔2011四川凉山州,9,4分〕如图,,点C在上,且点C不与A、B重合,那么的度数为〔〕A.B.或C.D.或【答案】D23.〔2011广东肇庆,7,3分〕如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,假设∠BAD=105°,那么∠DCE的大小是AABCDEA.115° B.105° C.100° D.95°【答案】B24.〔2011内蒙古乌兰察布,9,3分〕如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,AB⊥CD,如果∠BOC=70,那么∠A的度数为〔〕A.B.C.D.【答案】B25.〔2011重庆市潼南,3,4分〕如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,∠A=30°,那么∠B的度数为A.15°B.30°C.45°D.60°【答案】D三、解答题1.〔2011浙江金华,21,8分〕如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D,连结OA,此时有OA∥PE.〔1〕求证:AP=AO;〔2〕假设弦AB=12,求tan∠OPB的值;〔3〕假设以图中已标明的点〔即P、A、B、C、D、O〕构造四边形,那么能构成菱形的四个点为,能构成等腰梯形的四个点为或或.证明:〔1〕∵PG平分∠EPF,∴∠DPO=∠BPO,∵OA//PE,∴∠DPO=∠POA,∴∠BPO=∠POA,∴PA=OA;……2分解:〔2〕过点O作OH⊥AB于点H,那么AH=HB=AB,……1分∵tan∠OPB=,∴PH=2OH,……1分设OH=,那么PH=2,由〔1〕可知PA=OA=10,∴AH=PH-PA=2-10,∵,∴,……1分解得〔不合题意,舍去〕,,∴AH=6,∴AB=2AH=12;……1分〔3〕P、A、O、C;A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.……2分(写对1个、2个、3个得1分,写对4个得2分)HHPABCODEFG2.〔2011浙江金华,24,12分〕如图,在平面直角坐标系中,点A〔10,0〕,以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连结CF.〔1〕当∠AOB=30°时,求弧AB的长;〔2〕当DE=8时,求线段EF的长;〔3〕在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,假设存在,请求出此时点E的坐标;假设不存在,请说明理由.解:〔1〕连结BC,∵A〔10,0〕,∴OA=10,CA=5,∵∠AOB=30°,∴∠ACB=2∠AOB=60°,∴弧AB的长=;……4分OOBDECFxyA〔2〕连结OD,∵OA是⊙C直径,∴∠OBA=90°,又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分线,∴OD=OA=10,在Rt△ODE中,OE=,∴AE=AO-OE=10-6=4,由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,得△OEF∽△DEA,∴,即,∴EF=3;……4分〔3〕设OE=x,①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC中点,即OE=,∴E1〔,0〕;当∠ECF=∠OAB时,有CE=5-x,AE=10-x,∴CF∥AB,有CF=,∵△ECF∽△EAD,∴,即,解得:,∴E2〔,0〕;OBOBDFCEAxyOBDFCEAxy②当交点E在点C的右侧时,∵∠ECF>∠BOA,∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,连结BE,∵BE为Rt△ADE斜边上的中线,∴BE=AB=BD,∴∠BEA=∠BAO,∴∠BEA=∠ECF,∴CF∥BE,∴,∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,∴△CEF∽△AED,∴,而AD=2BE,∴,即,解得,<0〔舍去〕,∴E3〔,0〕;OOBDFCEAxy③当交点E在点O的左侧时,∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO连结BE,得BE==AB,∠BEA=∠BAO∴∠ECF=∠BEA,∴CF∥BE,∴,又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,∴△CEF∽△AED,∴,而AD=2BE,∴,∴,解得,<0〔舍去〕,∵点E在x轴负半轴上,∴E4〔,0〕,综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为:〔,0〕、〔,0〕、〔,0〕、〔,0〕.……4分OOBDFCEAxy3.〔2011山东德州22,10分〕●观察计算当,时,与的大小关系是_________________.当,时,与的大小关系是_________________.●探究证明如下图,为圆O的内接三角形,为直径,过C作于D,设,BD=b.〔1〕分别用表示线段OC,CD;〔2〕探求OC与CD表达式之间存在的关系〔用含a,b的式子表示〕.ABCOD●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明,你能得出与的大小关系是:_________________________.●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小值.【答案】●观察计算:>,=.…2分ABCABCOD〔1〕,∴…3分AB为⊙O直径,∴.,,∴∠A=∠BCD.∴△∽△.…4分∴.即,∴.…5分〔2〕当时,,=;时,,>.…6分●结论归纳:.………………7分●实践应用设长方形一边长为米,那么另一边长为米,设镜框周长为l米,那么≥.……………9分当,即〔米〕时,镜框周长最小.此时四边形为正方形时,周长最小为4米.………………10分4.〔2011山东济宁,19,6分〕如图,为外接圆的直径,,垂足为点,的平分线交于点,连接,.(1)求证:;(2)请判断,,三点是否在以为圆心,以为半径的圆上?并说明理由.(第19题)(第19题)【答案】〔1〕证明:∵为直径,,∴.∴. 3分〔2〕答:,,三点在以为圆心,以为半径的圆上. 4分理由:由〔1〕知:,∴.∵,,,∴.∴. 6分由〔1〕知:.∴.∴,,三点在以为圆心,以为半径的圆上.…7分5.〔2011山东烟台,25,12分〕:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,E是直线AB上一动点〔不与点A、B、G重合〕,直线DE交⊙O于点F,直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.〔1〕如图1,当点E在直径AB上时,试证明:OE·OP=r2〔2〕当点E在AB〔或BA〕的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,〔1〕中的结论是否成立?请说明理由.ABABCDEFP.OG〔图1〕.ABCDE.OG〔图2〕【答案】〔1〕证明:连接FO并延长交⊙O于Q,连接DQ.∵FQ是⊙O直径,∴∠FDQ=90°.∴∠QFD+∠Q=90°.∵CD⊥AB,∴∠P+∠C=90°.∵∠Q=∠C,∴∠QFD=∠P.∵∠FOE=∠POF,∴△FOE∽△POF.∴.∴OE·OP=OF2=r2.〔2〕解:〔1〕中的结论成立.理由:如图2,依题意画出图形,连接FO并延长交⊙O于M,连接CM.∵FM是⊙O直径,∴∠FCM=90°,∴∠M+∠CFM=90°.∵CD⊥AB,∴∠E+∠D=90°.∵∠M=∠D,∴∠CFM=∠E.∵∠POF=∠FOE,∴△POF∽△FOE.∴,∴OE·OP=OF2=r2.6.〔2011宁波市,25,10分〕阅读下面的情境对话,然后解答问题〔1〕根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?〔2〕在RtABC中,∠ACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,假设RtABC是奇异三角形,求a:b:c;〔3〕如图,AB是⊙O的直径,C是上一点〔不与点A、B重合〕,D是半圆的中点,CD在直径AB的两侧,假设在⊙O内存在点E使得AE=AD,CB=CE.1求证:ACE是奇异三角形;2当ACE是直角三角形时,求∠AOC的度数.【答案】解:〔1〕真命题〔2〕在RtABC中a2+b2=c2,∵c>b>a>0∴2c2>a2+b2,2a2<c2+b2∴假设RtABC是奇异三角形,一定有2b2=c2+a2∴2b2=a2+〔a2+b2〕∴b2=2a2得:b=a∵c2=b2+a2=3a2∴c=a∴a:b:c=1::(3)1∵AB是⊙O的直径ACBADB=90°在RtABC中,AC2+BC2=AB2在RtADB中,AD2+BD2=AB2∵点D是半圆的中点∴=∴AD=BD∴AB2=AD2+BD2=2AD2∴AC2+CB2=2AD2又∵CB=CE,AE=AD∴AC2=CE2=2AE2∴ACE是奇异三角形2由1可得ACE是奇异三角形∴AC2=CE2=2AE2当ACE是直角三角形时由〔2〕可得AC:AE:CE=1::或AC:AE:CE=::1〔Ⅰ〕当AC:AE:CE=1::时AC:CE=1:即AC:CB=1:∵∠ACB=90°∴∠ABC=30°∴∠AOC=2∠ABC=60°(Ⅱ)当AC:AE:CE=::1时AC:CE=:1即AC:CB=:1∵∠ACB=90°∴∠ABC=60°∴∠AOC=2∠ABC=120°∴∠AOC=2∠ABC=120°∴∠AOC的度数为60°或120°7.〔2011浙江丽水,21,8分〕如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D,连结OA,此时有OA∥PE.〔1〕求证:AP=AO;〔2〕假设弦AB=12,求tan∠OPB的值;〔3〕假设以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形,那么能构成菱形的四个点为,能构成等腰梯形的四个点为或或.【解】〔1〕∵PG平分∠EPF,∴∠DPO=∠BPO,∵OA//PE,∴∠DPO=∠POA,∴∠BPO=∠POA,∴PA=OA;〔2〕过点O作OH⊥AB于点H,那么AH=HB,∵AB=12,∴AH=6,由〔1〕可知PA=OA=10,∴PH=PA+AH=16,OH==8,∴tan∠OPB==;〔3〕P、A、O、C;A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.8.〔2011广东广州市,25,14分〕如图7,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上.〔1〕证明:B、C、E三点共线;〔2〕假设M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN=OM;〔3〕将△DCE绕点C逆时针旋转α〔0°<α<90°〕后,记为△D1CE1〔图8〕,假设M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立?假设是,请证明;假设不是,说明理由.ABABCDEMNO图7ABCD1E1M1ON1图8【答案】〔1〕∵AB为⊙O直径∴∠ACB=90°∵△DCE为等腰直角三角形∴∠ACE=90°∴∠BCE=90°+90°=180°∴B、C、E三点共线.〔2〕连接BD,AE,ON.∵∠ACB=90°,∠ABC=45°∴AB=AC∵DC=DE∠ACB=∠ACE=90°∴△BCD≌△ACE∴AE=BD,∠DBE=∠EAC∴∠DBE+∠BEA=90°∴BD⊥AE∵O,N为中点∴ON∥BD,ON=BD同理OM∥AE,OM=AE∴OM⊥ON,OM=ON∴MN=OM〔3〕成立证明:同〔2〕旋转后∠BCD1=∠BCE1=90°-∠ACD1所以仍有△BCD1≌△ACE1,所以△ACE1是由△BCD1绕点C顺时针旋转90°而得到的,故BD1⊥AE1其余证明过程与〔2〕完全相同.9.〔2011浙江丽水,24,12分〕如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连结CF.〔1〕当∠AOB=30°时,求弧AB的长;〔2〕当DE=8时,求线段EF的长;〔3〕在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,假设存在,请求出此时点E的坐标;假设不存在,请说明理由.【解】(1)连结BC,∵A(10,0),∴OA=10,CA=5,∵∠AOB=30°,∴∠ACB=2∠AOB=60°,∴的长==;〔2〕连结OD,∵OA是⊙C的直径,∴∠OBA=90°,又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分线,∴OD=OA=10,在Rt△ODE中,OE===6,∴AE=AO-OE=10-6=4,由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,得△OEF∽△DEA,∴=,即=,∴EF=3;(3)设OE=x,①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC的中点,即OE=,∴E1(,0);当∠ECF=∠OAB时,有CE=5-x,AE=10-x,∴CF//AB,有CF=AB,∵△ECF∽△EAD,∴=,即=,解得x=,∴E2(,0);②当交点E在C的右侧时,∵∠ECF>∠BOA∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,连结BE,∵BE为Rt△ADE斜边上的中线,∴BE=AB=BD,∴∠BEA=∠BAO,∴∠BEA=∠ECF,∵CF//BE,∴=,∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,∴△CEF∽△AED,∴=,而AD=2BE,∴=,即=,解得x1=,x2=<0〔舍去〕,∴E3(,0);③当交点E在O的左侧时,∵∠BOA=∠EOF>∠ECF∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,连结BE,得BE=AD=AB,∠BEA=∠BAO,∴∠ECF=∠BEA,∴CF//BE,∴=,又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,∴△CEF∽△AED,∴=,而AD=2BE,∴=,∴=,解得x1=,x2=<0〔舍去〕,∵点E在x轴负半轴上,∴E4(,0),综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为:∴E1(,0)、E2(,0)、E3(,0)、E4(,0).10.〔2011江西,21,8分〕如图,⊙O的半径为2,弦BC的长为,点A为弦BC所对优弧上任意一点〔B,C两点除外〕。⑴求∠BAC的度数;⑵求△ABC面积的最大值.〔参考数据:sin60°=,cos30°=,tan30°=.〕【答案】〔1〕过点O作OD⊥BC于点D,连接OA.因为BC=,所以CD==.又OC=2,所以=,即=,所以∠DOC=60°.又OD⊥BC,所以∠BAC=∠DOC=60°.〔2〕因为△ABC中的边BC的长不变,所以底边上的高最大时,△ABC面积的最大值,即点A是的中点时,△ABC面积的最大值.因为∠BAC=60°,所以△ABC是等边三角形,在Rt△ADC中,AC=,DC=,所以AD===3.所以△ABC面积的最大值为×3×=3.11.〔2011湖南常德,25,10分〕△ABC,分别以AC和BC为直径作半圆、P是AB的中点.〔1〕如图8,假设△ABC是等腰三角形,且AC=BC,在上分别取点E、F,使那么有结论①②四边形是菱形.请给出结论②的证明;〔2〕如图9,假设〔1〕中△ABC是任意三角形,其它条件不变,那么〔1〕中的两个结论还成立吗?假设成立,请给出证明;〔3〕如图10,假设PC是的切线,求证:BDBD【答案】证明:∵BC是⊙O2直径,那么O2是BC的中点又P是AB的中点.∴PO2是△ABC的中位线∴PO2=AC又AC是⊙O1直径∴PO2=O1C=AC同理PO1=O2C=BC∵AC=BC∴PO2=O1C=PO1=O2C∴四边形是菱形结论①成立,结论②不成立证明:在〔1〕中已证PO2=AC,又O1E=AC∴PO2=O1E同理可得PO1=O2F∵PO2是△ABC的中位线∴PO2∥AC∴∠PO2B=∠ACB同理∠PO1A=∠ACB∴∠PO2B=∠PO1A∵∠AO1E=∠BO2F∴∠PO1A+∠AO1E=∠PO2B+∠BO2F即∠PO1E=∠FO2P∴证明:延长AC交⊙O2于点D,连接BD.∵BC是⊙O2的直径,那么∠D=90°,又PC是的切线,那么∠ACP=90°,∴∠ACP=∠D又∠PAC=∠BAD,∴△APC∽△BAD又P是AB的中点∴∴AC=CD∴在Rt△BCD中,在Rt△ABD中,∴∴12.〔2011江苏苏州,26,8分〕如图,AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°,C是弦AB上任意一点〔不与点A、B重合〕,连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.〔1〕弦长AB=________〔结果保存根号〕;〔2〕当∠D=20°时,求∠BOD的度数;〔3〕当AC的长度为多少时,以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似?请写出解答过程.【答案】解:〔1〕2.〔2〕解法一:∵∠BOD是△BOC的外角,∠BCO是△ACD的外角,∴∠BOD=∠B+∠BCO,∠BCO=∠A+∠D.∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.又∵∠BOD=2∠A,∠B=30°,∠D=20°,∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°,∠A=50°,∴∠BOD=2∠A=100°.解法二:如图,连接OA.∵OA=OB,OA=OD,∴∠BAO=∠B,∠DAO=∠D,∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.又∵∠B=30°,∠D=20°,∴∠DAB=50°,∴∠BOD=2∠DAB=100°.〔3〕∵∠BCO=∠A+∠D,∴∠BCO>∠A,∠BCO>∠D.∴要使△DAC与△BOC相似,只能∠DCA=∠BCO=90°.此时,∠BOC=60°,∠BOD=120°,∴∠DAC=60°.∴△DAC∽△BOC.∵∠BCO=90°,即OC⊥AB,∴AC=AB=.13.〔2011江苏苏州,27,8分〕四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点〔不与点A、B重合〕,连接PA、PB、PC、PD.〔1〕如图①,当PA的长度等于______时,∠PAB=60°;当PA的长度等于______时,△PAD是等腰三角形;〔2〕如图②,以AB边所在的直线为x轴,AD边所在的直线为y轴,建立如下图的直角坐标系〔点A即为原点O〕,把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为〔a,b〕,试求2S1S3-S22的最大值,并求出此时a、b的值.【答案】解:〔1〕2;2或.〔2〕如图,过点P分别作PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E、F,延长FP交BC于点G,那么PG⊥BC.∵P点坐标为〔a,b〕,∴PE=b,PF=a,PG=4-a.在△PAD、△PAB及△PBC中,S1=2a,S2=2b,S3=8-2a,∵AB是直径,∴∠APB=90°.∴PE2=AE·BE,即b2=a〔4-a〕.∴2S1S3-S22=4a〔8-2a〕-4b2=-4a2+16a=-4〔a-2〕2+16.∴当a=2时,b=2,2S1S3-S22有最大值16.14.〔2011江苏泰州,26,10分〕如图,以点O为圆心的两个同心圆中,矩形ABCD的边BC为大圆的弦,边AD与小圆相切于点M,OM的延长线与BC相交于点N.〔1〕点N是线段BC的中点吗?为什么?〔2〕假设圆环的宽度〔两圆半径之差〕为6cm,AB=5cm,BC=10cm,求小圆的半径.【答案】解:(1)N是BC的中点。原因:∵AD与小圆相切于点M,∴OM⊥AD,又AD∥BC,∴ON⊥BC,∴在大圆O中,由垂径定理可得N是BC的中点.(2)连接OB,设小圆半径为r,那么有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,在Rt△OBN中,由勾股定理得OB2=BN2+ON2,即:〔r+6〕2=(r+5)2+52,解得r=7cm.∴小圆的半径为7cm.15.〔2011四川成都,27,10分〕:如图,以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心,OA长为半径作⊙0,⊙O经过B、D两点,过点B作BK⊥AC,垂足为K.过D作DH∥KB,DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H.(1)求证:AE=CK; (2)如果AB=,AD=(为大于零的常数),求BK的长;(3)假设F是EG的中点,且DE=6,求⊙O的半径和GH的长.【答案】解:〔1〕∵DH∥KB,BK⊥AC,∴DE⊥AC,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠EAD=∠KCB,∴Rt△ADE≌Rt△CBK,∴AE=CK.〔2〕在Rt△ABC中,AB=,AD=BC=,∴==,∵S△ABC=AB×BC=AC×BK,∴BK===.〔3〕连线OG,∵AC⊥DG,AC是⊙O的直接,DE=6,∴DE=EG=6,又∵EF=FG,∴EF=3;∵Rt△ADE≌Rt△CBK,∴DE=BK=6,AE=CK,在△ABK中,EF=3,BK=6,EF∥BK,∴EF是△ABK的中位线,∴AF=BF,AE=EK=KC;在Rt△OEG中,设OG=,那么OE=,EG=6,,∴,∴.在Rt△ADF≌Rt△BHF中,AF=BF,∵AD=BC,BF∥CD,∴HF=DF,∵FG=EF,∴HF-FG=DF-EF,∴HG=DE=6.16.〔2011四川宜宾,23,10分〕:在△ABC中,以AC边为直径的⊙O交BC于点D,在劣弧⌒AD上到一点E使∠EBC=∠DEC,延长BE依次交AC于G,交⊙O于H.〔1〕求证:AC⊥BH;〔2〕假设∠ABC=45°,⊙O的直径等于10,BD=8,求CE的长.〔〔23题图〕【答案】证明:⑴连接AD∵∠DAC=∠DEC∠EBC=∠DEC∴∠DAC=∠EBC又∵AC是⊙O的直径∴∠ADC=90°∴∠DCA+∠DAC=90°∴∠EBC+∠DCA=90°∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°∴AC⊥BH⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°∴∠BAD=45°∴BD=AD∵BD=8∴AD=8又∵∠ADC=90°AC=10〔第〔第23题解答图〕∴由勾股定理,得.∴BC=BD+DC=8+6=14又∵∠BGC=∠ADC=90°∠BCG=∠ACD∴△BCG∽△ACD∴∴∴连接AE,∵AC是直径∴∠AEC=90°又∵EG⊥AC∴△CEG∽△CAE∴∴∴.17.〔2011江西南昌,21,8分〕如图,⊙O的半径为2,弦BC的长为,点A为弦BC所对优弧上任意一点〔B,C两点除外〕。⑴求∠BAC的度数;⑵求△ABC面积的最大值.〔参考数据:sin60°=,cos30°=,tan30°=.〕【答案】〔1〕过点O作OD⊥BC于点D,连接OA.因为BC=,所以CD==.又OC=2,所以=,即=,所以∠DOC=60°.又OD⊥BC,所以∠BAC=∠DOC=60°.〔2〕因为△ABC中的边BC的长不变,所以底边上的高最大时,△ABC面积的最大值,即点A是的中点时,△ABC面积的最大值.因为∠BAC=60°,所以△ABC是等边三角形,在Rt△ADC中,AC=,DC=,所以AD===3.所以△ABC面积的最大值为×3×=3.18.〔2011上海,21,10分〕如图,点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上,且OA=3,AC=2,CD平行于AB,并与弧AB相交于点M、N.〔1〕求线段OD的长;〔2〕假设,求弦MN的长.【答案】〔1〕∵CD∥AB,∴∠OAB=∠C,∠OBA=∠D.∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠C=∠D.∴OC=OD.∵OA=3,AC=2,∴OC=5.∴OD=5.〔2〕过点O作OE⊥CD,E为垂足,连接OM.在Rt△OCE中,OC=5,,设OE=x,那么CE=2x.由勾股定理得,解得x1=,x2=〔舍去〕.∴OE=.在Rt△OME中,OM=OA=3,ME===2。∴MN=2ME=4.19.〔2011湖北黄冈,22,8分〕在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.⑴求证△ABD为等腰三角形.⑵求证AC•AF=DF•FE

第22题图BAFEDCM【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠DBA=∠DAB,故△ABD为等腰三角形.⑵∵∠DBA=∠DAB∴弧AD=弧BD又∵BC=AF∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA∴弧CD=弧DF∴CD=DF再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE②由①②得△DCA∽△FAE∴AC:FE=CD:AF∴AC•AF=CD•FE而CD=DF,∴AC•AF=DF•FE20.〔2011广东茂名,24,8分〕如图,⊙P与轴相切于坐标原点O(0,0),与轴相交于点A(5,0),过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B,与⊙P交于点C.(1)AC=3,求点B的坐标;(4分)(2)假设AC=,D是OB的中点.问:点O、P、C、D四点是否在同一圆上?请说明理由.如果这四点在同一圆上,记这个圆的圆心为,函数的图象经过点,求的值(用含的代数式表示).(4分)χ备用图χ备用图χ【答案】解:(1)解法一:连接OC,∵OA是⊙P的直径,∴OC⊥AB,在Rt△AOC中,在Rt△AOC和Rt△ABO中,∵∠CAO=∠OAB∴Rt△AOC∽Rt△ABO,·∴,即,∴,∴解法二:连接OC,因为OA是⊙P的直径,∴∠ACO=90°在Rt△AOC中,AO=5,AC=3,∴OC=4,过C作CE⊥OA于点E,那么:,即:,∴,∴∴,设经过A、C两点的直线解析式为:.把点A(5,0)、代入上式得:,解得:,∴,∴点.(2)点O、P、C、D四点在同一个圆上,理由如下:连接CP、CD、DP,∵OC⊥AB,D为OB上的中点,∴,∴∠3=∠4,又∵OP=CP,∴∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∴PC⊥CD,又∵DO⊥OP,∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形,∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等,∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上;由上可知,经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点,圆心,由(1)知:Rt△AOC∽Rt△ABO,∴,求得:AB=,在Rt△ABO中,,OD=,∴,点在函数的图象上,∴,∴.21.〔2011广东肇庆,24,10分〕:如图,ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.〔1〕求证:∠DAC=∠DBA;〔2〕求证:是线段AF的中点;〔3〕假设⊙O的半径为5,AF=,求tan∠ABF的值.ABCDEOFP【答案】(1〕∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠DBA∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,∴∠DAC=∠CBD∴∠DAC=∠DBA(2〕∵AB为直径,∴∠ADB=90°又∵DE⊥AB于点E,∴∠DEB=90°∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°∴∠ADE=∠ABD=∠DAP∴PD=PA又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°且∠ADE=∠DAC∴∠PDF=∠PFD∴PD=PF∴PA=PF即P是线段AF的中点(3〕∵

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